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5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(1)教案


5.5 两倍角与半角的正弦、余弦和正切(1)教案
教学目的:1、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程; 2、能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明 教学重点:1 2 二倍角公式的简单应用 教学过程: (一) 、引入 一、 (设置情境) 复习两角和的正弦、余弦、正切公式:
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r />
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sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? , (? ? R, ? ? R) cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? , (? ? R, ? ? R)

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? ? , (? , ? , ? ? ? ? k? ? , k ? Z ) 1 ? tan? tan ? 2

问:上述式子中令 ? ? ? 会得到什么? 二、 (双基回顾)

sin(? ? ? ) ? ___________________________; cos(? ? ? ) ? ___________________________; tan( ? ? ? ) ? ___________________________.
(二) 、新课 一、 (新课教学,注意情境设置) 二、概念或定理或公式教学(推导) 在上述公式中,当 ? ? ? 时,得到相应的一组公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;
tan 2? ?
2

2 tan ? ; 1 ? tan 2 ?
2 2 2

因为 sin ? ? cos ? ? 1 ,所以公式 cos 2? ? cos ? ? sin ? 可以变形为

cos2? ? 2 cos2 ? ? 1或

2 ?? ) co2 s? ? 1 ? 2 s i n ? (C2

上述公式统称为二倍角公式. 三、 (概念辨析或变式问题,目的是加强概念、公式的理解或应用) 探究: (1)二倍角公式的作用在于用单角的三角比来表达二倍角的三角比,它适用于二倍 角与单角的三角比之间的互化问题.

1

(2)二倍角公式为仅限于 2? 是 ? 的二倍的形式, 其它如 4? 是 2? 的两倍, 的两倍, 3? 是

3? ? ? 的两倍, 是 的两倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.因此,要 2 3 6

? ? 是 2 4

理解“二倍角”的含义,即当

? ? 2 时, ? 就是 ? 的二倍角.凡是符合二倍角关系的就可 ?
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以应用二倍角公式.尤其是“倍角”的意义是相对的 (3)二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等时推导出,记忆时可联 想相应角的公式. (4)熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次) (5)特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用 2

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四、典型例题(3 个,基础的或中等难度) 例 1、不查表.求下列各式的值

5? 5? 5? 5? ? cos )(sin ? cos ) 12 12 12 12 1 1 ? (3) 1 ? tan ? 1 ? tan ?
(1) (sin 解: (1) (sin (2) cos
4

(2) cos

4

?
2

? sin 4
2

?
2

(4) 1 ? 2 cos ? ? cos2?

5? 5? 5? 5? 5? 5? 5? 3 ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 ? cos2 ? ? cos ? 12 12 12 12 12 12 6 2

? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos 2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2 1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? (3) 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?
(4) 1 ? 2 cos ? ? cos2? ? 1 ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2
2 2 2

例 2、若 tan ? = 3,求 sin2? ? cos2? 的值 解:sin2? ? cos2? = 例 3、已知 sin ? ?

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2 sin cos? ? sin 2 ? ? cos2 ? 2 tan? ? tan2 ? ? 1 7 ? ? 5 sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan2 ?
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5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值 13 2 5 ? 12 2 , ? ? ( , ?) 解:∵ sin ? ? ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 13 2 13 120 ∴sin2? = 2sin?cos? = ? 169 119 120 2 cos2? = 1 ? 2 sin ? ? tan2? = ? 169 119
? ? ? 2 ? cos 2 ? ? cos ? ? 8 8 4 2
2

五、课堂练习(2 个,基础的或中等难度) 1、 求值: (1) sin
2

(2) 8 sin

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 cos cos cos ? 4 sin cos cos ? 2 sin cos ? sin ? 48 48 24 12 24 24 12 12 12 6 2
4

2、 (1)求证:8cos θ =cos4θ +4cos2θ +3 证明:8cos θ =8(cos θ ) =8(

1 ? cos 2? 2 ) 2 1 ? cos 4? 2 =2(cos 2θ +2cos2θ +1 2( )+4cos2θ +2 4
4 2 2

=cos4θ +4cos2θ +3 (2)已知 sin(
cos 2 x π 5 π -x)= ,0<x< ,求 的值. π 13 4 4 cos ( ? x) 4

解:∵(

π π π -x)+( +x)= , 4 4 2 π π +x)=sin( -x). 4 4 π π π π -2x)=sin2( -x)=2sin( -x)cos( -x) , 2 4 4 4

∴cos(

又 cos2x=sin( ∴

cos 2 x π 12 24 =2cos( -x)=2× = . π 13 13 4 cos ( ? x) 4

六、拓展探究(2 个) 1、若 270°<α <360°,则 A sin
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1 1 1 1 ? ? cos 2? 等于 ( D 2 2 2 2
C -sin
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)

? 2

B cos
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? 2

? 2
2

D -cos
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解:∵cos2α =2cos α -1

2

∴cosα =2cos

? -1 2

? 2



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? cos 2? ? ? ? (2 cos2 ? ? 1) ? ? cos2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
135°<

又∵270°<α <360°

? <180 2

∴原式=

1 1 1 1 ? ? ? ? cos? ? ? (2 cos2 ? 1) ? cos2 ? ? cos 2 2 2 2 2 2 2
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2、求 sin10°sin30°sin50°sin70°的值 解:∵sin10°=cos80° ,sin50°=cos40°, sin70°=cos20° ∴原式=

1 cos80°cos40°cos20° 2

1 cos 80? cos 40? cos 20? sin 20? 1 = × ? ? 2 sin 20? 2

cos80? cos 40? sin 40? ? sin 20?

1 2

3

1 ? ? 2

1 1 1 1 1 cos80? sin 80? ? ? sin 160? ? ? ? 1 2 2 ? 2 2 2? 1 sin 20? 2 sin 20? 16

(三) 、小结 1.不仅要能熟练推证公式(建议自己推证一遍所有公式) 、熟悉公式的正用逆用,还要 熟练掌握公式的变形应用; 2. 注意倍角的相对性,如 3α 是

3? 的倍角。 2

(四) 、作业 课外作业: (6+2 填空,3+1 选择,3+1 解答,其中+后面的题目可以难些用“*”注明) 一、填空题 1、已知 tan 2、 (cos
?
12

?
2

? 3, 则 cos ? ?
?
12

.

? sin

)(cos

?
12

? sin

?
12

)=
. .

.

3、已知 tan ? ?

1 , 则 cos 2? 的值为 2

4、 sin105 cos105 的值为 5、设 tan(? ? ? ) ? 6、已知 x ? ? ? 7*、已知 sin(

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4 4 4
.

.

4 ? ? ? ,0 ? , cos x ? ,则 tan 2 x = 5 ? 2 ?

?
4

? x ) sin(

?
4

?x)?

1 ? ,x ? ( ,? ) ,则 sin 4 x ? ____. 6 2
.

8*、已知 cos 2? ? 二、选择题

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 3

11 18

1、已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ?

A、

7 25

B、

18 25

3 ,那么 cos 2? 的值为 5 7 18 D 、? C、 ? 25 25





2、下列各式中,值为

1 的是 2
B 、 cos 2





A 、 sin15 cos 15

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

1 ? cos
D、

?
6

2

3、若 0 ? ? ? ? ?

?
2

且 cos( ? ? ? ) ?

4 5 ,sin( ? ? ? ) ? ,那么 cos 2? 的值是( 5 13



4

A、

63 65

B 、?

63 65

C、

33 65

D、

56 13 或? 65 65

4*、若 sin ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ?
7 9
B 、?


D、

A 、?
三、解答题

1 3

C、

1 3

7 9

1、已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

), x ? R .若 f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

2、已知 tan?? ? ? ? ?

1 3 ?? ? , sin ? ? , ? ? ? , ? ? ,求 tan?2? ? ? ? 的值. 2 5 ?2 ?

3、已知 sin

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2
(2)求

(1)求 tan x 的值;

cos 2 x 2 cos( ? x) ? sin x 4

?

的值。

4*、已知 tan ? ?

1 1 , tan ? ? ,并且 ? , ? 7 3

均为锐角,求 ?

? 2?

的值。

四、双基铺垫
2 1、 1 ? cos ? ? 2 cos

?
2

2 ;2、 1 ? cos ? ? 2sin

?
2

5

两倍角与半角的正弦、余弦和正切(1) 课外作业答案
一、填空题 1、 -
24 7

4 5

;2、

3 2

;3、

3 5

;4、 -

1 4

;5、

3 ; 22

6、

; 7、

?

4 2 9

;8、

11 18
4、A ;

二、选择题 1、 A 三、解答题 ;2、 C ;3、 C

1、解: f ( x) ? sin x ? cos x 由 f (? ) ?

3 9 3 得: sin ? ? cos ? ? , 1 ? 2sin ? cos ? ? 4 16 4

? sin 2? ? ?

7 16 1 1 4 3 ,? t a ?n ? ? ,? t a 2n ? ? ? . 又 ? sin ? ? , 且 2 2 3 5

n??? ? 2 、 解 析 ? t a??

4 3 tan 2? ? tan ? 7 ?? ? ?? ? ? ? , ? ? ? cos ? ? ? ,? tan ? ? ? ,? tan?2? ? ? ? ? 5 4 1 ? tan2? tan ? 24 ?2 ?

x x x x 2 ? 2? 2 ? ? 4 i n ? 2c o s ? 0 , ? tan ? 2 , 3、 解: (1) 由s ? tan x ? x 1 ? 22 2 2 2 3 1 ? tan2 2 2 tan
. (2) 原式=

cos2 x ? sin 2 x 2( 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cosx ? sin x) (cos x ? sin x) sin x

?

cos x ? sin x 3 1 ? cot x ? 1 ? (? ) ? 1 ? . sin x 4 4
∵tan ? = <1,tan ? = <1, 且 ? 、 ? 均为锐角,
? ? ,0< ? < . 4 4
1 7 1 3

4、解

∴0< ? <

∴0< ? +2 ? <

3? . 4

又 tan2 ? =

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

= ,

3 4

1 3 ? ? tan? ? tan 2 ? ∴tan( ? +2 ? )= = 7 4 =1.∴ ? +2 ? = . 1 3 4 1 ? tan? ? tan 2 ? 1? ? 7 4
四、双基铺垫
2 1、 1 ? cos ? ? 2 cos

?
2

2 ;2、 1 ? cos ? ? 2sin

?
2

6


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