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高中数学椭圆及其标准方程教案


教学章节:

椭圆及其标准方程
2:熟练掌握椭圆的标准方程,会根据所给的条件 画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程。

教学目标:知识目标:1:熟练掌握椭圆的定义。

能力目标: (1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养; (2)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题 和创造地解决

问题; (3)通过教师指导发现知识结论, 培养学生抽象概括能力和逻辑思维力;

教学重点:椭圆的定义及标准方程。 教学难点:椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程:
一:椭圆概念的引入: 1:举例: (1)天体行星和卫星运行的轨道。 (2)立体几何中作园的一种直观图。 2:手工操作演示椭圆的形成:取一条定长的细绳,把它的两端固定在 画图板上的 F1,F2 两点,当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉 近,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭圆。 分析: (1)轨迹上的点是怎么来的? (2)在这个运动过程中,什么是不变的? 答:两个定点,绳长。 即不论运动到何处,绳长不变(即轨迹上与两个定点距离之和不变) 3:由此总结椭圆定义: 平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常熟(大于)的点的轨迹叫作椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 4:说明 (1)注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方: (2)两个定点------两点间距离确定。 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。 (3)思考: 在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁(极限:线段) 。 在同样的绳长下,两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆(极限:圆) 。 注意到条件: 由此,椭圆的形状与两定点间距离,绳长有关。 (为下面离心率概念作铺垫) 二:根据定义推导椭圆标准方程: 1:复习求轨迹方程的基本步骤: 2:推导:取过焦点 F1 F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴。 设 P(x,y)为椭圆上的任意一点,椭圆的焦距是 2c(c>0). 则: F1 (?c,0) F2 (c,0) ,又设 M 与 F1,F2 距离之和等于 2a(常数)

? P ? ?P PF1 ? PF2 ? 2a?
又 ? PF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ,

? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a ,化简,得:
(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) ,由定义 2a ? 2c

?a2 ? c2 ? 0
令? a ? c ? b 代入,得:
2 2 2

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ,两边同除 a 2 b 2 得:

x2 y2 ? ? 1 ,此即为椭圆的标准方程。 a2 b2
它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0) F2 (c,0) ,中心在坐标原点的椭圆方程。 其中 a ? c ? b
2 2 2

注意若坐标系的选取不同,可得到椭圆的不同的方程, 说明: (1) (2) 其中:2a 为椭圆上任意点到焦点的距离之和这个定值。 焦距 2c,而由 如果椭圆的焦点在 y 轴上(选取方式不同,调换 x,y 轴)焦点则变成: 只要将此方程中的 x,y 调换,即可得: 三:巩固练习: 1:判断下列方程是否表上椭圆,若是,求出 a,b,c 的值。

y2 x2 ? ? 1 ,此也是椭圆的标准方程。 a2 b2

x2 y2 ① ? ?1 2 2


x2 y2 ? ?1 4 2 x2 y2 ? ?1 4 2
2 2



④ 4 y ? 9 x ? 36 变形为:

x2 y2 ? ?1 2 2 32

总结:注意到 a2>b2,则可以根据分母的大小,判断其焦点在哪个坐标轴上。 2:求三量: 四:例题讲解: 1:平面内两定点的距离是 8,写出到这两定点的距离之和是 10 的点的轨迹方程。

问:这个轨迹是什么?------椭圆 如何确定?-------定式定量。 2:已知 B,C 两定点, BC ? 12 ,三角形 ABC 的周长为 16,求 A 的轨迹方程。

4:若

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是? 24 ? k 16 ? k

五:总结 六:作业

流程图
开 始

教 师 引 课

`
投影
椭圆形成过程

投影

实物图形

























教师总结

投影

例题 1

投影

例题 2

教师总结

学生练习

小 节






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