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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题及答案

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2015 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高一年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 9 分和 0 分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次 . 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评 卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中 5 分为一个档次,不要增 加其他中间档次. 一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 9 分,共 90 分. ) 1 .已知数列 是等差数列, 和 是方程 的两根,则数列 的前 2015 项的和为 1209 . 2 .已知 为 10,则 在 是常数,函数 上的最小值为 -4 . 在 上的最大值 3.若对于任意实数 , 4.设 合 中的元素的个数为 5.△ 504 N ), . * 恒成立,则实数 的最小值为 . ,则集 中,角 的对边分别为 .若 ,则 的值为 1 . 6 . 设 多 项 式 -186 . 7.已知点 , 在 Rt△ 所在平面内, . 当 , 为锐角, 取 得 最 小 值 时 , , 满 足 , 则 . 8. 9.函数 的值为 6 . . 的最小值为 10.使得 和 都是完全平方数的最大质数 为 7 . 二、解答题(本大题共 3 小题,每小题 20 分,共 60 分. ) 11.定义在 上的函数 满足: ① ;②当 时, 的单调性; ;③ . (1)试判断函数 (2)若 ,试求 的取值范围. 解 ( 1 )设 , 数. 故 ,则 ,故 在 ,即 上 是 单 调 ,所以 增 函 ………………………………………(5 分) (2)因为 ,所以 ,从而 . (10 分) ……………………………………… 即 ,于是 …………………………………… …(15 分) 解 . 得 . 故 的 取 值 范 围 是 ………………………………………(20 分) 12.已知正实数 满足 ,求 的最小值. 解 设 , ,则 . …(5 分) ……………… 令 . , …………………(10 分) 则 , 又 , 所 以 . ………………………………(15 分) 当 时 , = 取 得 最 小 值 .…………………(20 分) 13.设 是数列 的前 项之积,满足 的通项公式; . (1)求数列 (2)设 ,求证: . 解 (1)易知 , ,且由 ,得 , 即 , 即 . ……………(5 分) 所以 ,故 . (10 分) ……………………………………… (2)由(1)得 . 一方面, ;…………… (15 分) 另一方面, . 又 . 所以 (20 分) . ………………………………………

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