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2016年广东省惠州市高三第一次调研数学试卷(理科)

时间:2016-08-14


2016 年广东省惠州市高三第一次调研数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. (5 分) (2016?惠州模拟)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4}, 则(?UA)∪B 为( ) A. {1,2,4} B. {2,3,4} C. {0,2,4} D. {0,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 找出全集 U 中不属于 A 的元素,求出 A 的补集,找出既属于 A 补集又属于 B 的元素, 确定出所求的集合. 解答: 解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3}, ∴CUA={0,4},又 B={2,4}, 则(CUA)∪B={0,2,4}. 故选 C 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.
所有

2. (5 分) (2016?惠州模拟)复数 A. B. 10 C. D. 5

(i 是虚数单位)的模等于(



考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 首先将复数化简为 a+bi 的形式,然后求模.
所有

解答: 解:

=1+

=3+i,故模为



故选:A. 点评: 本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法;属于基础题. 3. (5 分) (2016?惠州模拟)下列命题中的假命题是( ) x 2 A. ?x∈R,lgx=0 B. ?x∈R,tanx=0 C. ?x∈R,2 >0 D. ?x∈R,x >0 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 举例说明是 A、B 真命题, 根据指数函数的定义与性质,判断 C 是真命题; 举例说明 D 是假命题. 解答: 解:对于 A,x=1 时,lg1=0,∴A 是真命题; 对于 B,x=0 时,tan0=0,∴B 是真命题; x 对于 C,?x∈R,2 >0,∴C 是真命题; 2 对于 D,当 x=0 时,x =0,∴D 是假命题.
所有

故选:D. 点评: 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题,也考查了命题真假的判断问题,是综合 性题目.

4. (5 分) (2016?惠州模拟)已知 =(a,﹣2) , =(1,1﹣a) ,且 ∥ ,则 a=( A. ﹣1 B. 2 或﹣1 C. 2 D. ﹣2 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两向量平行的坐标表示,列出方程,求出 a 的值即可.
所有



解答: 解:∵ =(a,﹣2) , =(1,1﹣a) ,且 ∥ , ∴a(1﹣a)﹣(﹣2)×1=0, 2 化简得 a ﹣a﹣2=0, 解得 a=2 或 a=﹣1; ∴a 的值是 2 或﹣1. 故选:B. 点评: 本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题,是基础题目. 5. (5 分) (2016?惠州模拟)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= c=2,则∠A=( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 考点: 专题: 分析: 解答: 余弦定理. 解三角形. 根据题意和余弦定理求出 cosA 的值,由 A 的范围求出角 A 的值. 解:∵a= ,b=3,c=2,
所有

,b=3,

∴由余弦定理得,cosA=

=

= ,

又由 A∈(0°,180°) ,得 A=60°, 故选:C. 点评: 本题考查了余弦定理的应用,属于基础题.

6. (5 分) (2016?惠州模拟)已知函数 A. B. C. D.

,则

=(



考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.
所有

分析: 首先求出 的函数值,然后判断此函数值所在范围,继续求其函数值. 解答: 解:因为 >0,所以 f( )= =﹣2,又﹣2<0,所以 f(﹣2)=2 = ;
﹣2

故选:B. 点评: 本题考查了分段函数的函数值求法;关键是明确自变量所属的范围,代入对应的解析 式计算即可. 7. (5 分) (2016?惠州模拟)已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是边长为 1 的 正方形,俯视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的体积是( )

A. 2 B. 1 C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱;结合图中 数据求出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得 该几何体是如图所示的直三棱柱; 且该三棱柱的底面是边长为 1 的等腰直角三角形 1,高为 1; 所以,该三棱柱的体积为
所有

V=Sh= ×1×1×1= . 故选:C.

点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力的应用问题,是 基础题目.

8. (5 分) (2016?惠州模拟)已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=x+2y 的最大

值为( ) A. ﹣2 B. 2 C. 1 D. ﹣1 考点: 专题: 分析: 解答: 简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域,
所有

由 z=x+2y,得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ 直线 y=﹣

, ,由图象可知当直线 y=﹣ 经过点 A 时,

的截距最大,此时 z 最大.



,得



即 A(0,1) , 此时 z 的最大值为 z=0+2×1=2, 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

9. (5 分) (2016?惠州模拟) ( ) A. 3π B. C. D.

的图象中相邻的两条对称轴间距离为

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 计算题.

所有

分析: 先对函数式化简整理得 f(x)= 数图象的对称轴,进而相邻的两条对称轴间距离可得. 解答: 解:∵ ∴图象的对称轴为 即 故相邻的两条对称轴间距离为 故选 C 点评: 本题主要考查了正弦函数的对称性.属基础题. , =

,再根据正弦函数的性质求得函

10. (5 分) (2005?天津) 设 α、 β、 γ 为平面, m、 n、 l 为直线, 则 m⊥β 的一个充分条件是 ( A. α⊥β,α∩β=l,m⊥l B. α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ C. α⊥γ,β⊥γ,m⊥α D. n⊥α,n⊥β,m⊥α



考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题;转化思想. 分析: 根据面面垂直的判定定理可知选项 A 是否正确,根据平面 α 与平面 β 的位置关系进行 判定可知选项 B 和 C 是否正确,根据垂直于同一直线的两平面平行,以及与两平行平面中一 个垂直则垂直于另一个平面,可知选项 D 正确. 解答: 解:α⊥β,α∩β=l,m⊥l,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件 m?α,故不正确; α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而 α 与 β 可能平行,也可能相交,则 m 与 β 不一定垂直,故不正确; α⊥γ,β⊥γ,m⊥α,而 α 与 β 可能平行,也可能相交,则 m 与 β 不一定垂直,故不正确; n⊥α,n⊥β,?α∥β,而 m⊥α,则 m⊥β,故正确 故选 D 点评: 本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识,考查化归与转 化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.
所有

11. (5 分) (2016?惠州模拟)将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中 山大学这 3 所大学就读,则每所大学至少保送 1 人的不同保送方法数为( )种. A. 150 B. 180 C. 240 D. 540 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合.

所有

分析: 每所大学至少保送一人, 可以分类来解, 当 5 名学生分成 2, 2, 1 时, 共有 C5 C3 A3 , 当 5 名学生分成 3,1,1 时,共有 C5 A3 ,根据分类计数原理得到结果. 解答: 解:当 5 名学生分成 2,2,1 或 3,1,1 两种形式, 当 5 名学生分成 2,2,1 时,共有 C5 C3 A3 =90 种结果, 当 5 名学生分成 3,1,1 时,共有 C5 A3 =60 种结果,
3 3 2 2 3 3 3

2

2

3

∴根据分类计数原理知共有 90+60=150 故不同保送的方法数为 150 种, 故选:A. 点评: 本题考查了分组分配问题,关键是如何分组,属于中档题.

12. (5 分) (2016?惠州模拟)已知抛物线

与双曲线

有共同的焦

点 F,O 为坐标原点,P 在 x 轴上方且在双曲线上,则 A. B. C. D.

的最小值为(



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
所有

分析: 抛物线

,可得 x =8y,焦点 F 为(0,2) ,则双曲线

2



c=2,可得双曲线方程,利用向量的数量积公式,结合配方法,即可求出 解答: 解:抛物线 的 c=2, 则 a =3,即双曲线方程为 设 P(m,n) (n≥ 则
2 2 2

的最小值.

,可得 x =8y,焦点 F 为(0,2) ,则双曲线

2


2 2

) ,则 n ﹣3m =3,∴m = n ﹣1,
2 2 2 2 2

=(m,n)?(m,n﹣2)=m +n ﹣2n= n ﹣1+n ﹣2n= (n﹣ ) ﹣ ,

因为 n≥ ,故当 n= 时取得最小值,最小值为 3﹣2 , 故选:A. 点评: 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能 力,属于中档题. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分)若 ,则 cos2θ= .

考点: 诱导公式的作用;二倍角的余弦. 分析: 由 sin(α+

所有

)=cosα 及 cos2α=2cos α﹣1 解之即可.

2

解答: 解:由 而 故答案为:﹣ .

可知,

, .

点评: 本题考查诱导公式及二倍角公式的应用.
4

14. (5 分) (2016?惠州模拟) (x﹣

) 的展开式中常数项为

. (用数字表示)

考点: 二项式定理. 专题: 计算题;二项式定理.
所有

分析: 利用二项展开式的通项公式 Tr+1=(﹣ (x﹣ ) 的展开式中常数项.
4

)?

r

?x

4﹣2r

,令 4﹣2r=0 得 r=2,即可求出

解答: 解:设(x﹣ 令 4﹣2r=0 得 r=2.

) 展开式的通项为 Tr+1,则 Tr+1=(﹣

4

)?

r

?x

4﹣2r



∴展开式中常数项为: (﹣ ) ? 故答案为: .

2

= .

点评: 本题考查二项式系数的性质,利用通项公式化简是关键,属于中档题.

15. (5 分) (2016?惠州模拟) (理)

π+2 .

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 根据定积分的定义,找出三角函数的原函数然后代入计算即可.
所有

解答: 解:

(x+sinx)

=

+1﹣(

﹣1)=π+2,

故答案为 π+2. 点评: 此题考查定积分的性质及其计算,是高中新增的内容,要掌握定积分基本的定义和性 质,解题的关键是找出原函数. 16. (5 分) (2016?惠州模拟)如数表,为一组等式:某学生猜测 S2n﹣1=(2n﹣1) (an +bn+c) , 老师回答正确,则 3a+b= 4 .
2

考点: 归纳推理. 专题: 规律型.

所有

分析: 利用所给等式,对猜测 S2n﹣1=(2n﹣1) (an +bn+c) ,进行赋值,即可得到结论. 解答: 解:由题意,

2



,∴3a+b=4

故答案为:4 点评: 本题考查了归纳推理,根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有 对象都具有这种性质的推理. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2016?惠州模拟)已知{an}为等差数列,且满足 a1+a3=8,a2+a4=12. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3,ak+1,Sk 成等比数列,求正整数 k 的值. 考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意可得首项和公差的方程组,解方程组可得通项公式;

所有

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn,进而可得 a3,ak+1,Sk,由等比数列可得 k 的方程,解方程即可. 解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d, 由题意可得 ,

解方程组可得 a1=2,d=2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ∴a3=2×3=6,ak+1=2(k+1) , ∵a3,ak+1,Sk 成等比数列,∴ , , ,

∴(2k+2) =6(k +k) , 2 化简可得 k ﹣k﹣2=0, 解得 k=2 或 k=﹣1, * ∵k∈N ,∴k=2 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,涉及等比数列的通项公式,属中档题. 18. (12 分) (2016?惠州模拟)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从 中随机抽取 50 个作为样本,称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为[5,15], (15,25], (25,35], (35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图) , (1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值; (2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为 X,求 X 的分布列和数 学期望. (以直方图中的频率作为概率)

2

2

考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)求解得 a=0.03,由最高矩形中点的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数 约为 20 根据平均数值公式求解即可.
所有

(2)X~B(3, ) ,根据二项分布求解 P(X=0) ,P(X=1) ,P(X=2)= 出分布列,求解数学期望即可. 解答: 解: (1)由题意得, (0.02+0.032+a+0.018)×10=1 解得 a=0.03; 又由最高矩形中点的横坐标为 20, 可估计盒子中小球重量的众数约为 20, 而 50 个样本小球重量的平均值为: =0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克) 故估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克. (2)利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在[5,15]内的 0.2; 则 X~B(3, ) , X=0,1,2,3; P(X=0)= P(X=1)= ×( ) = ×( ) × =
2 3

,P(X=3) ,列

; ;

P(X=2)= P(X=3)=

×( )×( ) = ×( ) =
3

2





∴X 的分布列为: X0123 P 即 E(X)=0× = .

点评: 本题考查了离散型的随机变量及概率分布列,数学期望的求解,注意阅读题意,得出 随机变量的数值,准确求解概率,难度不大,需要很好的计算能力 19. (12 分) (2016?惠州模拟)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=BC1=2, ∠AA1C1=60°,平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,AC1 与 A1C 相交于点 D. (1)求证:BD⊥平面 AA1C1C; (2)求二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由平行四边形 AA1C1C 中 AC=A1C1,结合题意证出△ AA1C1 为等边三角形,同 理得△ ABC1 是等边三角形,从而得到中线 BD⊥AC1,利用面面垂直判定定理即可证出 BD⊥ 平面 AA1C1C. (2)以点 D 为坐标原点,DA、DC、DB 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,分 别求出平面 ABC1 与平面 ABC 的法向量,从而可算出二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值. 解答: 解: (1)∵四边形 AA1C1C 为平行四边形,∴AC=A1C1, ∵AC=AA1,∴AA1=A1C1, ∵∠AA1C1=60°,∴△AA1C1 为等边三角形, 同理△ ABC1 是等边三角形, ∵D 为 AC1 的中点,∴BD⊥AC1, ∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C, 平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1,BD?平面 ABC1, ∴BD⊥平面 AA1C1C. (2)以点 D 为坐标原点,DA、DC、DB 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,
所有

平面 ABC1 的一个法向量为

,设平面 ABC 的法向量为



由题意可得



,则



所以平面 ABC 的一个法向量为 =( ∴cosθ= .

,1,1) ,

即二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值等于



点评: 本题在三棱柱中求证线面垂直,并求二面角的平面角大小.着重考查了面面垂直的判 定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识,属于中档题.

20. (12 分) (2014?陕西)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:
2

+

=1(a>b>0,y≥0)和部分

抛物线 C2:y=﹣x +1(y≤0)连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为



(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于点 P,Q(均异于点 A,B) ,若 AP⊥AQ,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 向量与圆锥曲线.

所有

分析: (Ⅰ)在 C1、C2 的方程中,令 y=0,即得 b=1,设 C1:的半焦距为 c,由 = ﹣c =b =1 得 a=2;
2 2

及a

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆 C1 的方程为
2 2 2 2

+x =1(y≥0) ,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) ,代

2

入 C1 的方程,整理得(k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*)设点 P(xp,yp) ,依题意,可求得点 P 的坐标为( , ) ;同理可得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) ,利用
2

?

=0,

可求得 k 的值,从而可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)在 C1、C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(﹣1,0) ,B(1,0)是上 半椭圆 C1 的左右顶点. 设 C1:的半焦距为 c,由 = ∴a=2,b=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆 C1 的方程为 +x =1(y≥0) .
2

及 a ﹣c =b =1 得 a=2.

2

2

2

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠0) , 代入 C1 的方程,整理得 2 2 2 2 (k +4)x ﹣2k x+k ﹣4=0. (*) 设点 P(xp,yp) , ∵直线 l 过点 B, ∴x=1 是方程(*)的一个根, 由求根公式,得 xp= ,从而 yp= ,

∴点 P 的坐标为(



) .

同理,由 ∴ = (k,﹣4) ,

得点 Q 的坐标为(﹣k﹣1,﹣k ﹣2k) , =﹣k(1,k+2) ,

2

∵AP⊥AQ,∴

?

=0,即

[k﹣4(k+2)]=0,

∵k≠0,∴k﹣4(k+2)=0,解得 k=﹣ . 经检验,k=﹣ 符合题意, 故直线 l 的方程为 y=﹣ (x﹣1) ,即 8x+3y﹣8=0.

点评: 本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查 抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数 与方程思想,属于难题. 21. (12 分) (2016?惠州模拟)已知函数 f(x)=x(x﹣a) ,g(x)=﹣x +(a﹣1)x+a(其 中 a∈R) . (1)如果函数 y=f(x)和 y=g(x)有相同的极值点,求 a 的值,并直接写出函数 f(x)的单 调区间; (2)令 F(x)=f(x)﹣g(x) ,讨论函数 y=F(x)在区间[﹣1,3]上零点的个数. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出函数 y=f(x)的导数,求出极值点,通过与 y=g(x)有相同的极值点相同, 求 a 的值,利用导数值的符号直接写出函数 y=f(x)的单调区间; (2)化简方程 f(x)﹣g(x)=0,构造函数,通过 a 的讨论,利用判别式是否为 0,即可求 解在区间[﹣1,3]上实数解的个数,即函数零点的个数.
所有

2

2

解答: 解: (1)f(x)=x(x﹣a) =x ﹣2ax +a x, 2 2 则 f'(x)=3x ﹣4ax+a =(3x﹣a) (x﹣a) , 令 f'(x)=0,得 x=a 或 x= ,而二次函数 g(x)在 x= ∴ =a 或 = ; 处有极大值,

2

3

2

2

综上:a=3 或 a=﹣1. 当 a=3 时,y=f(x)的单调增区间是(﹣∞,1],[3,+∞) ,减区间是(1,3) , 当 a=﹣1 时,y=f(x)的单调增区间是,减区间是; (2)F(x)=f(x)﹣g(x)=x(x﹣a) +x ﹣(a﹣1)x﹣a, 2 =x(x﹣a) +(x﹣a) (x+1) , 2 =(x﹣a)[x +(1﹣a)x+1], 2 令 h(x)=x +(1﹣a)x+1,则△ =(a+1) (a﹣3) 1°当﹣1<a<3 时,△ <0,h(x)=0 无解,故原方程的解为 x=a∈[﹣1,3],满足题意, 即原方程有一解,函数 y=F(x)在区间[﹣1,3]有唯一零点; 2°当 a=3 时,△ =0,h(x)=0 的解为 x=1,故原方程有两解,x=1,3,故函数 y=F(x)在区 间[﹣1,3]有 2 个零点; 3°当 a=﹣1 时,△ =0,h(x)=0 的解为 x=﹣1,故原方程有一解,x=﹣1,故函数 y=F(x)在 区间[﹣1,3]有 1 个零点 4°当 a>3 时,△ >0,由于 h(﹣1)=a+1>4,h(0)=1,h(3)=13﹣3a 若 13﹣3a<0,即 a> 有 1 个零点; 若 13﹣3a=0,即 a= 有 2 个零点; 时,h(x)=0 在[﹣1,3]上有两解,故函数 y=F(x)在区间[﹣1,3] 时,h(x)=0 在[﹣1,3]上有一解,故函数 y=F(x)在区间[﹣1,3]
2 2

若 13﹣3a>0,即 3<a<

时时,h(x)=0 在[﹣1,3]上两解,故函数 y=F(x)在区间[﹣1,

3]有 2 个零点; 5°当 a<﹣1 时,△ >0,由于 h(﹣1)=a+1<0,h(0)=1,h(3)=13﹣3a>0, h(x)=0 在[﹣1,3]上有一解,故函数 y=F(x)在区间[﹣1,3]有 1 个零点; 综上可得:当 3≤a≤ 时时,函数 y=F(x)在[﹣1,3]上有 2 个零点;当 a<3 或 x> 时,

函数 y=F(x)在[﹣1,3]上有有 1 个零点. 点评: 本题考查函数与导数的应用,函数的极值以及函数的单调区间,函数的零点的判断, 考查分类讨论思想的应用,转化思想以及计算能力,属于难题. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写 清题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22. (10 分) (2013?辽宁) (选修 4﹣1 几何证明选讲) 如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C, EF 垂直于 AB 于 F,连接 AE,BE,证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF =AD?BC.
2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 综合题. 分析: (1)直线 CD 与⊙O 相切于 E,利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB.由 AB 为⊙O 的直径,可得∠AEB=90°.又 EF⊥AB,利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB,从而得证. (2)利用(1)的结论及∠ECB=90°=∠EFB 和 EB 公用可得△ CEB≌△FEB,于是 CB=FB.同 理可得△ ADE≌△AFE,AD=AF.在 Rt△ AEB 中,由 EF⊥AB,利用射影定理可得 2 EF =AF?FB.等量代换即可. 解答: 证明: (1)∵直线 CD 与⊙O 相切于 E,∴∠CEB=∠EAB. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AEB=90°. ∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵EF⊥AB,∴∠FEB+∠EBF=90°. ∴∠FEB=∠EAB. ∴∠CEB=∠EAB. (2)∵BC⊥CD,∴∠ECB=90°=∠EFB, 又∠CEB=∠FEB,EB 公用. ∴△CEB≌△FEB. ∴CB=FB.
所有

同理可得△ ADE≌△AFE,∴AD=AF. 在 Rt△ AEB 中,∵EF⊥AB,∴EF =AF?FB. 2 ∴EF =AD?CB. 点评: 熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射 影定理等是解题的关键. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2016?惠州模拟)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以
2

该直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ρ=﹣ 2cosθ+2 sinθ. (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长. 考点: 参数方程化成普通方程. 分析: (Ⅰ)把参数方程化为直角坐标方程,求出圆心的直角坐标,再把它化为极坐标. (Ⅱ)由(Ⅰ)求得(﹣1, )到直线 x﹣y+1=0 的距离 d,再利用弦长公式求得弦长. 解答: 解: (Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x﹣y+1=0,
所有

圆 C2 的直角坐标方程(x+1) + 所以圆心的直角坐标为(﹣1, 所以圆心的一个极坐标为(2, (Ⅱ)由(Ⅰ)知(﹣1, 所以 AB=2 = . ) , ) .

2

=4,

)到直线 x﹣y+1=0 的距离 d=

=



点评: 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式 的应用,属于基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (2016?惠州模拟)已知关于 x 的不等式 m﹣|x﹣2|≥1,其解集为[0,4]. (Ⅰ)求 m 的值; 2 2 (Ⅱ)若 a,b 均为正实数,且满足 a+b=m,求 a +b 的最小值. 考点: 二维形式的柯西不等式;绝对值不等式的解法. 专题: 选作题;不等式. 分析: (Ⅰ)去掉绝对值,求出解集,利用解集为[0,4],求 m 的值; 2 2 (Ⅱ)利用柯西不等式,即可求 a +b 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 m﹣|x﹣2|≥1 可化为|x﹣2|≤m﹣1,…(1 分) ∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1,即 3﹣m≤x≤m+1,…(2 分)
所有

∵其解集为[0,4],∴ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a+b=3,

,∴m=3.…(5 分)

∵(a +b ) (1 +1 )≥(a×1+b×1) =(a+b) =9, ∴a +b ≥ ,∴a +b 的最小值为 .…(10 分) 点评: 本题考查不等式的解法,考查柯西不等式,正确运用柯西不等式是关键.
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