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高一数学数列部分经典习题及答案

时间:2016-10-21


.数 一.数列的概念: (1)已知 an ?



n 1 (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) ; n ? 156 25
2

(2)数列 {an } 的通项为 a n ?

an ,其中 a , b 均为正数,则 an 与 an?1 的大小关系为__(答: an ? an?1 ) ; bn ? 1

(3)已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围(答: ? ? ?3 ) ; 二.等差数列的有关概念: 1.等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列。 n

2.等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 (1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? (答: 2 n ? 10 );

(2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:

8 ? d ?3) 3

3.等差数列的前 n 和: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d。 , S n ? na1 ? 2 2 1 3 15 (n ? 2, n ? N * ) ,an ? ,前 n 项和 Sn ? ? ,求 a1 ,n(答:a1 ? ?3 ,n ? 10 ); 2 2 2

(1) 数列 {an } 中,an ? an ?1 ?

Tn ? ? (2) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 , 求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn (答:
三.等差数列的性质:

?12n ? n 2 (n ? 6, n ? N * ) ? ) . 2 * n ? 12 n ? 72( n ? 6, n ? N ) ? ?

1.当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且率为公差 d ;前 n 和

Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2

2.若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 3.当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . (1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____ (2)在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a10 | , S n 是其前 n 项和,则 A、 S1 , S2 ?S10 都小于 0, S11 , S12 ? 都大于 0 C、 S1 , S2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0 B、 S1 , S2 ?S19 都小于 0, S20 , S21 ? 都大于 0 D、 S1 , S2 ?S20 都小于 0, S21 , S22 ? 都大于 0 (答:27)

(答:B)
* 4 . 若 {an } 、 {bn } 是 等 差 数 列 , 则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、 {ap?nq }( p, q ? N ) 、

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等
差数列. 等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为。 (答:225) 5. 在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2 n 时, 项数为奇数 2n ? 1 时, S偶-S奇 ? nd ; S奇 ? S偶 ? a中 ,S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an ) ; S奇 : S偶 ? (k ? 1) : k 。如 (1)在等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ; (2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). 6.若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且

An ? f ( n) ,则 Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

如设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若

a 6n ? 2 Sn 3n ? 1 ,求 n (答: ) ? 8n ? 7 Tn 4n ? 3 bn

7.“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小
an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) 值是所有非正项之和。法一:由不等式组 ? ; ? 或? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ? ?an ?1 ? 0 ?

法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。
*

(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 (答:前 13 项和最大, (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006) 8.如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差 数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm . 四.等比数列的有关概念: 1.等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n?1 ? n (n ? 2) 。 ? q(q为常数) an an an?1

(1)一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____(答:

5 ) ; 6

(2)数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是等比数列。 2.等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 设等比数列 {an } 中,a1 ? an ? 66 ,a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和公比 q . (答:n ? 6 ,q ?

1 或 2) 2

3.等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ? (1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q 。如 ? 1? q 1? q
(答:44)

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,再 由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 4.提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、

q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2;(2)为减少

运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为?,

a a , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q );但偶数 q2 q

个数成等比时,不能设为?

a a , , aq, aq3 ,?,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且 3 q q

公比为 q2 。如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。(答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16)
5.等比数列的性质: (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? ap 2 . (1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___(答:512) ; (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? (答:10) 。 (2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {ap?nq }( p, q ? N ) 、 {kan } 成等比数列;若 {an }、 {bn } 成等比数列,则 {anbn } 、
*

a { n } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列, 且公比 q ? ?1 , 则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ?也是等比数列。 当 q ? ?1 , bn
且 n 为偶数时,数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列. ( 1 ) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 {xn } 满 足 log a xn ?1 ? 1 ? log a xn (n ? N *) , 且 x1 ? x2 ? ? ? x100 ? 100 , 则

x101 ? x102 ? ? ? x200 ?

答: 100a

100

) ;

(2)在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,求 S 20 的值(答:40) (3)若 a1 ? 0, q ? 1,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递减数 列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 ,这是等比数列前 n 项和公式的一 1? q 1? q

个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比数列。

若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r =(答:-1) (5) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则

q 的值为_____(答:-2)
(6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 . (7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列 {an } 仅是此数列既成等差数 列又成等比数列的必要非充分条件。 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若 a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差
n

数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 b ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。 这些命题中,真命题的序号是 (答:②③) 五.数列的通项的求法: ⑴公式法: ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ?

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ? 2)
1 n n ?1



①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an (答: an ?

?

3, n ? 1 ) ; 2n , n ? 2

②数列 {an } 满足

1 1 1 14, n ? 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) 2 ,n ? 2 2 2 2

?

⑶已知 a1 ? 。如数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a2 ? ?? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2)

f (1),(n ? 1) ? ? ? f (n ? 1) ?

a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______(答:

61 ) 16

⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? ? a1 (n ? 2) 。

1 n ?1 ? n

(n ? 2) , 则 an =_______ (答: an ? n ? 1 ? 2 ? 1)

⑸已知

an?1 a a a ? f (n) 求 an , 用累乘法:an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 如已知数列 {an } 中,a1 ? 2 , 前 n 项和 S n , an an ?1 an ? 2 a1
2

若 S n ? n an ,求 an (答: an ?

4 ) n(n ? 1)

⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 特别地, (1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的

等比数列后,再求 an 。 ① 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an (答: an ? 2? ; 3n?1 ?1 ) ② 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an (答: an ? 5? ; 3n?1 ? 2n?1 ) (2)形如 an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b
1 an ?1 ,求 an (答: an ? ) ; 3n ? 2 3an ?1 ? 1

①已知 a1 ? 1, an ?

②已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ?

an an?1 ,求 an (答: an ?

1 ) n2

注意: (1) 用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗? (n ? 2, 当 n ? 1 时, ; a1 ? S1 ) (2) 一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或

5 4, n ? 1 ) Sn 的关系式,然后再求解。如数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ? an ?1 ,求 an (答: an ? 3 ?4n ?1 , n ? 2 3
六.数列求和的常用方法: 1.公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1
2 2 2 的关系,必要时需分类讨论 . ;③常用公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) , 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,

?

2

6

13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ] .如 2


(1)等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a ? a ? a ? ? ? a
2 1 2 2 2 3

2 n =_____(答:

4n ? 1 ) ; 3

2.分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和.如 求: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ??? (?1)n (2n ?1) (答: (?1)n ? n ) 3.倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加 法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 已知 f ( x) ?

1 1 1 7 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______(答: ) 2 2 3 4 2 1? x

4.错位相减法: 设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,①求数列 {an } 的首项和公比;②求数 列 {Tn } 的通项公式.(答:① a1 ? 1 , q ? 2 ;② Tn ? 2n?1 ? n ? 2 ) ; 5.裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有: ①

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ), ? ? ? 2? ? ? ; 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k



n 1 1 1 1 1 1 ; ? ? ? [ ? ] ;⑤ n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)!
? 1 ? n ? n ?1 n 2 2 n ? n ?1 ? 2( n ? n ? 1) .

⑥ 2( n ? 1 ? n ) ?

(1)求和:

n 1 1 1 ) ; ? ??? ? (答: 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1) 3n ? 1
1 n ? n ?1
,且 Sn=9,则 n=_____(答:99) ;

(2)在数列 {an } 中, a n ?

6.通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。如 ①求数列 1×4,2×5,3×6,?, n ? (n ? 3) ,?前 n 项和 Sn = (答:

n(n ? 1)(n ? 5) ) ; 3

②求和: 1 ?

2n 1 1 1 ) ? ??? ? (答: n ?1 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n


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