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2.2伽利略变换

时间:2013-09-21


§2、2

伽利略变换

2、2、1 伽利略变换
(1) 如图 2-2-1 所示,有两个惯性 系 S 和 S ' , 它们对应的坐标轴相互平行, y 且 yˊ P(x,y,z) (x’,y’,z’)

? u
当 t= t ' =0 时,两系的坐标原点 O' 与 O 重 合。

z 设 S ' 系相对于 S 系沿 x 轴正方向以速度 u 运 动。 图 2-2-1 O ut zˊ Oˊ

同一质点 P 在某一时刻在 S 系中的时空坐标为(x,y,z,t),在 S`系中的时空坐标为 (x’,y’,z’,t’)

? x ' ? x ? ut ? y' ? y ? ? ?z' ? z ?t ' ? t ?



? ? ? r ' ? r ? ut 或

(1)

x=x +ut

'

? y ? y' ? ?z ? z' ?t ? t ' ?



? ? ? r ? r '?ut

式(1)称为伽利略时空坐标变换公式。 (2)将式(1)中的空间坐标分别对时间求一次导数得:

1

? ' dx' dx ?v x ? dt ? dt ? u ? v x ? u ? ? ' dy' ? vy ?v y ? dt ? ? ' dz' ?v z ? dt ? v z ?

即 v' ? v ? u

?

?

dx dx' ? 1 ?v x ? dt ? dt ? u ? v x ? u ? dy dy' ? ? ? v' y ?v y ? dt dt ? dz dz' ? ?v z ? dt ? dt ? v' z ? ? ? 或? 即 v ? v? ? u ?
式(2)称为伽利略速度变换公式。 (3)将式(2)再对时间求一次导数得

(2)

dv ? dv ? a? ? x ? x ? a x x ? dt dt ? dv ?y dv y ? ? ? ay ?a ?y ? dt dt ? dv ? dvz ? z z ?a ? ? dt ? dt ? a z ?

即 a? ? a

?

?

?a x ? a ? x ? ?a y ? a ? y ? z ?a z ? a ?

? ? a ? a?

(3)

式(3)表明在伽利略变换下加速度保持不变。式(3)称为伽利略加速度变换公 式。

2、2、2
(1) (2)

经典力学的时空观
(4)

t= t ? ,或Δ t=Δ t ?

(?x) 2 ? (?y ) 2 ? (?z ) 2 ? Δ r? = (?x) 2 ? (?y ) 2 ? (?z ) 2 ? Δ r? =

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 , ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 。

? ? ? ? 因 x2 ? x1 ? ( x2 ? ut) ? ( x1 ? ut) ? x2 ? x1 , y 2 ? y1 ? y 2 ? y1 , ? z ? ? z1 ? z 2 ? z1 , 所以?r ? ? ?r 2
2

(5)

式(4)表明:在伽利略变换下,任何事件所经历的时间有绝对不变的量值,而 与参照系的选择(或观测者的相对运动)无关。式(5)表明:在伽利略变换下,空 间任何两点间的距离也有绝对不变的量值,而与参照系的选择测得的同一事件的时间 间隔和空间任意两点间的距离都是绝对的不变量。这就是经典力学的时空观或者称之 为绝对时空观。用牛顿本人的话来说: “绝对的真实的数学时间,就其本质而言,是 永远均匀地流逝着,与任何外界事物无关。“绝对空间就其本质而应是与任何外界事 ” 物无关的,它从不运动,并且永远不变。 ”按照这种观点,时间和空间是彼此独立、 互不相关,并且独立于物质和运动之外的某种东西。

2、2、3、力学规律在伽利略变换下的不变性
(1)伽利略变换下的牛顿第二定律 在s 系中, ?

? ? F ? ma ? ? ? F ? ? ma ?
(6)

在 S ? 系中,

?

(2)伽利略变换下的质点动量定理 在 s 系中, 在 s`系中,

? ? Fdt ? m?v
? ? F ?dt ? ? m?v ?
?
(7)

?

(3)伽利略变换下的质点动能定理

在 s 系中,

? W外

? ?Ek ?

1 1 m v2 ? m v2 2 2 1 2 1 1

2 ?W ? ? ?E ?k ? 2 m v? 2 ? 2 m v?1 2 在 s`系中,


(8)

(4)伽利略变换下的功的公式 在 s 系中, 在 s`系中,

? ? w ? ? F ? dr
? ? ? ? ? ? w ? ? F ? ? dr ? ? ? F ? dr ? ? w ? ? F ? u dt
(9)

3

若 F 为质点所受的合外力,则有

?

? ? w? ? w ? n?v ? u
(5)伽利略变换下的动量守恒定律
n ? ? ? ? F外 ? 0,则? M i vi ? 恒量(c ) i ?1

(10)

在 s 系中,若

对两个而点组成的封闭系统的一维动量传递问题则有

m1 v10 ? m2 v20 ? m1 v1 ? m2 v2
在 s`系中,若 ? F
n

? ?


? ? ? F外 ? 0,则
i

? m v? ? 恒量(c?)
i i ?1

?

(11)

? ? ? n c ? ? c ? u ? mi
i ?1

(6)伽利略变换下的机械能守恒定律 在 s 系中, 在 s`系中,

W外 ? W非保内 ? 0,则E1 ? E 2 ? ? ? ? W外 ? W非保内 ? 0,则E1 ? E 2
(12)

综上所述,力学规律在伽利略变换下具有不变性。即力学规律在不同的惯性参照 系中具有相同的形式,是规律的形式相同,而不是每一个物理量的数值在不同惯性系 中都相同。

4


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