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12.5.2双曲线的标准方程(2)

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【第12章 圆锥曲线】 双曲线的标准方程 一、双曲线的定义 定义. 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值为常数 2a(0 ? 2a ?| F1F2 |) 的点的轨迹称为双曲线. 定点F1,F2称为双曲线的焦点; 焦点间的距离| F1F2 |称为焦距; 要点: (1)平面内; (2)距离之差的绝对值; (3) 0 ? 2a ?| F1F2 |. 记作: 2c. F1 F2 二、双曲线的标准方程 坐标平面内到两焦点 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) 的距离之差的绝对值为2a的双 y 曲线的方程为 (0 ? a ? c) : x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 其中: b2 ? c2 ? a 2 . M F1 O F2 x 坐标平面内到两焦点 F1 (0, ?c), F2 (0, c) 的距离之差的绝对值为 2a的双 y 曲线的方程为 (0 ? a ? c) : y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 其中: b ? c ? a . 2 2 2 F2 O x F1 三、与椭圆的比较 椭圆 M 双曲线 y y M x 图像 F1 O F2 F1 O F2 x 定义 标准 方程 系数 关系 平面内到两个定点距离之和等于 常数(大于定点间距离)的点的轨 迹称为椭圆. 平面内到两个定点距离之差的绝 对值等于常数(小于定点间距离) 的点的轨迹称为双曲线. x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 大小决定焦点 a 2 ? b2 ? c 2 , a最大. x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 正负决定焦点 a ? b ? c , c最大. 2 2 2 2 2 四、典型例题 2 取值范围. x y2 例1. 若方程 ? ? 1表示的图形是双曲线, 求a的 a?2 4?a x2 y2 变式: 若方程 ? ? 1表示的图形是焦点在x轴上的双曲线, a?2 4?a 求a的取值范围. x2 y2 ? ? 1表示的图形是焦点在y轴上的椭圆, 变式: 若方程 a?2 4?a 求a的取值范围. x2 y 2 方程 ? ? 1表示双曲线 ? m ? n ? 0. m n x2 y 2 m ? 0, n ? 0, 且m ? n 方程 ? ? 1表示椭圆 ? m n 补充练习: 已知方程kx2+y2=4(k∈R),试讨论 k取不同实数时方程所表示的曲线. (1)k=0时,方程的曲线直线y=±2. (2)k=1时,方程的曲线是圆x2+y2=4,. (4)k>1时,方程的曲线是焦点在y轴上的椭圆. (3)0<k<1时,方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆. (5)k<0时,方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线. 四、典型例题 例2.设双曲线与椭圆 x ? y ? 1有共同的焦点, 27 36 且有一个交点的纵坐标为4, 求双曲线的 方程. 解: 由椭圆方程可知, 焦点在y轴上, 为(0, ?3),(0,3); 交点纵坐标为4?交点坐标为(? 15, 4) 2 2 y 2 x2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), a b 2 ? 4 15 ? 2 ? 2 ?1 则?a b ? a 2 ? 4, b 2 ? 5; ?a 2 ? b 2 ? 9 ? y 2 x2 所以双曲线的方程为 ? ? 1. 4 5 待定系数法 四、典型例题 例

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