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12.5.2双曲线的标准方程(2)


【第12章 圆锥曲线】 双曲线的标准方程 一、双曲线的定义 定义. 平面内到两个定点 F1 , F2 的距离之差的绝对值为常数 2a(0 ? 2a ?| F1F2 |) 的点的轨迹称为双曲线. 定点F1,F2称为双曲线的焦点; 焦点间的距离| F1F2 |称为焦距; 要点: (1)平面内; (2)距离之差的绝对值; (3) 0 ? 2a ?| F1F2 |. 记作: 2

c. F1 F2 二、双曲线的标准方程 坐标平面内到两焦点 F1 ( ?c,0), F2 (c,0) 的距离之差的绝对值为2a的双 y 曲线的方程为 (0 ? a ? c) : x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 其中: b2 ? c2 ? a 2 . M F1 O F2 x 坐标平面内到两焦点 F1 (0, ?c), F2 (0, c) 的距离之差的绝对值为 2a的双 y 曲线的方程为 (0 ? a ? c) : y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 其中: b ? c ? a . 2 2 2 F2 O x F1 三、与椭圆的比较 椭圆 M 双曲线 y y M x 图像 F1 O F2 F1 O F2 x 定义 标准 方程 系数 关系 平面内到两个定点距离之和等于 常数(大于定点间距离)的点的轨 迹称为椭圆. 平面内到两个定点距离之差的绝 对值等于常数(小于定点间距离) 的点的轨迹称为双曲线. x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 大小决定焦点 a 2 ? b2 ? c 2 , a最大. x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 正负决定焦点 a ? b ? c , c最大. 2 2 2 2 2 四、典型例题 2 取值范围. x y2 例1. 若方程 ? ? 1表示的图形是双曲线, 求a的 a?2 4?a x2 y2 变式: 若方程 ? ? 1表示的图形是焦点在x轴上的双曲线, a?2 4?a 求a的取值范围. x2 y2 ? ? 1表示的图形是焦点在y轴上的椭圆, 变式: 若方程 a?2 4?a 求a的取值范围. x2 y 2 方程 ? ? 1表示双曲线 ? m ? n ? 0. m n x2 y 2 m ? 0, n ? 0, 且m ? n 方程 ? ? 1表示椭圆 ? m n 补充练习: 已知方程kx2+y2=4(k∈R),试讨论 k取不同实数时方程所表示的曲线. (1)k=0时,方程的曲线直线y=±2. (2)k=1时,方程的曲线是圆x2+y2=4,. (4)k>1时,方程的曲线是焦点在y轴上的椭圆. (3)0<k<1时,方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆. (5)k<0时,方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线. 四、典型例题 例2.设双曲线与椭圆 x ? y ? 1有共同的焦点, 27 36 且有一个交点的纵坐标为4, 求双曲线的 方程. 解: 由椭圆方程可知, 焦点在y轴上, 为(0, ?3),(0,3); 交点纵坐标为4?交点坐标为(? 15, 4) 2 2 y 2 x2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), a b 2 ? 4 15 ? 2 ? 2 ?1 则?a b ? a 2 ? 4, b 2 ? 5; ?a 2 ? b 2 ? 9 ? y 2 x2 所以双曲线的方程为 ? ? 1. 4 5 待定系数法 四、典型例题 例

2012二轮5.2椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)

(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 (3)了解双曲线的...12 ∴ 椭圆 E 的方程为 (2)方法 1:由(1)问得 F1 ( ?2, 0) , F2 ...

5--7课时双曲线

课时5 双曲线的简单几何性... 4页 2财富值 12.5-6双曲线的标准方程(4.....=1 20 16 综上,所求双曲线的方程为 (2)法一:因为双曲线的焦点在,中心在...

双曲线测试题及答案

1.顶点为 A1(0,-2 5),A2(0,2 5),焦距为 12双曲线的标准方程是( ...4 ,3?,且一条渐近线为 4x+3y=0; π (2)P(0,6)与两个焦点连线互相...

2012级2月数学试题

2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则 m 等于 A. 1 2 12 5 B. ? 1 2 C. ...? (1)求双曲线的标准方程; 3 x ,且过点( 4 2,?3 ). 4 (2)若直线...

第二十四讲,双曲线及其性质 (1)

叫做双曲线,这两个定点叫做 2.双曲线的标准方程和...2 D. 3 2 ) 5. 双曲线 x2 y 2 ? ? 1 ...2,? x2 12.双曲线 2-y2=1(a>0)的离心率为...

双曲线练习题及答案

2.已知双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1 ...通过椭圆的两个焦点,则此双曲线的方程是( 2 )。...3 (D)± 5? 12 好未来,铸就上名牌 Tel:...

双曲线练习题(含答案)

双曲线的标准方程及其简单的几何性质一、选择题 1....-=1 3 4 ) 5.“ab<0”是“曲线 ax2+by2=1...( 2 x2 y2 A. -=1 12 24 y2 x2 B. -...

河南省郑州市2016届高三第二次模拟考试 数学(理)

交卷时只交答题 卡. 第Ⅰ卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,...(2, 1) , 且渐近线与圆 x +( y-2) =1 相切的双曲线的标准方程2 ...

双曲线经典例题讲解

双曲线的定义及双曲线的标准方程: 1 双曲线定义:...a 2 b2 a b x2 y 2 x2 y 2 (2)点 P(...P F ? 6 ,选 C 1 6 2 5 3 4 练习: P ...

高二双曲线练习题及答案(整理)

高二数学双曲线同步练习一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50...双曲线 16 9 A.28 B.22 2 ) C.14 D.12 9.已知双曲线方程为 x 2 ?...