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(衡水万卷)2016年普通高等学校招生全国统一考试高考置换卷数学(文)试题(三)(含答案解析)


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2016 高考置换卷 3
数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题
1 已知集合 A ? ?0,1,2,3,4?, B ? ?x || x |? 2?, 则A ? B ? (A) ?0? (B

) ?0,1? (C) ?0, 2?

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(D) ?0,1, 2?

2. 已知向量 OA ? (4,6), OB ? (3,5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则向量 OC 等于(
? 3 2? A. ? ? , ? ? 7 7? ? 2 4 ? B. ? ? , ? ? 7 21 ? ?3 2? C. ? ,? ? ?7 7? 4 ? ?2 D. ? ,? ? ? 7 21 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

????

[来源:学|科|网]



10. 设函数 f ( x) ? ? A .1 个 B.2 个

?4 x ? 4, x ? 1
2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

,则函数 g ( x) ? f ( x) ? log2 x 的零点个数为(



3 .设复数 z 满足|z|<1 且 | z ?

1 5 |? 则|z| = ( z 2 4 3 2 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 5 4 3 2
1 8
B.

)

C.3 个

D.4 个

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何 体的体积为

4.先后抛掷质地均匀的硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 ( A.

)

3 8

C.
2

5 8

D.

7 8
??? ? ????

5.设 0 为坐标原点, F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, A 是抛物线上一点,若 OA ? AF = ? 4,则点 A 的坐标是( A.(1, ? 2) B.(1,2) C.(1, ? 2 ) D.(1, ? 1)

)

6.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为 二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是______寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) A 1 B2 C3 D4

A . 16 ? 8?

B . 8 ? 8?

C . 16 ? 16?

D . 8 ? 16?


7. 已知等差数列 (A) 6

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ?11 , a5 ? a6 ? ?4 , Sn 取得最小值时 n 的值为
(B) 7 (C) 8 ) B.
[ k? ?

3 2 12.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(

(D) 9

? 8.函数 y=sin( -2x) 的单调增区间是 ( 4
A. [k? ?
3? 3? , k? ? ] 8 8

A. [?5, ?3]
5? ] 8

B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

(k ? Z) (k ? Z)

?
8

, k? ?

(k ? Z) (k ? Z)

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题,考生 根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13. 已知数列 都成立,则 S10= 的前 n 项和,对于任意的 。

3? C. [k? ? , k? ? ] 8 8

?

7? 3? D. [k? ? , k? ? ] 8 8

9.执行右边的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为 A.2 B .3 C.4 D.5

2 14. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? xf ?(2) ,则函数 f ( x ) 的图象在点 2, f ? 2? 处的切线方程是

?

?

.

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?y ? 2 ? 0 x ? 2y ? 6 ? 15.已知 x , y 满足 ? x ? 3 ? 0 ,则 的取值范围是 x?4 ?x ? y ?1 ? 0 ?
. 21.已知函数 f ( x) ? ? (1)求实数 a , b 的值; (2)函数 y ? f ( x) 的图像上存在两点 A,B 使得 ?AOB 是以坐标原点 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边 AB 的中点在

?? x3 ? ax 2 ? bx( x ? 1) ? c (e
x ?1

? 1)( x ? 1)

在 x ? 0, x ?

2 处存在极值。 3

x2 y 2 16. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同, a b
则双曲线的方程为 . 三.解答题:本大题共 6 小题,前 5 题每题 12 分,选考题 10 分,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤。

y 轴上,求实数 c 的取值范围;
(3)当 c ? e 时,讨论关于 x 的方程 f ( x) ? kx(k ? R) 的实根个数。
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1 17. 已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 3 sin C cos C ? cos C ? ,且 c ? 3 。 2 (1)求角 C ;
2

(2)若向量 m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B) 共线,求 a 、 b 的值. 18. 在几何体 ABCDE 中,∠BAC=

? ,DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC, AB=AC=BE=2,CD=1。 2
[来源:学科网 ZXXK]

请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明: ?ABE ∽△ ADC ; (2)若 ?ABC 的面积 S ?

1 AD ? AE ,求 ?BAC 的大小. 2

(I)设平面 ABE 与平面 ACD 的交线为直线 l ,求证: l ∥平面 BCDE; (II)设 F 是 BC 的中点,求证:平面 AFD⊥平面 AFE; (III)求几何体 ABCDE 的体积。 D

E

A

F C B

B

D

C

A 19.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与医院抄录 1 至 6 月份每月 10 号 的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下图资料: 日期 昼夜温差 x (℃) 就诊人数 y (个) 1 月 10 日 1 0 2 2 5 1 2 9 2 月 10 日 1 3 2 6 3 月 10 日 1 2 2 6 1 2 1 4 月 10 日 1 5 月 10 日 8 6 月 10 日 6

E
23.选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 C (2,

?
3

) ,半径为 2. 以极点为原点,极轴为 x 的正半轴,取相同的长度单位建立平

该兴趣小组的研究方案是先从这 6 组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用被选取 的两组数据检 验。 (1)求选取的两组数据恰好相邻的概率;
? ?a ?; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请据 2~5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? y ? bx

? 3 x ? 1? t ? 2 ( t 为参数) 面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设 l 与圆 C 的交点为 A, B , l 与 x 轴的交点为 P ,求 PA ? PB . 24.选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a (a ? 0) . (1)当 a ? 4 时,已知 f ( x) ? 7 ,求 x 的取值范围; (2)若 f ( x) ? 6 的解集为 x | x ? ?4或x ? 2 ,求 a 的值.

(3)若线性回归方程得出的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 人,则认为得到的线性回归方程是理想的。 试问该兴趣小组得到的线性回归方程是否理想? 20.已知抛物线 D 的顶点是椭圆 (1)求抛物线 D 的方程 (2)已知动直线 l 过点 P ? 4,0? ,交抛物线 D 于 A, B 两点,坐标原点 O 为 PQ 中点,求证 ?AQP ? ?BQP ; (3)是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出 m 的方程;如果不存 在,说明理由。

x2 y 2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点 重合 4 3

?

?

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. 【解析】

x2 y 2 b ? ? 1 因为抛物线的焦点坐标为 (4, 0) , 故双曲线的半焦距 c ? 4 .因为双曲线的渐近线方程是 y ? ? x , a 4 12

所以

2016 高考置换卷 3 答案解析
1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】D 【解析】由 | z ? 4.【答案】D 5.【答案】A
??? ? y2 y2 【解析】依题意得 F(1,0),设 A( 0 , y0 ) ,则 OA=( 0 , y0 ), 4 4

x2 y 2 b ? 3 ,即 b ? 3a ,由 a 2 ? b2 ? c2 得 a 2 ? 4 ,进而求得 b 2 ? 12 ,故所求的双曲线方程是 ? ?1. a 4 12
2

17.【答案】解: (1)? 3 sin C cos C ? cos C ?

1 2

1 5 5 1 |? 得 | z |2 ?1 ? | z | ,已经转化为一个实数的方程.解得|z| =2(舍去) ,? z 2 2 2

?

? 3 1 sin 2C ? cos 2C ? 1 ,即 sin(2C ? ) ? 1 6 2 2
?
6 ?

? 0 ? C ? ? ,? 2C ?
解得 C ?

?
2

??? ? ??? ? ??? ? y2 AF = ( 1 ? 0 ?,y0 ,由 ) OA ? AF = ? 4 ? y0 ? ?2 选 A。 4

?
3

(2)?m 与 n 共线,? sin B ? 2sin A ? 0 由正弦定理

6.【答案】C

a b ? ,得 b=2a ① sin A sin B

2 2 ? c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos 3

?



联立方程①②,得 ? 【解析】 如图,由题意可知,天池盆上底面半径为 14 寸,下底面半径为 6 寸,高为 18 寸. ∵积水深 9 寸,所以水面半径为 ∴则平地降雨量等于

? ?a ? 3 ? ?b ? 2 3

588? =3(寸) . ∴答案为 C. ? ?142

1 1 (14+6)= 10 寸 则盆中水的体积为 π×9(62+102+6×10)=588π(立方寸) . 2 3

18. 证明:(I) ∵DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC ∴DC//EB,又∵DC ? 平面 ABE,EB ? 平面 ABE, ∴DC∥平面 ABE l ? 平面 ABE ? 平面 ACD,则 DC∥ l 又 l ? 平面 BCDE,CD ? 平面 BCDE 所以 l ∥平面 BCDE-----------------4 分 (II)在△DEF 中, FD ? 3, FE ? 6, DE ? 3 ,由勾股定理知, FD ? FE 由 DC⊥平面 ABC,AF ? 平面 ABC,∴DC⊥AF, 又∵AB=AC,F 是 BC 的中点,∴AF⊥BC, 又∵DC∩BC=C,DC ? 平面 BCDE ,BC ? 平面 BCDE, ∴AF⊥平面 BCDE,∴AF⊥FD,又∵AF∩FE=F,∴FD⊥平面 AFE, 又 FD ? 平面 AFD,故平面 AFD⊥平面 AFE………………..9 分 (III) VABCDE ? VA? BCDE ? 19.【答案】 (1)

7.【答案】A 8.【答案】D 9.【答案】B 10.【答案】C 11.【答案】A. 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其
2 体积为 ? ? 2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 = 16 ? 8? ,故选 A .

1 2

12.【答案】C 13.【答案】91 14、4x-y-8=0 15.【答案】 ? ?1,

1 1 1 S BCDE ? AF = ? ?1 ? 2? ? 2 2 ? 2 =2 3 3 2
18 30 x? 7 7

………..12 分

? ?

17 ? 7? ?

1 3

(2) ? y?

(3)是

【解析】 (1)设抽到相邻两个月的数据为事件 A,? 从 6 组数据中选取 2 组数据共有 C62 ? 15 种情况,每种情况是等可能 出现的,其中抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种, ? P( A) ?
5 1 ? 15 3

x2 y 2 ? ?1 16. 【答案】 4 12

18 30 ? ?y ? ?bx ? 求得 a ? ? ? 30 ? y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? ? 18 ,由 a (2)由数据求得 x ? 11, y ? 24 ,由公式求得 b y ? x? 7 7 7 7

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(3)当 x ? 10 时, y ? 同样,当 x ? 6 时, y ?
150 150 4 , ? 22 ? ? 2 , 7 7 7 78 78 6 , ? 12 ? ? 2 ,所以该小组所得线性回归方程是理想的 7 7 7

若 t ≥ 1 ,则 f (t ) ? c(et ?1 ? 1) . 由于 AB 的中点在 y 轴上,且 ?AOB 是直角,所以 B 点不可能在 x 轴上,即 t ? 1 . 同 理有 OA ? OB ? 0 , 即 ?t 2 ? (t 3 ? t 2 ) ? c(et ?1 ?1) =0,
t ?1 因为函数 y ? (t ? 1) e ? 1 在 t ? 1 上的值域是 (0, ??)

??? ? ??? ?

c?

20.【答案】 (1) y 2 ? 4 x

1 . (t ? 1 ? ) et ?1 ? ?1

(2)见解析

(3)x=3
2

【解析】 (1)抛物线的焦点为 ?1,0 ? ,? p ? 2 。所以抛物线的方程为 y ? 4 x (2)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由于 O 为 PQ 中点,则 Q 点坐标为(-4,0) 当 l 垂直于 x 轴时,由抛物线的对称性知 ?AQP ? ?BQP

?

?

∴实数 c 的取值范围是 (0, ??)

(3)由方程 f ( x) ? kx ,知 kx ? ?

3 2 ? ?? x ? x , ( x ? 1) ,可知 0 一定是方程的根, x e ? e , ( x ? 1) ? ?

当 l 不垂直于 x 轴时,设 l : y ? k ? x ? 4?

? 4 ? 2k 2 ? 1? ? y ? k x ? 4 ? ? ? ?x ? x ? ? k 2 x 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1? x ? 16k 2 ? 0 ? ? 1 2 由? k2 2 ? y ? 4x ? x x ? 16 ? ? 1 2

? k AQ ?

k ? x1 ? 4 ? k ? x2 ? 4 ? y1 y ? , kBQ ? 2 ? x1 ? 4 x1 ? 4 x2 ? 4 x2 ? 4

? k AQ ? kBQ ?

k ? 2 x1 x2 ? 32 ? k ? 2 ?16 ? 32 ? ? ?0 ? x1 ? 4?? x2 ? 4? ? x1 ? 4?? x2 ? 4?

∴ ?AQP ? ?BQP (3) 设存在直线 m: x ? a 满足题意,则圆心 M ? 一个 交点为 G,则 EG ? MG ? ME .即
2 2 2

? x1 ? 4 y1 ? , ? ,过 M 作直线 x=a 的垂线,垂足为 E。设直线 m 与圆的 2? ? 2

?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ?? x 2 ? x, ( x ? 1且x ? 0), ? x ? ∴仅就 x ? 0 时进行研究:方程等价于 k ? ? e ? e 构造函数 g ( x) ? ? e x ? e , ( x ? 1). , ( x ? 1), ? ? ? x ? x 对于 x ? 1且x ? 0 部分,函数 g ( x) ? ? x2 ? x 的图像是开口向下的抛物线的一部分, 1 1 1 当 x ? 时取得最大值 ,其值域是 (??, 0) ? (0, ] ; 2 4 4 x e ?e e x ( x ? 1) ? e ? 0 ,知函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 对于 x ≥ 1 部分,函数 g ( x) ? ,由 g ?( x) ? x x2 1 ∴①当 k ? 或 k ? 0 时,方程 f ( x) ? kx 有两个实根; 4 1 ②当 k ? 时,方程 f ( x) ? kx 有三个实根; 4 1 ③当 0 ? k ? 时,方程 f ( x) ? kx 有四个实根 4
22.【答案】(1)见解析 (2)90° ∴ ?ABE ∽△ ADC . 【解析】(1)由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD . 因为 ?AEB 与 ?ACB 是同弧上的圆周角,∴ ?AEB ? ?ACD . (2) 因为△ABE∽△ADC,所以

EG ? MG ? ME
2

2

2

2

? x ? 4? ? 1
4
2

2

? y12

? x ?4 ? ?? 1 ?a? ? 2 ?

2

?

1 2 ? x1 ? 4 ? ? ? x1 ? 4 ? 2 y1 ? ? a ? x1 ? 4 ? ? a 2 ? x1 ? 4 x1 ? a ? x1 ? 4 ? ? a 2 ? ? a ? 3? x1 ? 4a ? a 2 当 a=3 时, EG ? 3, 4 4

AB AD ,即 AB· AC=AD· AE. ? AE AC 1 1 又∵ S ? AB· ACsin∠BAC,且 S ? AD· AE, ∴AB· ACsin∠BAC=AD· AE. 2 2
则 sin∠BAC=1,又∠BAC 为三角形内角,所以∠BAC=90° . 23.【答案】 (1) ? ? 4 sin(? ?

此时直线 m 被以 AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值 2 3 。因此存在直线 m:x=3 满足题意。 21.【答案】(1)a=1,b=0 (2) (0, ??) (3)见解析

?
6

)

(2) 4 3

【解析】 (1)法一:在直角坐标系中,圆心的坐标为 C (1, 3) ,所以圆 C 的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 即

【解析】(1)当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?3x2 ? 2ax ? b

? f ?(0) ? 0, 2 ? 因为函数 f ( x ) 在 x ? 0, x ? 处存在极值,所以 ? 2 3 f ?( ) ? 0, ? ? 3
(2) 由(1)得 f ( x) ? ?

? x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 , 化为极坐标方程得 ? 2 ? 2? cos? ? 2 3? sin ? ? 0 ,即 ? ? 4 sin(? ? ) 6
解得 a ? 1, b ? 0 法二:令圆C上任一点 P( ? ,? ) ,在 ? PCO 中(其中O为极点) , PO ? ? , CO ? 2, PC ? 2, ?POC ? ? ?
2 由余弦定 理得 4 ? ? ? 4 ? 4 ? cos(? ?

?
3



?
3

)

从而圆C的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ?

?
3

)

?? x ? x , ( x ? 1), ? x ?1 ? ?c(e ? 1), ( x ? 1),
3 2

若 t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ??? ? ??? ? 4 2 由 ?AOB 是直角得, OA ? OB ? 0 ,即 ?t 2 ? (t 3 ? t 2 )(?t 3 ? t 2 ) ? 0 , 即 t ? t ? 1 ? 0 .此时无解; 根据条件知 A,B 的横坐标互为相反数,不妨设 A(?t , t 3 ? t 2 ), B(t , f (t )),(t ? 0) .

? 3 x ? 1? t ? 2 代入 x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 得 t 2 ? 4 ,所以点 A、B 对应的参数分别为 t1 ? 2, t2 ? ?2 (2)法一:把 ? ? ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2

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zxxk.com 1 令 3 ? t ? 0 得点 P 对应的参数为 t0 ? ?2 3 2
∴ PA ? PB ? t1 ? t0 ? t2 ? t0 ? 2 ? 2 3 ? ?2 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? ?2 ? 2 3 ? 4 3

? 3 x ? 1? t ? 3 ? 2 法二:把 ? 化为普通方程得 y ? 3 ? ? ( x ? 1) , 3 1 ?y ? 3 ? t ? ? 2
令 y ? 0 得点P坐标为 P(4, 0) ,又∵直线 l 恰好经过圆C的圆心C, ∴ PA ? PB ? 2 PC ? 2 (4 ? 1) ? ( 3 ? 0) ? 4 3
2 2

24.【答案】 (1) ? ?3, 4?

(2)

a ?1

【解析】 (1)因为 x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 3 ? x ? 4 ? 7 ,等号成立当且仅当 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 , 即 ?3 ? x ? 4 ,故 x 的取值范围为 ? ?3, 4?

?a ? 3 ? 2 x( x ? ?3) ? (?3 ? x ? a ) (2)因为 f ( x) ? ?a ? 3 ?2 x ? 3 ? a( x ? a) ?
当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 解集为 R ,不合题意; 当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 的解为 ?

? x ? ?3 ?x ? a 或? ?a ? 3 ? 2 x ? 6 ?2 x ? 3 ? a ? 6

? x ? ?3 ?x ? a ? ? 即? a ?9 或? a ? 3 ,又因为解集 ?x | x ? ?4或x ? 2? ,解得 a ? 1 . x ? x ? ? ? ? 2 ? 2
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