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广东省江门市2016届高三4月高考模拟数学理试题(解析版)


江门市 2016 年高考模拟考试
数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数

5 ( i 是虚数单位)的共轭复数 是( .... 2?i
B. 2 ? i C. ?2 ? i

) D. ?2 ? i

/>
A. 2 ? i 【答案】B

5 ? 2 ? i ,故选 B. 2?i 2.等比数列 {an } 的前 n(n ? N* ) 项和为 Sn ,若 S1 ? 1 , S2 ? 3 ,则 S3 ? (
【解析】 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】∵ a1 ? S1 ? 1 , a1 ? S2 ? S1 ? 2 ,
2 a2 ? 4 , S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 7 . a1 3.已知向量 a ? (2 ? t , ?3,0) , b ? (1, t , ? 2) , t ? R ,则 | a ? b | 的最小值是(



∴ a3 ?



A. 5 B. 4 C. 3 【答案】D 【解析】∵ | a ? b |?| (1 ? t , t ? 3, ?2) |

D. 2

? (3 ? t ) 2 ? (t ? 3) 2 ? (?2) 2 ? 2(t ? 3) 2 ? 4 ? 2 .
4.若 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? , f (0) ? A. f ( x ) 在 ( ? C. f ( x ) 在 (0, 【答案】D 【解析】∵ f ( x) ?

2 ,则(



? ?

?

, ) 单调递增 4 4

B. f ( x ) 在 ( ?

? ?

, ) 单调递减 4 4

2

) 单调递增

D. f ( x ) 在 (0,

?

2

) 单调递减

??

2? ? ? 2 ,∴ f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ? ) , T 4
2 sin(? ? ) ? 2 , 4

2 sin(? x ? ? ? ) , 4

?

∴ f (0) ? ∴? ?

?

?
4

? 2 k? ?

?

2

, k ? Z ,取 ? ?

?
4



∴ f ( x) ?

2 sin(2 x ?

?

? ) ? 2 cos 2 x ,故选 D. 4 4

?

1

5.如图,某几何体的正视图和侧视图都是正三角形,俯视图是圆,若该几何体的表面积 S ? ? ,则它的 体积 V ? ( )

A. ?

B.

? 3

C.

? 9

D.

? 27

【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体为圆锥, 设底面圆半径为 r ,则高为 h ? 3r ,母线长 l ? 2r . ∵该几何体的表面积 S ? ? , ∴ ? ? ? r ? ? rl ? 3? r ,∴ r ?
2 2

3 . 3

∴V ?

1 3 ? ? ? ? ( ) 2 ?1 ? . 3 3 9
2

6.某地市高三理科学生有 15000 名,在一次调研测试中,数学成绩 ? 服从正态分布 N (100,? ) ,已知

P(80 ? ? ? 100) ? 0.40 ,若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析, 则应从 120 分以上的试卷
中抽取( A. 5 份 【答案】B ) B. 10 份 C. 15 份 D. 20 份

1 [1 ? 2 P(80 ? ? ? 100)] ? 0.1 , 2 ∴应从 120 分以上的试卷中抽取 100 ? 0.1 ? 10 . 7.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值是( )
【解析】 P (? ? 120) ?
开始

n ? 1, S ? 0

n S ? S ? tan ? 3
n ? n ?1

n ? 2016 ?




输出 S

结束

A. 0

B.

3 3

C. 3

D. ? 3

【答案】A 【解析】由程序框图可知:
2

n
S

1
3

2 0

3 0

4

…… ……

3

∴周期为 3,由 2015 ? 671 ? 3 ? 2 ,得输出的结果为 0 . 8.若 (

x 1 ? 3 ) 8 的展开式中常数项为 1 ,则实数 a ? ( a x
B. 7 C. ?2 7

) D. ? 7

A. ?2 7 【答案】C

r r x 8? r ? 1 1 8? r r 8? 4 3 ? ( ) C8 x 3 , 【解析】 Tr ?1 ? C ( ) x a a r 8

4 r ? 0 ,解得 r ? 6 . 3 1 2 6 2 ∴常数项为 ( ) C8 ? 1 ,∴ a ? 28 , a ? ?2 7 . a 9.如果某射手每次射击击中目标的概率为 0.7 ,每次射击的结果相互独立,那么他在 15 次射击中,最有
令8 ? 可能击中目标的次数是( A. 10 【答案】B B. 11 ) C. 10 或 11 D. 12

【解析】∵ ?

? ?C ? 0.7 ? 0.3 n n 15? n ? ?C15 ? 0.7 ? 0.3
n 15 n 15? n

15n? ? 15n? ? 0.7 ? ? 0.3 ? ? C ? 0.7 ? 0.3 (n ? 1)???? ? n)? ? n???? ? n)? ,∴ ? , n ?1 15n? ? C15 ? 0.7 n ?1 ? 0.314? n ? 15n? ? 0.3 ? ? 0.7 ? (n ? 1)???? ? n)? ? n???? ? n)?
n ?1 15 n ?1 16 ? n

0.3 ? 0.7 ? ? ?n ? 11.2 ? n ?? ? n ∴? ,? ,∴ n ? 11 . ?n ? 10.2 ? 0.3 ? 0.7 ?15 ? n n ? 1 ?
?x ? 0 ? 10 .在平面直角坐标系 xOy 中, P 是由不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 所确定的平面区域内的动点, Q 是圆 ?x ? y ? 4 ? 0 ? 2 2 ) x ? y ? 8x ? 8 y ? 30 ? 0 上的动点,则 | PQ | 的最小值为(
A.

2 2

B. 2

C. 2 2
y B P Q O A

D. 2 2 ? 1

【答案】B 【解析】设圆心 C (4, 4) , 当 CP ? AB 时, PQ 最小,如图: ∴ PQ min ? CP ? r ?

C

4 ? 2? 2. 2

x

3

11.函数 f ( x)( x ? 0) 的导函数为 f ?( x ) ,若 xf ?( x) ? f ( x) ? e x ,且 f (1) ? e ,则( A. f ( x ) 的最小值为 e C. f ( x ) 的最小值为 【答案】A 【解析】设 g ( x) ? xf ( x) ? e x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? x?f ( x) ? e x ? 0 , ∴ g ( x) ? xf ( x) ? e x 为常数函数. ∵ g (1) ? 1? f (1) ? e ? 0 , ∴ g ( x) ? xf ( x) ? e x ? g (1) ? 0 , B. f ( x ) 的最大值为 e D. f ( x ) 的最大值为



1 e

1 e

ex e x ( x ? 1) , f ?( x) ? , x x2 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) ? f (1) ? e .
∴ f ( x) ?

x2 y 2 12. 过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作平行于渐近线的两直线, 与双曲线分别交于 A 、B a b 两点,若 | AB |? 2a ,则双曲线离心率 e 的值所在区间是( )
A. (1, 2) 【答案】C B. ( 2, 3) C. ( 3, 2) D. (2, 5)

?y ? a ac ac ? 【解析】由 ? x 2 y 2 ,得 x ? ? ,取 x ? , b b ? 2 ? 2 ?1 b ?a ac b ∴点 ( , a ) 在 y ? ? ( x ? c ) 上, b a a2 b ac ?a. ∴ a ? ? ( ? c) , b ? a b c a c 2 a2 2 2 2 2 ∴ ( ? a) ? a ? c ,∴ ( ? 1) ? 1 ? ( ) , c a c
4 2 ∴ ( ? 1) ? 1 ? e , e ? 2e ? 2e ? 1 ? 0 ,
2 2

1 e

4 2 令 f ( x) ? x ? 2x ? 2x ?1 ,且 f ( 3) ? 0 , f (2) ? 0 ,

∴ f ( x ) 的零点 x ? ( 3, 2) ,故 e ? ( 3, 2) . 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.设 p : | x ? a |? 3 , q : ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0 ,若 ? p 是 q 的充分不必充要条件,则实数 a 的取值范围 是 .

【答案】 (??, ?4] ? [ , ??)
4

7 2

【解析】 ? p : | x ? a |? 3 ,∴ a ? 3 ? x ? a ? 3 ,

q : x ? ?1 ,或 x ?

∵ ? p 是 q 的充分不必充要条件, ∴ a ? 3 ? ?1 ,或 a ? 3 ?

1 , 2

1 7 ,即 a ? ?4 ,或 a ? . 2 2

14 . ?ABC 三 边 的 长 分 别 为 AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , 若 A D ?

??? ? ??? ? . C D? C E ? 8 【答案】 3 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 【解析】 CD ? CE ? (CA ? AD) ? CE ? (CA ? AB ) ? CB 3 2 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 2 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? ? [CA ? (CB ? CA)] ? CB ? ( CA ? CB ) ? CB 3 2 2 3 3 2 ? ??? ? 1 ??? ?2 1 2 8 1 ??? ? CA ? CB ? CB ? ? 4 ? . 3 6 6 3 3 3 15 . 对 大 于 或 等 于 2 的 自 然 数 的 3 次 方 可 以 做 如 下 分 解 : 2 ? 3 ? 5 , 3 ? 7 ? 9 ? 11 ,
43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,……,根据上述规律, 103 的分解式中,最大的数是
【答案】 109 【解析】设分解式中的第一个数为 an , ∵ a2 ? a1 ? 4 , .

? ? ?? 1 ? ? ?? ??? ? 1 ??? ? A B, BE ? BC , 则 3 2

a3 ? a2 ? 6 ,


a9 ? a8 ? 18 , 8(4 ? 18) ? 88 , ∴ a9 ? a1 ? 2 ∴ a9 ? 91 ,∴最大的数是 91 ? 9 ? 2 ? 109 .
16 . 已 知 平 面 区 域 D ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,| y |? 1} , ?( x, y) ? D ,

P?

1 1 ( x ? )2 ? y 2 ?| x ? | 的 概 率 4 4



1 【答案】 3
【解析】∵ ( x ? ) ? y ?| x ?
2 2

1 | ,∴ y 2 ? x . 4 3 2 2 1 1 2( x ? x )0 2 ? (1 ? x ) 1 3 0 ? ? . ∴P ? 1? 2 1? 2 3

1 4

5

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是正项等差数列, ?n ? N ,数列 ?
*

?

1 ? n . ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? 4 ? an ? an ?1 ?

(1)求 an ;
2 (2)设 bn ? (?1)n an , n ? N ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
*

【解析】 (1)依题意,设 an ? ? ? ? n ( ? 、 ? 是常数,且 ? ? 0 ) .

S1 ?

1 ,即 (? ? ? )(? ? 2? ) ? 6 . a1 ? a 2

1 ? S 2 ? S1 ,即 (? ? 2? )(? ? 3? ) ? 12 . a 2 ? a3 ?(? ? ? )(? ? 2? ) ? 6 解? , ?(? ? 2? )(? ? 3? ) ? 12
得?

?? ? ?1 ?? ? 1 (舍去) ,或 ? , an ? n ? 1 . ?? ? ?1 ?? ? 1

(2)由(1)得 bn ? (?1) n (n ? 1) 2 ,

bn?1 ? bn ? (?1) n [(n ? 1) 2 ? n 2 ] ? (?1) n (2n ? 1) .

n 为偶数时, Tn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (bn?1 ? bn )
? 5 ? 9 ? ? ? (2n ? 1) ?
n( n ? 3) , 2

n 为奇数时, Tn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (bn?2 ? bn?1 ) ? bn
? 5 ? 9 ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1) 2
? (n ? 1)(n ? 2) n 2 ? 3n ? 4 ? (n ? 1) 2 ? ? , 2 2

? n 2 ? 3n ? 4 ? , n为奇数, ? ? 2 ∴ Tn ? ? ? n(n ? 3) , n为偶数. ? ? 2

6

18. (本小题满分 12 分) 某普通高中组队参加中学生辩论赛, 文科班推荐了 3 名男生、4 名女生, 理科班推荐了 3 名男生、2 名 女生,他们各有所长,总体水平相当,学校拟从这 12 名学生随机抽取 3 名男生、 3 名女生组队集训. (1)求理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率; (2)若先抽取女生,每次随机抽取 1 人,设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人 数,求 X 的分布列和均值(数学期望) . 【解析】 (1)理科班没有学生入选集训队的概率为
3 3 C3 C4 1 , ? 3 3 C6 C6 100

理科班有 1 名学生入选集训队的概率为

3 1 3 2 1 C32 C4 C3 ? C 3 C4 C2 3 , ? 3 3 25 C6 C6

理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率为 1 ? ( (2) X ? 0 , 1 , 2 .

1 3 87 ? )? . 100 25 100

0 3 1 2 2 1 C2 C4 1 C2 C4 3 C2 C4 1 P( X ? 0) ? ? , P( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? ? , 3 3 3 5 5 5 C6 C6 C6

X 的分布列为: X
P

0

1

2

1 5

3 5

1 5 1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5

∴ E( X ) ? 0 ?

7

19. (本小题满分 12 分) 如图, ABCD ?
1

是 ,底面 ABCD 是梯形, A1 B1 C 1 D四 棱 柱 , 侧 棱 AA1 ? 底 面 A B C D

A B? B C ? CD ? 1 , AD ? AA1 ? 2 .
(1)求证:平面 BDD1B1 ? 平面 ABB1 A 1; (2) E 是底面 A1B1C1D1 所在平面上一个动点, DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为

4 ,试判断动点 17
D1

E 在什么样的曲线上.

A1

E B1 C1

【解析】 (1)证明:取 AD 的中点 F ,连接 BF , 则 AB ? BC ? CD ? AF ? DF ? 1 , BCDF 是平行四边形.

A B C

D

BF ? CD ? 1 , ?ABF 是正三角形, ?ABF ? ?AFB ? 600 ,

?DBF ? ?BDF ?

1 ?AFB ? 30? , AB ? BD . 2

∵侧棱 AA1 ? ABCD , AA1 ? BD , AA 1 ? AB ? A , ∴ BD ? 面 ABB 1A 1 , BD ? 平面 BDD 1 B1 , ∴平面 BDD 1 B1 ? 平面 ABB 1A 1. (2)以 B 为原点, BD 、 BA 、 BB1 为

z
A1 E B1 C1 D1

??? ?

????

x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系,
则 B(0, 0, 0) , D( 3,0,0) , C1 (

y 3 1 , ? , 2) ,设 E ( x, y, 2) , A 2 2

F C

D

x

B ??? ? ?n ? BD ? 3 x ? 0 ?x ? 0 ? 则 ? ???? , ,取 n ? (0, 4,1) . ? ? 3 1 x ? y ? 2 z ? 0 ? y ? 4z ?n ? BC1 ? ? 2 2 ???? 4y ? 2 , cos ? DE, n ?? 17 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 ???? 4 4y ? 2 4 依题意, cos ? DE , n ?? ,即 , ? 17 17 17 ? ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 15 2 化简整理得, y ? ( x ? 3) ? ,动点 E 的轨迹是一条抛物线. 4

设平面 C1 BD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

8

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4 ,且经过点 P(2, 2) . a 2 b2 (1)求椭圆 ? 的方程; (2) A 、 B 是椭圆 ? 上两点,线段 AB 的垂直平分线 l 经过 M (0,1) ,求 ?OAB 面积的最大值( O
已知椭圆 ? : 为坐标原点) . 【解析】 (1)依题意, 2c ? 4 ,椭圆 ? 的焦点为 F1 (?2,0) , F2 (2,0) ,

2a ?| PF1 | ? | PF2 |? (2 ? 2) 2 ? ( 2) 2 ? (2 ? 2) 2 ? ( 2) 2 ? 4 2 ,

x2 y 2 ? ? 1. 8 4 (2)根据椭圆的对称性,直线 AB 与 x 轴不垂直, 设直线 AB : y ? kx ? m ,
∴ b ? a ? c ? 4 ,椭圆 ? 的方程为
2 2 2

? x2 y2 ?1 ? ? 由? 8 ,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 8 ? 0 , 4 ? y ? kx ? m ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?
2

4km 2m 2 ? 8 x ? x ? , , 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

2 k 2 ? 1 16k 2 ? 8 ? 2m2 , | AB |? k ? 1 | x1 ? x2 |? 2k 2 ? 1 |m| O 到直线 AB 的距离 d ? , 1? k 2

2m2 (8k 2 ? 4 ? m2 ) 1 ?OAB 的面积 S ? ? | AB | ?d ? . 2 2k 2 ? 1
2 2 依题意, | AM |?| BM | , x1 ? ( y1 ?1)2 ? x2 ? ( y2 ?1)2 ,

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ? 2) ? 0 ,

( x1 ? x2 ) ?

y1 ? y 2 [k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2] ? 0 , x1 ? x2

(k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? k (2m ? 2) ? 0 ,
代入整理得, k (2k 2 ? m ? 1) ? 0 , 若 k ? 0 ,则 S ?

2m 2 ( 4 ? m 2 ) ? 2 2 , 2(?4m ? m 2 ) ? 2 2 ,

等号当且仅当 m ? ? 2 时成立.
2 若 k ? 0 ,则 2k ? m ? 1 ? 0 , S ?

2 时成立. 2 综上所述, ?OAB 面积的最大值为 2 2 .
等号当且仅当 m ? ?2 , k ? ?
9

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax , a 是常数,且 a ? 1 . x?a

(1)讨论 f ( x) 零点的个数;

2 1 3 * ? ln(1 ? ) ? , n?N . 2n ? 1 n 3n ? 1 2 1 a x( x ? a 2 ? 2a) 2 证明: (1) f ?( x) ? .解 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? a ? 2a . ? ? 2 2 x ? 1 ( x ? a) ( x ? 1)( x ? a) x ① a ? 1 时, f ?( x) ? ,若 x ? (?1 , 0) , f / ( x) ? 0 , f ( x) ? f (0) ? 0 , ( x ? 1) 2 若 x ? (0 , ? ?) , f / ( x) ? 0 , f ( x) ? f (0) ? 0 , f ( x) 有一个零点. 2 ② 1 ? a ? 2 时, ? 1 ? a ? 2a ? 0 , x (?1 , a 2 ? 2a) a 2 ? 2a (a 2 ? 2a , 0) 0 (0 , ? ?) f ?( x ) 0 0 + - + f ( x) ↗ ↘ ↗
(2)证明: 由上表可知, f ( x) 在区间 (a2 ? 2a, ??) 有一个零点 x ? 0 . f (a 2 ? 2a) ? f (0) ? 0 ,
a a a ax a2 a2 a 1? a ? ?0, ? ?a ? ?a ? 又? ,任取 t ? (?1, e ? 1) , f (t ) ? 1? a a ?1 x?a x?a a ?1 a ?1 f ( x) 在区间 (t , a2 ? 2a) 有一个零点,从而 f ( x) 有两个零点.

x2 ? 0 , f ( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,有一个零点 x ? 0 . ( x ? 1)( x ? 2)2 2 ④ a ? 2 时, a ? 2a ? 0 , (?1 , 0) 0 (0 , a 2 ? 2a) a 2 ? 2a (a 2 ? 2a , ? ?) x f ?( x ) 0 0 + - + f ( x) ↗ ↘ ↗
③ a ? 2 时, f ?( x) ? 由上表可知, f ( x) 在区间 (?1, a 2 ? 2a ) 有一个零点 x ? 0 ,在区间 (a2 ? 2a, ??) 有一个零点,从而

f ( x) 有两个零点.
2x 在 (?1, ??) 上单调递增, x?2 1 1 1 2 * 取 x ? (n?N ) ,则 f ( ) ? f (0) ? 0 ,化简得 ln(1 ? ) ? . n n n 2n ? 1 3x 3 3 取 a ? ,由⑴知 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? 在区间 (? , 0) 上单调递减, 2x ? 3 4 2 1 3 ? (? , 0) ( n ? N* ) 取x ?? , n ?1 4 3 ? 1 n ? 1 ,即 ln(1 ? 1 ) ? 3 ( n ? N* ) 由 f ( x) ? f (0) ,得 ln(1 ? , )? 1 n 3n ? 1 n ?1 2(? )?3 n ?1 2 1 3 * ? ln(1 ? ) ? 综上, ,n?N . 2n ? 1 n 3n ? 1
(2)取 a ? 2 ,由⑴知 f ( x) ? ln( x ? 1) ?
10

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的弦 AB 、 CD 相交于 E ,过点 A 作⊙ O 的切线与 DC 的延长线交于点 P . PA ? 6 ,

AE ? CD ? EP ? 9 . (1)求 BE ; (2)求⊙ O 的半径. 【解析】 (1)∵ PA 是⊙ O 的切线, ∴ PA2 ? PC ? PD ? PC ? ( PC ? CD) ,
∴ 62 ? PC ? ( PC ? 9) , ∴ PC ? 9PC ? 36 ? 0 ,∴ PC ? 3 . ∴ CE ? PE ? PC ? 6 , ED ? 3 . ∵ AE ? BE ? CE ? ED , ∴ 9 BE ? 6 ? 3 ,∴ BE ? 2 . (2)在 ?PAE 中,
2

A O P C E B D

∴ cos ?APE ? 在 ?APC 中,

PA2 ? PE 2 ? AE 2 1 ? , 2 PA ? PE 3
A O P C E B D

AC 2 ? AP2 ? PC 2 ? 2 AP ? PC ? cos ?APC 1 ? 62 ? 32 ? 2 ? 6 ? 3 ? ? 33 ,∴ AC ? 33 . 3 在 ?APC 中, AP 2 ? AC 2 ? PC 2 5 ∵ cos ?PAC ? , ? 2 AP ? AC 33

2 2 2 2 ,∴ sin ?ADC ? , 33 33 AC 33 2 33 2 ∴ 2R ? ,∴ R ? . ? sin ?ADC 4 8
∴ sin ?PAC ?

11

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以原点为极点, x 轴正半轴为 3 ?y ? t ? ? 2 极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 1 ? 0 .
(1)写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程; (2) P 是曲线 C 上任意一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

1 ? x ? 3 ? t ? 2 ? 【解析】 (1)由 ? 消去参数 t 得, 3x ? y ? 3 3 ? 0 . 3 ?y ? t ? 2 ? 2 2 2 由 ? ? 4? cos? ? 1 ? 0 得 x ? y ? 4x ? 1 ? 0 .
(2)由(1)得曲线 C : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 , 圆心为 (2 , 0) ,半径为 3 . 圆心到直线 3x ? y ? 3 3 ? 0 的距离

d?

| 3?2?0?3 3 | 3 , ? 2 2

P 到直线 l 的距离的最大值 M ? d ? r ?

3 3 . 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (1)已知非零常数 a 、 b 满足 a ? b ?

1 1 ? ,求不等式 | ?2 x ? 1|? ab 的解集; a b

(2)若 ?x ? [1, 2] , x? | x ? m |? 1 恒成立,求常数 m 的取值范围. 【解析】 (1) a ? b ?

1 1 a?b (a ? b)(ab ? 1) ? ? ?0, ,∴ a b ab ab ∴ a ? ?b ? 0 ,或 ab ? 1 , 当 a ? ?b ? 0 时, | ?2 x ? 1|? ?a2 , x ? R , 当 ab ? 1 时, | ?2 x ? 1|? 1 , ∴ 2 x ? 1 ? ?1 ,或 2 x ? 1 ? 1 ,∴ x ? 0 或 x ? 1 , 综上,当 a ? ?b ? 0 时,原不等式的解集为 R ; 当 ab ? 1 时,原不等式的解集为 (??, 0] ? [1, ??) . (2)由 x? | x ? m |? 1 ,得 | m ? x |? x ? 1 , ∴ m ? x ? x ? 1或 m ? x ? ?( x ? 1) , ∴ m ? 2x ?1或 m ? 1, ∵ x ? [1, 2] , 2 x ? 1? [1,3] , 若 ?x ? [1, 2] , x? | x ? m |? 1 恒成立, ∴ m ? 3 ,或 m ? 1 .

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