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必修三3.1.3概率的基本性质

时间:2015-07-08


3.1.3 概率的基本性质 一.学习目标分析 1.知识与技能: (1)正确理解事件的包含、并事件、交事件,以及互斥事件、对立事 件的概念 (2)掌握概率的几个基本性质,并能灵活运用解决实际问题; (3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与 联系。 2.过程与方法: 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养 学生的类比与归纳的数学思想。 3.情感态度价值观: 通过数学活动,了解教学与实际生活的密切联系,感受数学知识 应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣。 二、教学重难点 重点:事件的关系与运算、概率基本的性质 难点:概率的加法公式及其应用,事件的关系与运算 三.课型与教法 1.课型:讨论课 2.教法:通过师生共同讨论,从而使学生加深对概率基本性质的理解 和认识;

四.教学过程 1.创设问题情境 问题:在掷骰子的试验中,我们可以定义许多事件,如: C1={ 出现 1 点 }; C2 ={出现 2 点}; C3 ={ 出现 3 点 }; C4 ={ 出现 4 点 }; C5 ={出现 5 点}; C6 ={ 出现 6 点 }; D1 ={ 出现的点数不大于 1 }; D3 ={ 出现的点数小于 5 }; E ={ 出现的点数小于 7 }; F ={ 出现的点数大于 6 }; D2 ={ 出现的点数大于 3 };

G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 };?? ⑴.你能说出 E、F、G、H 所包含的试验结果吗? ⑵.你能写出这个试验中出现的其他一些事件吗? ⑶. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗?有的话,哪些是? 我们知道,一个事件可以包含试验的多个结果,这样,我们可以 把每一个结果看做一个元素,把每一个事件看做一个集合,因此事件 之间的关系及运算几乎等价于集合之间的关系和运算, 回顾:集合之间的关系与运算 我们可以类比集合之间的关系和运算,发现事件之间关系以及运 算,加深对概率基本性质的理解和认识,这就是我们这一节课所要学 习的内容——概率的基本性质 2.新知探究与应用 思考:在掷骰子的试验中,回答下列问题,类比集合之间的关系 和运算,找出事件的关系和运算。

⑴.若事件 C1 发生,则还有哪些事件也一定会发生?反过来可以 么? ⑵.上述事件中,哪些事件发生会使得 K={出现 1 点或 5 点}也发 生? ⑶.上述事件中,哪些事件发生当且仅当事件 D2 且事件 D3 同时发 生? ⑷.若只掷一次骰子,则事件 C1 和事件 C2 有可能同时发生么? ⑸.在掷骰子实验中事件 G 和事件 H 是否一定有一个会发生? 师生共同讨论:观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能 发现事件的关系与运算吗? 3.事件的关系和运算 例:如果事件 C1 发生,则事件 H 一定发生,这时我们说事件 H 包 含事件 C1. 反过来不可以 (1)包含关系 一般地,对于事件 A 与事件 B,如果事件 A 发生, 则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事 件 B),记作 B ? A(或 A ? B). 知识拓展: ?与集合类比,事件的包含关系也可以用图来表示

B

A

?不可能事件与其他事件的关系 ?任何事件都包含不可能事件。 ?事件的包含关系与集合的包含关系相似,不可能事件与空集相 似。 例:事件 C1={出现 1 点}发生,则事件 D1={出现的点数不大于 1} 就一定会发生,反过来也一样,所以 C1=D1. (2)相等关系 一般地,对事件 A 与事件 B,若 B ? A,且 A ? B, 那么称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B 。

B A
知识拓展:两个事件相等的实质是什么? 两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件。 例:若事件 K={出现 1 点或 5 点}发生,则事件 C1 ={出现 1 点}与 事件 C5 ={出现 5 点}中至少有一个会发生,则 C1∪C5=K (3)事件的并(或称事件的和)若事件发生当且仅当事件 A 发生 或事件 B 发生(即事件 A ,B 中至少有一个发生) ,则称此事件为 A 与 B 的并事件(或和事件) ,记为 A∪B(或 A+B) 。

A

B

思考:谈谈你对并事件的理解 并事件具有三层意思:事件 A 发生,事件 B 不发生;事件 A 不发 生,事件 B 发生;事件 A、B 同时发生;即事件 A、B 中至少有一个发 生。 例:在掷骰子的试验中,D2 ={出现的点数大于 3 };D3 ={出现的 点数小于 5};D2∩D3= C4 (4)交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为 事件 A 和事件 B 的交事件(或积事件) ,记作 A∩B(或 AB)。

B

A? B

A

例:因为事件 C1={出现 1 点}与事件 C2={出现 2 点}不可能同时发 生,故这两个事件互斥。 (5)互斥事件 若 A∩B 为不可能事件(A∩B= ? ) ,那么称事件 A 与事件 B 互斥, 其含义是:事件 A 与事件 B 在任何一次试验中都不会同时发生。

A

B

例:事件 G ={出现的点数为偶数}与事件 H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。 (6)互为对立事件 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件, ?其含义是:事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发 生。

A

B

?事件 A 与事件 B 互为对立事件和集合 A 与集合 B 互补类似。

思考:你能说说互斥事件和对立事件的区别吗? 互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具 体包括三种不同的情形:?事件 A 发生且事件 B 不发生;?事件 A 不 发生且事件 B 发生;?事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事件是指 事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形;?事件 A 发生 B 不发生;?事件 B 发生事件 A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情 形。 探究交流:分别指出日常生活中有关互斥事件和对立事件的一个 或几个例子

例如,某人在象棋比赛中的输或赢就是两个互斥事件; 掷一枚质地均匀的硬币出现正面的事件与出现反面的事件就是对 立事件。 联想拓展:通过对事件的关系与运算的学习,我们发现事件的关 系、运算与集合的关系、运算十分类似,它们之间可以建立一个对应 关系,请列出事件与集合之间的对应关系 事件的关系、运算 必然事件 ? 不可能事件 ? 事件 B 包含事件 A(B ? A) 事件 A 与事件 B 相等(A=B) 事件的并 (或和)( A∪B) 事件的交 (或积) (A∩B) 事件的互斥(A∩B= ? ) 集合的关系、运算 全集 U 空集 ? 集合 B 包含集合 A (B ? A) 两个集合相等(A=B) 集合的并集(A∪B) 集合的交集(A∩B) 集合 A 与集合 B 的交集为空集 (A∩B= ? ) 对立事件 (A∩B= ? , A∪B= ? 即 B= A ) 4.概率的性质 ⑴范围 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在 0~1 之 间,从而任何事件的概率在 0~1 之间,即对于任何事件的概率的范 围是:0≤P(A)≤1。 集合补集 B= CU A

在每次实验中,必然事件一定发生,因此它的频率是 1,从而必 然事件的概率为 1。例如,在掷骰子的试验中,由于出现的点数最大 是 6,因此 P(E)=1。 在每次实验中,不可能事件一定不发生,因此它的频率是 0,从 而不可能事件的概率为 0,例如在掷骰子的试验中,P(F)=0。 ⑵概率的加法公式 当事件 A 与事件 B 互斥时,A∪B 的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B), 由此得到概率的加法公式:如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B) =P(A)+P(B) 。 在掷骰子的试验中,由于在一次试验中,事件 C1 与事件 C2 不会同 时发生, 因此 C1∪C2 发生的频数等于 C1 发生的频数与 C2 发生的频数之 和,P(C1∪C2)=P(C1)+P(C2)。 推广: 一般地, 如果事件 A1, A2, ?, An 两两互斥, 那么事件 “A1+A2+? +An”发生的概率,有什么结论? 如果事件 A1,A2,?,An 两两互斥,事件“A1+A2+?+An”发生的概 率,等于这 n 个事件分别发生的概率和,即 P( A1∪ A2∪?∪ An) =P(A1)+P(A2)+?+P(An)。 在掷骰子的试验中,由于在一次试验中,事件 C1、C2、C3、C4 不会 同时发生,因此 C1∪C2∪C3∪C4 发生的频数等于事件 C1、C2、C3、C4 发 生的频数之和,P(C1∪C2∪C3∪C4)=P(C1)+P(C2)+P(C3)+P(C4)。 特别地,当事件 A 与事件 B 是对立事件时,则 A∪B 为必然事件, P(A∪B)=1 再有加法公式有 P(A)=1- P(B) 。

例如在掷骰子的试验中,G 与 H 互为对立事件,因此 P(G)=1- P (H) 。 利用上述概率的性质,可以简化概率的计算。 5.例题分析 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张, 那么取到红 心(事件 A)的概率是 1/4,取到方片(事件 B)的概率是 1/4。 问: (1)取到红色牌(事件 C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件 D)的概率是多少? 讨论:事件 C 是事件 A 与事件 B 的并,且 A 与 B 互斥,因此可用互斥 事件的概率和公式求解,事件 C 与事件 D 是对立事件,因此 P(D)=1 —P(C)。 解: (1)因为 C=A∪B,且 A 与 B 不会同时发生,所以 A 与 B 是互 斥事件。根据概率的加法公式,得 P(C)=P(A)+P(B)= . (2)C 与 D 是互斥事件,又由于 C∪D 为必然事件,所以 C 与 D 互为对立事件。所以 P(D)=1-P(C)= 6.作业布置 练习: p121 页练习 1、2、3、4、5 题 五.板书设计 3.1.3 概率的基本性质 1.复习回顾 事件的种类 必然事件:一定条件下,必然发生的事件。
1 。 2

1 2

不可能事件:一定不会发生的事件。 随机事件:可能发生, 也有可能不发生的事件, 又称为不确定事件。 2.事件的关系与运算 包含关系、相等关系、并事件、交事件、互斥事件、对立事件、 互斥事件与对立事件的区别与联系 3.概率的性质 ⑴范围 对于任何事件的概率的范围是:0≤P(A)≤1。 其中必然事件的概率为 1,不可能事件的概率为 0。 ⑵概率的运算 ?两个互斥事件的并运算 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) 。 ?推广:多个互斥事件的并运算 如果事件 A1,A2,?,An 两两互斥,事件“A1+A2+?+An”发生的 概率,等于这 n 个事件分别发生的概率和,即 P(A1∪A2∪?∪An) =P(A1)+P(A2)+?+P(An)。 (3)对立事件的性质 当事件 A 与事件 B 是对立事件时, 则 A∪B 为必然事件, P(A∪B)=1 再有加法公式有 P(A)=1- P(B) 。


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