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北京四中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)

时间:2016-08-14


北京四中 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 2 1. (5 分)设集合 M={0,1,2},N={x|x ﹣3x+2≤0},则 M∩N=() A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}

2. (5 分)设 a= A.a>b>c

,b=

r />,c=

,则() C.a>c>b
2

B.b>a>c

D.b>c>a

3. (5 分)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A.向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位 B. 向左平移 D.向左平移 sin3x 的图象()

个单位 个单位

5. (5 分)函数 y=

的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)设 x,y∈R,向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则| + |= () A.

B.

C.

D.10

7. (5 分)已知 f(x)= 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ∞,﹣1]∪[0,1]

,若函数 g(x)=f(x)﹣kx+k 只有一个零点,则 k

B.(﹣1,1)

C. [0,1]

D. (﹣

8. (5 分)设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f( 成立,则下列结论正确的是() ①f( )=0;

)|对一切 x∈R 恒

②既不是奇函数也不是偶函数; ③f(x)的单调递增区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ;

④存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. A.①② B.①③ C.②③

D.②④

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=. 10. (5 分)如图,阴影区域是由函数 y=cosx 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形,则该阴影区 域的面积是.

11. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 a=15,b=10,A=60°, 则 cosB=. 12. (5 分)已知实数 x,y 满足 2 +2 =1,则 x+y 的最大值是.
x y

13. (5 分)若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的取值

范围. 14. (5 分)设集 X 是实数集 R 上的子集,如果 x0∈R 满足:对?a>0,都?x∈X,使得 0<|x ﹣x0|<a,那么称 x0 为集合 X 的聚点,用 Z 表示整数集,则给出下列集合:

①{

|n∈Z,n≥0};②{x|x∈R,x≠0};③{ |n∈Z,n≠0};④整数集 Z

其中以 0 为聚点的集合的序号有(写出所有正确集合的序号)

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分)已知函数 f(x)=2( cosx﹣sinx)sinx,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期与单调增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在[0, ]上的最大值与最小值.
+

16. (13 分)已知数列{an}满足:a1=1,2an+1=2an+1,n∈N .数列{bn}的前 n 项和为 Sn,Sn=9 ﹣ ,n∈N .
+

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; + (Ⅱ)设 cn=an?bn,n∈N .求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 17. (13 分)已知函数 f(x)=(1+x) ﹣2aln(1+x) (a∈R) . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,x∈[0,1],求函数 y=f(x)图象上任意一点处切线斜率 k 的取值范围. 18. (13 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直 线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两 位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车 到 B, 在 B 处停留 1min 后, 再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min, 山路 AC 长为 1260m,经测量,cosA= ,cosC=
2

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

19. (14 分)已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+

﹣2ax(a∈R) .

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 20. (14 分)已知 Sn={A|A=(a1,a2,a3,…an)},ai={0 或 1},i=1,2,??,n(n≥2) ,对于 U,V∈Sn,d(U,V)表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)令 U=(0,0,0,0) ,存在 m 个 V∈S5,使得 d(U,V)=2,写出 m 的值;

(Ⅱ)令

,U,V∈Sn,求证:d(U,W)+d(V,W)≥d(U,V) ;

(Ⅲ)令 U=(a1,a2,a3,…an) ,若 V∈Sn,求所有 d(U,V)之和.

北京四中 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. (5 分)设集合 M={0,1,2},N={x|x ﹣3x+2≤0},则 M∩N=() A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 N 的元素,利用集合的基本运算即可得到结论. 解答: 解:∵N={x|x ﹣3x+2≤0}={x|(x﹣1) (x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2}, ∴M∩N={1,2}, 故选:D. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2 2

2. (5 分)设 a= A.a>b>c

,b=

,c=

,则() C.a>c>b D.b>c>a

B.b>a>c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a= >1,b= <0,0<c= <1,

∴a>c>b. 故选:C. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 3. (5 分)已知 i 是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 复数相等的充要条件;充要条件. 专题: 简易逻辑.
2

分析: 利用复数的运算性质,分别判断“a=b=1”?“(a+bi) =2i”与“a=b=1”?“(a+bi) =2i” 的真假,进而根据充要条件的定义得到结论. 解答: 解:当“a=b=1”时,“(a+bi) =(1+i) =2i”成立, 2 故“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的充分条件; 2 2 2 当“(a+bi) =a ﹣b +2abi=2i”时,“a=b=1”或“a=b=﹣1”, 2 故“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的不必要条件; 2 综上所述,“a=b=1”是“(a+bi) =2i”的充分不必要条件; 故选 A 点评: 本题考查的知识点是充要条件的定义,复数的运算,难度不大,属于基础题. 4. (5 分)为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A.向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位 B. 向左平移 D.向左平移 sin3x 的图象()
2 2

2

2

个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据 函数 y=sin3x+cos3x= 规律,可得结论. 解答: 解:∵函数 y=sin3x+cos3x= ∴将函数 y= sin3x 的图象向左平移 sin(3x+ )= sin3(x+ ) , sin3(x+ ) ,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换

个单位可得函数 y=sin3x+cos3x 的图象,

故选:D. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.

5. (5 分)函数 y=

的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

考点: 余弦函数的图象;奇偶函数图象的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由于函数 y=
+

为奇函数,其图象关于原点对称,可排除 A,利用极限思想

(如 x→0 ,y→+∞)可排除 B,C,从而得到答案 D. 解答: 解:令 y=f(x)= ,

∵f(﹣x)=

=﹣

=﹣f(x) ,

∴函数 y=

为奇函数,

∴其图象关于原点对称,可排除 A; + 又当 x→0 ,y→+∞,故可排除 B; 当 x→+∞,y→0,故可排除 C; 而 D 均满足以上分析. 故选 D. 点评: 本题考查奇偶函数图象的对称性,考查极限思想的运用,考查排除法的应用,属于 中档题.

6. (5 分)设 x,y∈R,向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则| + |= () A.

B.

C.

D.10

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模;平面向量共线(平行)的坐标表 示. 专题: 计算题. 分析: 由两个向量垂直的性质可得 2x﹣4=0,由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0,由此 求出 x=2,y=﹣2,以及 的坐标,从而求得| |的值.

解答: 解:∵向量 =(x,1) , =(1,y) , =(2,﹣4)且 ⊥ , ∥ ,则有 2x﹣4=0, ﹣4﹣2y=0, 解得 x=2,y=﹣2,故 故有| |= = , =(3,﹣1 ) .

故选 B. 点评: 本题主要考查两个向量共线的性质,两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式的运 算,属于基础题.

7. (5 分)已知 f(x)= 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ∞,﹣1]∪[0,1]

,若函数 g(x)=f(x)﹣kx+k 只有一个零点,则 k

B.(﹣1,1)

C. [0,1]

D. (﹣

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得函数 y=f(x)的图象和直线 y=k(x﹣1)只有一个交点,数形结合求得 k 的范围. 解答: 解:由题意可得函数 y=f(x)的图象(红线部分) 和直线 y=k(x﹣1) (蓝线部分)只有一个交点. 直线 y=k(x﹣1)经过定点(1,0) ,斜率为 k. 当 0<x<1 时,f′(x)= >1, 当 x≥1 时,f′(x)=﹣ ∈[﹣1,0) ,

如图所示: 故 k∈(﹣∞,﹣1]∪[0,1], 故选:D.

点评: 本题主要考查函数的零点与方程根的关系,体现了转化的数学思想,属于基础题. 8. (5 分)设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f( 成立,则下列结论正确的是() ①f( )=0; )|对一切 x∈R 恒

②既不是奇函数也不是偶函数; ③f(x)的单调递增区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ;

④存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. A.①② B.①③ C.②③

D.②④

考点: 两角和与差的正弦函数;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由题意知,f( ①∵ ②由 f( 函数; ③若 f( ④由﹣ )是 f(x)的最大值,则[kπ+ ≤a≤ ,﹣ ,kπ+ ≤ b≤ ](k∈Z)是 f(x)的单调减区间; ,结合三角函数的图象可得,不存在 ﹣ = )= )是 f(x)的最大值或最小值,且 f(x)的周期为 π; )=0; (k∈Z) ,则既不是奇函数也不是偶

为 个周期,∴f( sin(

+θ)=0 可得 θ≠

经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 解答: 解:∵f(x)=asin2x+bcos2x= 又∵f(x)≤|f( ∴f( )|对一切 x∈R 恒成立, sin(2x+θ) ,

)是 f(x)的最大值或最小值,

f(x)的周期为 π, ①∵ ∴f( ②由 f( 则 θ≠ ③若 f( ④∵﹣ ﹣ = 为 个周期,

)=0; )= sin( +θ)=0,

(k∈Z) ,则既不是奇函数也不是偶函数; )是 f(x)的最大值,则[kπ+ ≤a≤ ,﹣ ,kπ+ ≤b≤ ](k∈Z)是 f(x)的单调减区间; ,

∴不存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 故选 A. 点评: 本题考查了三角函数的图象及由图象可得到的性质,用到了数形结合的思想,属于 中档题. 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=88. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析: 由等差数列的性质知 S11= 解答: 解:等差数列{an}中, ∵a4+a8=16, ∴S11= (a1+a11)=

(a1+a11)=

,由此能够求出结果.

=

=88.

故答案为:88. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的灵活运用,是基础题,解题时要认 真审题,仔细解答. 10. (5 分)如图,阴影区域是由函数 y=cosx 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形,则该阴影区 域的面积是 2.

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由题意,利用定积分的几何意义,所求阴影区域的面积是 S=﹣ 得出结论. 解答: 解:由题意,阴影区域的面积是 S=﹣ =﹣sinx =2. ,即可

故答案为:2. 点评: 本题考查了运用定积分求曲边梯形的面积,属于基础题. 11. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 a=15,b=10,A=60°, 则 cosB= .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由正弦定理可得, 求解 解答: 解:∵a=15,b=10,A=60° 由正弦定理可得, ∴sinB= = = 可求 sinB,然后结合大边对大角及同角平方关系即可

∵a>b ∴A>B ∴B 为锐角 ∴cosB= 故答案为: 点评: 本题主要考查了正弦定理及同角平方关系的简单应用,属于基础试题 12. (5 分)已知实数 x,y 满足 2 +2 =1,则 x+y 的最大值是﹣2. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 实数 x,y 满足 2 +2 =1,利用基本不等式可得 解答: 解:∵实数 x,y 满足 2 +2 =1, ∴ =2 ,化为 x+y≤﹣2.
x y x y x y

=

,化简即可得出.

当且仅当 x=y=﹣1 时取等号. 则 x+y 的最大值是﹣2. 故答案为:﹣2. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质,属于基础题.

13. (5 分)若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的取值

范围(﹣∞,1]. 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据 ,确定交点坐标为(1,2)要使直线 y=2x 上存在点(x,y)满

足约束条件

,则 m≤1,由此可得结论.

解答: 解:由题意,由

,可求得交点坐标为(1,2)

要使直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件



如图所示.可得 m≤1 则实数 m 的取值范围 (﹣∞,1]. 故答案为: (﹣∞,1].

点评: 本题考查线性规划知识的运用,考查学生的理解能力,属于基础题. 14. (5 分)设集 X 是实数集 R 上的子集,如果 x0∈R 满足:对?a>0,都?x∈X,使得 0<|x ﹣x0|<a,那么称 x0 为集合 X 的聚点,用 Z 表示整数集,则给出下列集合: ①{ |n∈Z,n≥0};②{x|x∈R,x≠0};③{ |n∈Z,n≠0};④整数集 Z

其中以 0 为聚点的集合的序号有②③(写出所有正确集合的序号) 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 新定义. 分析: 由已知中关于集合聚点的定义,我们逐一分析四个集合中元素的性质,并判断是否 满足集合聚点的定义,进而得到答案. 解答: 解:①中,集合{ |n∈Z,n≥0}中的元素是极限为 1 的数列,

除了第一项 0 之外,其余的都至少比 0 大 , ∴在 a< 的时候,不存在满足得 0<|x|<a 的 x, ∴0 不是集合{ |n∈Z,n≥0}的聚点

②集合{x|x∈R, x≠0}, 对任意的 a, 都存在 x= (实际上任意比 a 小得数都可以) , 使得 0<|x|= <a ∴0 是集合{x|x∈R,x≠0}的聚点 ③集合{ |n∈Z,n≠0}中的元素是极限为 0 的数列, 对于任意的 a>0,存在 n> ,使 0<|x|= <a ∴0 是集合{ |n∈Z,n≠0}的聚点

④对于某个 a<1,比如 a=0.5,此时对任意的 x∈Z,都有|x﹣0|=0 或者|x﹣0|≥1,也就是说不 可能 0<|x﹣0|<0.5,从而 0 不是整数集 Z 的聚点 故答案为:②③. 点评: 本题考查的知识点是集合元素的性质,其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义, 是解答本题的关键. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (13 分)已知函数 f(x)=2( cosx﹣sinx)sinx,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期与单调增区间; (Ⅱ)求函数 f(x)在[0, ]上的最大值与最小值.

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性;三角函数的最值. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简 f(x) , (Ⅰ)由三角函数的周期公式求出周期,再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间; (Ⅱ)由 x 的范围求出求出 值. 解答: 解:由题意得,f(x)=2 = = , 得, , 所以函数 f(x)的单调增区间是 (Ⅱ)因为 所以 所以 0≤f(x)≤1, 当且仅当 x=0 时,f(x)取最小值 f(x)min=f(0)=0, 当且仅当 时,即 时最大值 . ,所以 ,即 , , ; sinxcosx﹣2sin x= ,
2

的范围,再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小

(Ⅰ)f(x)的最小正周期为:T= 令

点评: 本题考查正弦函数的单调性、最值,以及三角恒等变换的公式的应用,考查了整体 思想的应用. 16. (13 分)已知数列{an}满足:a1=1,2an+1=2an+1,n∈N .数列{bn}的前 n 项和为 Sn,Sn=9 ﹣ ,n∈N .
+ +

(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; + (Ⅱ)设 cn=an?bn,n∈N .求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)根据数列的递推关系即可求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求出数列{cn}的通项公式,利用错位相减法即可求出数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (Ⅰ)由 2an+1=2an+1 得 an+1﹣an= , 又 a1=1,所以数列{an}是以 1 为首项, 为公差的等差数列, 于是 an=a1+(n﹣1)d= 当 n=1 时,b1=S1=9﹣ 当 n≥2 时,Sn﹣1= , =9﹣3=6, ,

则 bn=Sn﹣Sn﹣1=9﹣ 又 n=1 时, 所以 bn= . =6=b1,

﹣[

]=



(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an= 所以 cn=an?bn=(n+1)
﹣1

,bn= ,
0



所以 Tn=2×( ) +3×( ) +4×( ) +…+(n+1)×( ) 等式两边同乘以 得 Tn=2×( ) +3×( ) +4×( ) +…+(n+1)×( ) (1)﹣(2)得
﹣1

1

n﹣2

…(1)

0

1

2

n﹣1

…(2)

Tn=2×( ) +( ) +( ) +…+×( )

0

1

n﹣2

﹣(n+1)×( )

n﹣1

=6+

﹣(n+1)

×( )

n﹣1

, ﹣ ( )
n﹣2

所以 Tn=



点评: 本题主要考查数列的通项公式以及数列的求和,利用错位相减法是解决本题的关键.

17. (13 分)已知函数 f(x)=(1+x) ﹣2aln(1+x) (a∈R) . (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,x∈[0,1],求函数 y=f(x)图象上任意一点处切线斜率 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求函数的定义域,然后求导函数,令导数等于 0,判定导数符号从而求出函 数的单调区间; (Ⅱ)求切线斜率的取值范围即先求 h(x)=f′(x)=2(1+x)﹣ 可利用导数研究 h(x)的范围,即可求出 k 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)函数的定义域为(﹣1,+∞) . f′(x)=2(x+1)﹣ = , (x≠﹣1) ,的取值范围,

2

当 a≤0 时,f′(x)≥0 在(﹣1,+∞)上恒成立,于是 f(x)在定义域内单调递增. 当 a>0 时,f′(x)=0 得 x1=﹣1+ ,x2=﹣1﹣ <﹣1(舍) , 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)变化情况如下 x (﹣1,﹣1+ ) ﹣1+ (﹣1+ ,+∞) f′(x) ﹣ + f(x) 递减 极小值 递增 所以 f(x)的单调递增区间是 (﹣1+ ,+∞) ,单调递减区间是(﹣1,﹣1+ ) . 综上,当 a≤0 时,f(x)单调递增区间是(﹣1,+∞) , 当 a>0 时,f(x)的单调递增区间是 (﹣1+ ,+∞) ,单调递减区间是(﹣1,﹣1+ (Ⅱ)当 a=1 时,f(x)=(1+x) ﹣2ln(1+x) (,令 h(x)=f′(x)=2(1+x)﹣ ﹣1) ,则 h′(x)=2+ >0,故 h(x)为区间[0,1)上增函数,
2

) . (x≠

所以 h(x)=f′(x)∈[0,3],根据导数的几何意义可知 k∈[0,3]. 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及导数的几何意义,同时考查了计 算能力,属于中档题. 18. (13 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直 线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两 位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车 到 B, 在 B 处停留 1min 后, 再从 B 匀速步行到 C. 假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min, 山路 AC 长为 1260m,经测量,cosA= ,cosC=

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)根据正弦定理即可确定出 AB 的长; (2)设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,由余弦定理可得; (3)设乙步行的速度为 v m/min,从而求出 v 的取值范围. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,因为 cosA= ,cosC= ,所以 sinA= ,sinC= , =

从而 sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 由正弦定理 ,得 AB= = =1040m.

所以索道 AB 的长为 1040m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 d =(100+50t) +(130t) ﹣2×130t×(100+50t)×
2 2 2 2

=200(37t ﹣70t+50)=200[37(t﹣

2



+

], ,即 0≤t≤8,故当 t= min 时,甲、乙两游客距离最短. = =500m,

因 0≤t≤

(3)由正弦定理

,得 BC=

乙从 B 出发时,甲已经走了 50×(2+8+1)=550m,还需走 710m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得﹣3≤ ≤3,解得 ,所以为使 ]范围内.

两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙不行的速度应控制在[

点评: 此题考查了余弦定理,锐角三角函数定义,以及勾股定理,利用了分类讨论及数形 结合的思想,属于解直角三角形题型.

19. (14 分)已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+

﹣2ax(a∈R) .

(1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

专题: 导数的综合应用. 分析: (1)令 f′(x)=0 解得 a,再验证是否满足取得极值的条件即可. (2) 由 y=f (x) 在[3, +∞) 上为增函数, 可得 f( ′ x) = 在[3,+∞)上恒成立.对 a 分类讨论即可得出. 解答: 解: (1) = ∵x=2 为 f(x)的极值点,∴f′(2)=0,即 ,解得 a=0. . ≥0,

又当 a=0 时,f′(x)=x(x﹣2) ,可知:x=2 为 f(x)的极值点成立. (2)∵y=f(x)在[3,+∞)上为增函数, ∴f′(x)= ≥0,在[3,+∞)上恒成立.

①当 a=0 时,f′(x)=x(x﹣2)≥0 在[3,+∞)上恒成立,∴f(x)在[3,+∞)上为增函数, 故 a=0 符合题意. ②当 a≠0 时,由函数 f(x)的定义域可知:必须 2ax+1>0 对 x≥3 恒成立,故只能 a>0, ∴2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2)≥0 在区间[3,+∞)上恒成立. 令 g(x)=2ax +(1﹣4a)x﹣(4a +2) ,其对称轴为 ∵a>0,
2 2 2 2 2



,从而 g(x)≥0 在区间[3,+∞)上恒成立,只要 g(3)≥0 即可. .

由 g(3)=﹣4a +6a+1≥0,解得 ∵a>0,∴ 综上所述,a 的取值范围为 . .

点评: 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键. 20. (14 分)已知 Sn={A|A=(a1,a2,a3,…an)},ai={0 或 1},i=1,2,??,n(n≥2) ,对于 U,V∈Sn,d(U,V)表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数. (Ⅰ)令 U=(0,0,0,0) ,存在 m 个 V∈S5,使得 d(U,V)=2,写出 m 的值; (Ⅱ)令 ,U,V∈Sn,求证:d(U,W)+d(V,W)≥d(U,V) ; (Ⅲ)令 U=(a1,a2,a3,…an) ,若 V∈Sn,求所有 d(U,V)之和. 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;证明题;综合题;压轴题;新定义. 2 分析: (Ⅰ)根据 d(U,V)可知 m=C5 ;

(Ⅱ)根据 ai=0 或 1,i=1,2,??,n,分类讨论 ai=0,bi=0 时,|ai|+|bi|=0=|ai﹣bi|;当 ai=0, bi=1 时,|ai|+|bi|=1=|ai﹣bi|;当 ai=1,bi=0 时,|ai|+|bi|=1=|ai﹣bi|; 当 ai=1,bi=1 时,|ai|+|bi|=2≥|ai﹣bi|=0,可证,|ai|+|bi|≥|ai﹣bi|,再相加即可证明结论; n n (Ⅲ)易知 Sn 中共有 2 个元素,分别记为 vk(k=1,2,3,…,2 ,v=(b1,b2,b3,…bn) n﹣1 n﹣1 bi=0 的 vk 共有 2 个,bi=1 的 vk 共有 2 个然后求和即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵V∈S5,d(U,V)=2, 2 ∴C5 =10,即 m=10; (Ⅱ)证明:令 U=(a1,a2,a3,…an) ,V=(b1,b2,b3,…bn) ∵ai=0 或 1,bi=0 或 1; 当 ai=0,bi=0 时,|ai|+|bi|=0=|ai﹣bi| 当 ai=0,bi=1 时,|ai|+|bi|=1=|ai﹣bi| 当 ai=1,bi=0 时,|ai|+|bi|=1=|ai﹣bi| 当 ai=1,bi=1 时,|ai|+|bi|=2≥|ai﹣bi|=0 故,|ai|+|bi|≥|ai﹣bi| ∴d(U,W)+d(V,W)=(a1+a2+a3+…+an)+(b1+b2+b3+…+bn) =(|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|)+(|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|) ≥|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+…+|an﹣bn|=d(U,V) ; n n (Ⅲ)解:易知 Sn 中共有 2 个元素,分别记为 vk(k=1,2,3,…,2 ,v=(b1,b2,b3,…bn) n﹣1 n﹣1 ∵bi=0 的 vk 共有 2 个,bi=1 的 vk 共有 2 个. n﹣1 n﹣1 ∴d(U,V)=2 (|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|an﹣0|+|an﹣1|=n2 n﹣1 ∴d(U,V)=n2 . 点评: 此题是个难题.本题是综合考查集合推理综合的应用,这道题目的难点主要出现在 读题上,需要仔细分析,以找出解题的突破点.题目所给的条件其实包含两个定义,第一个是 关于 Sn 的,其实 Sn 中的元素就是一个 n 维的坐标,其中每个坐标值都是 0 或者 1,也可以这 样理解,就是一个 n 位数字的数组,每个数字都只能是 0 和 1,第二个定义 d(U,V) .


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