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鞍山一中2015届高三四模考试数学(文科)试卷及答案

时间:2015-04-25


鞍山一中 2015 届高三四模考试数学(文科)试卷
命题人:黄琳 校对人:周兴奎

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,所给选项中只有一个正确) 1. 复数 A.一 在复平面上表示的点在第( B.二
3 2

)象限 D.四 )
3 2

C.三

/>2. 命题“对任意 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

B.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 D.对任意 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

3. 在 ?ABC 中, AB ? c , AC ? b ,若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.



2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

D.

1 2 b? c 3 3


4. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A. 1 B.

1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)
C.

5 6

1 6

D.

1 30


5. 将直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 再向右平移 1 个单位所得直线为( A. y ? ?

1 1 x? 3 3

B. y ? ?

1 x ?1 3

C. y ? 3x ? 3

D. y ?

1 x ?1 3

6. 已知 x ? ( ?

?
2

, 0) 且 cos x ?

7 A. 24

4 ,则 tan 2 x ? ( ) 5 7 24 B. ? C. 24 7

D. ?

24 7

7. 甲乙两位同学最近五次模考数学成绩茎叶图如下,则平均分数较高和成绩比较稳 定的分别是( ) 甲 乙 A. 甲、甲 B.乙、甲 C.甲、乙 D.乙、乙 98 6 3899 7 1 数学(文科)试卷第 1 页 共 13 页 210

8. 若, k ? R 则“ k ? 3 ”是“方程 A.充分必要条件 C.必要不充分条件

x2 y2 ? ? 1 ”表示双曲线的( k ?3 k ?3
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

)条件

9. 执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于(



A.[-3,4]

B.[-5,2]

C.[-4,3]

D.[-2,5]

10. 已知 m 、 n 是不重合直线, ? 、 ? 、 ? 是不重合平面,则下列命题 ①若 ? ? ? 、 ? ? ? 则 ? / / ? ③若 ? / / ? 、 ? / / ? 则 ? / /? ②若 m ? ? 、 n ? ? 、 m / / ? 、 n / / ? 则 ? / / ? ④若 ? ? ? 、 m ? ? 则 m / /? ) D.3 个

⑤ m ? ? 、 n ? ? 则 m / / n 中真命题个数是( A.0 个 B.1 个 C.2 个

? 3x ? y ? 0 ? ? 11. 已知点 A(3, 3) , O 是坐标原点,点 P( x, y) 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,设 z 为 OA 在 ? y?0 ? ?

OP 上的投影的数量,则 z 的取值范围是(
A. [? 3, 3] B. [?3,3]

) D. [?3, 3]

C. [? 3,3]

数学(文科)试卷第 2 页 共 13 页

12. 直线

与曲线

有 3 个公共点时,实数 的取值范围 ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. 某几何体三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm)可得该几何体的体积 是__________( V柱体 ? Sh ) 1 1 2

2

主视图

2 左视图

俯视图

14. 椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为
2 15.若不等式 t ? at ? 1 ? 0 对 0 ? t ?

1 恒成立,实数 a 的最小值是 2

三、解答题(本大题共 8 道小题,22、23、24 题选做一道,多做按第一道记分,分值 10 分,其他 5 题每题 12 分共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. ?ABC 中 内 角 A, B, C, 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 向 量 m ? 2 sin B,? 3 ,

?

?

? ? B n ? ? 2 cos 2 ? 1? ? cos 2B , ?,且 m // n. 2 ? ?
(1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值.

数学(文科)试卷第 3 页 共 13 页

18. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、G 分别是 A1A,D1C,AD 的中 点.求证:(1)MN∥平面 ABCD; (2)MN⊥平面 B1BG. A1 1 B1 M A B G C C1 N D D1

19. 某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗, 为了了解树苗生长情 况,从这批树苗中随机地测量了其中 50 棵树苗的高度(单位:厘米).把这些高度列成 了如下的频数分布表: 组别 频数 [40,50) 2 [50,60) 3 [60,70) 14 [70,80) 15 [80,90) 12 [90,100] 4

(1)在这批树苗中任取一棵,其高度在 80 厘米以上的概率大约是多少? (2)这批树苗的平均高度大约是多少? (3)为了进一步获得研究资料,若从[40,50)组中移出一棵树苗,从[90,100]组中移出两 棵树苗进行试验研究, 则[40,50)组中的树苗 A 和[90,100]组中的树苗 C 同时被移出的 概率是多少?

20. 设函数 f ? x ? ? ?

1 3 x ? x 2 ? ? m 2 ? 1? x ? x ? R ? ,其中 m ? 0 3

(1)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线的斜率 (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值 ( 3 )已知函数 f ? x ? 有三个互不相同的零点 0, x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若对任意的

?

?

x ?? x1, x2 ? , f ? x ? ? f ?1? 恒成立,求 m 的取值范围

数学(文科)试卷第 4 页 共 13 页

21. 如图, 设 P 是抛物线 C1 :x 2 ? y 上的动点, 过点 P 作圆 C2 : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的 两条切线,交直线 l : y ? ?3 于 A, B 两点。 (Ⅰ)求圆 C2 的圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离; (Ⅱ)是否存在点 P ,使线段 AB 被抛物线 C1 在点 P 处的切线平分?若存在,求出 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 y P

O A M B

x l

(请在 22、23、24 题中选一道作答,多选按第一道计分,在答题纸上标清题号) 22.(本小题满分 10 分)几何证明选讲 如图, CD 为△ ABC 外接圆的切线, E , F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, AB 的延长 线交直线 CD 于点 D ,且 BC ? AE ? DC ? AF , B, E , F , C 四点共圆. (Ⅰ)证明: CA 是△ ABC 外接圆的直径; (Ⅱ) 若 DB ? BE ? EA , 求过 B, E , F , C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比 值.

C
F

D

B

E

A

数学(文科)试卷第 5 页 共 13 页

23. (本小题满分 10 分)坐标系与参数方程 极坐标系中, P 是曲线 ? ? 12sin ? 上的动点,Q 是曲线 ? ? 12 cos(? ? 点,试求| PQ |的最大值.

?
6

) 上的动

24. (本小题满分 10 分)不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)求函数 f ( x ) 的最小值.

数学(文科)试卷第 6 页 共 13 页

鞍山一中 2015 届高三四模考试 数学(文科)答案
选择题:BCABA DABAC BB

填空题:13. 解答题: 17.

6

14.

15.

16.

就是,,

可得 当且仅当 a=c=2 时即 是等边三角形时取等。----------------

18.(1)取 CD 的中点,记为 E,连接 NE、AE,如图所示.由 N、E 分别为 CD1 与 CD 的 1 1 中点可得 NE∥D1D 且 NE= D1D,又 AM∥D1D 且 AM= D1D,所以 AM∥EN 且 AM=EN,即 2 2 四边形 AMNE 为平行四边形,所以 MN∥AE, 又 AE?面 ABCD,MN 面 ABCD,

所以 MN∥面 ABCD.---------------------(6 分) (2)由 AG=DE,∠BAG=∠ADE=90°,DA=AB,可得△EDA 与△GAB 全等,所以,∠

数学(文科)试卷第 7 页 共 13 页

ABG=∠DAE,又∠DAE+∠AED=90°,∠AED=∠BAE,所以∠BAE+∠ABG=90°,
所以,AE⊥BG,又 BB1⊥AE,且 BG∩BB1=B,所以 AE⊥面 B1BG,又 MN∥AE,所以 MN ⊥平面 B1BG. -------------------(12 分) 19.解 (1)由已知,高度在 80 厘米以上的树苗大约有 12+4=16 棵,则所求的概率

大约为 0.32 (2)树苗的平均高度 x≈ 45×2+55×3+65×14+75×15+85×12+95×4 = 50

3690 =73.8 厘米. 50 (3)依题意,设事件 T=“树苗 A 和树苗 B 同时被移出” 记[40,50)组中的树苗分别为 A、B,[90,100]组中的树苗分别为 C、D、E、F,则所 有的基本事件为

ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF,共 12 个.
满足 A、C 同时被移出的基本事件为 ACD、ACE、ACF,共 3 个,所以树苗 A 和树苗 C 同时被移出的概率 P(T)= 3 =0.25. 12

20. ( 1 ) 当 m ? 1时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1 所 以 曲 线 3

y ? f ( x)在点( 1,f( 1 )) 处的切线斜率为 1-----------------.
(2)解: f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,令 f ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
' 2 2 '

1? m ? 1? m 因为 m ? 0, 所以
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当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

'

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0

(1 ? m,1 ? m)

1? m
0

(1 ? m,??)
+

-

极小值

极大值

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。

2 3 1 m ? m2 ? f ( x ) f ( 1 ? m ) f ( 1 ? m ) 3 函数 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 ,且 =3

2 1 ? m3 ? m 2 ? f ( x ) f ( 1 ? m ) f ( 1 ? m ) 3 函数 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 ,且 = 3

1 1 f ( x) ? x(? x 2 ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 (3)解:由题设, 1 ? x 2 ? x ? m2 ?1 所以方程 3 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 ,解得 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? 3 ?1 2

因为

1 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 3 若 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意
若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,

数学(文科)试卷第 9 页 共 13 页

1 f ( x) ?? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 3 则 又 f ( x1 ) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最
小 值 为 0 , 于 是 对 任 意 的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是

f (1) ? m 2 ?

1 3 3 ?0 ? ?m? 3 3 3 ,解得

1 3 ( , ) 综上,m 的取值范围是 2 3
1 4

21. (Ⅰ)解:因为抛物线 C1 的准线方程为: y ? ?

所以圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离为: | ?

1 11 ? (?3) |? . 4 4

2 (Ⅱ)解:设点 P 的坐标为 ( x0 , x0 ) ,抛物线 C1 在点 P 处的切线交直线 l 于点 D。

再设 A,B,D 的横坐标分别为
2 过点 P( x0 , x0 ) 的抛物线 C1 的切线方程为:

2 y ? x0 ? 2x0 ( x ? x0 ) (1)

当 x0 ? 1 时,过点 P(1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ? 可得 x A ? ?

15 ( x ? 1) 8

17 , xB ? 1, xD ? ?1, x A ? xB ? 2 xD 15 15 ( x ? 1) 8

当 x0 ? ?1 时,过点 P(—1,1)与圆 C2 的切线 PA 为: y ? 1 ?
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可得 x A ? ?1, x B ?

17 , x D ? 1, x A ? x B ? 2 x D 15

xA ? ?

17 , xB ? 1, xD ? ?1, x A ? xB ? 2 xD 15

2 所以 x0 ?1 ? 0

设切线 PA,PB 的斜率为 k1 , k2 ,则
2 PA : y ? x0 ? k1 ( x ? x0 ) (2) 2 PB : y ? x0 ? k2 ( x ? x0 ) (3)

将 y ? ?3 分别代入(1) , (2) , (3)得

xD ?

2 x0 ?3 x2 ? 3 x2 ? 3 ( x0 ? 0); xA ? x0 ? 0 ; xB ? x0 ? ? 0 (k1 , k2 ? 0) 2 x0 k1 k1

2 从而 xA ? xB ? 2 x0 ? ( x0 ? 3)(

1 1 ? ). k1 k2



2 | ? x0 k1 ? x0 ?3|

k12 ? 1

?1

2 2 2 即 ( x0 ? 1)k12 ? 2( x0 ? 3) x0 k1 ? ( x0 ? 3)2 ? 1 ? 0 2 2 2 2 同理, ( x0 ? 1)k2 ? 2( x0 ? 3) x0 k2 ? ( x0 ? 3)2 ? 1 ? 0 2 2 2 所以 k1 , k2 是方程 ( x0 ? 1)k 2 ? 2( x0 ? 3) x0 k ? ( x0 ? 3)2 ? 1 ? 0 的两个不相等的根,

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2 2 2 2(3 ? x0 ) x0 (3 ? x0 ) ?1 从而 k1 ? k2 ? , k1 ? k2 ? . 2 2 x0 ? 1 x0 ? 1

因为 x A ? x B ? 2 x0
2 所以 2 x0 ? (3 ? x0 )(

x2 ? 3 1 1 1 1 1 ? )? 0 ,即 ? ? . k1 k2 x0 k1 k2 x0

从而

2 2(3 ? x0 ) x0 1 ? 2 2 ( x0 ? 3) ? 1 x0

4 进而得 x0 ? 8, x0 ? ? 4 8

综上所述,存在点 P 满足题意,点 P 的坐标为 (? 4 8, 2 2). 22.

23.以极点为坐标原点, 以极轴为 轴正半轴建立直角坐标系

,且极坐标系与直角坐标

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系有相同的长度单位。

的直角坐标方程为

, 圆心

? ? 1 2 c o? s( ?
圆心 24. ,

?
6

)直 角 坐 标 方 程 为 的

,

,

,

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