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8.线性规划


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第 8 讲:线性规划

第 8 讲:线性规划
知识方法
1.基本定理:①如果函数 y=f(x)的图像为曲线 C,则:y>f(x)表示的是曲线 C 上方的区域;y<f(x)表示的是曲线 C 下方 的区域;由此易得:②当 a>0 时,直线 l 的方程为:ax+by+c=0,则:(i)当 b>0

时,ax+by+c>0 表现直线 l 上方的区域;当 b<0 时,ax+by+c>0 表现直线 l 下方的区域;(ii)当 b<0 时,ax+by+c>0 表现直线 l 下方的区域;当 b<0 时,ax+by+c>0 表现直线 l 上方的区域;③点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则:(i)点 P 与 Q 在直线 l 的同侧 ? (ax1+by1+c)(ax2+by2+c)>0;(ii)点 P 与 Q 在直线 l 的异侧 ? (ax1+by1+c)(ax2+by2+c)<0. 2.问题类型:⑴平面区域问题,包括:作出平面区域、求平面区域的面积和己知平面区域,求约束条件.解答该类问题就 是灵活使用上述基本定理;⑵目标函数的最值问题,基本的解题思想是把目标函数中的实数 x、y 视为区域内一点 P 的横、 纵坐标,即点 P(x,y),然后由此寻找目标函数的几何意义,解决之;常见的目标函数的几何意义是:①z=ax+by,转化为直线 ax+by=z 在 y 轴上的截距
z y ?b 2 2 2 ;②(x-a) +(y-b) 转化为|PM| ,其中点 M(a,b);③ 转化为 kPM,其中点 M(a,b);④|ax+by+c| b x?a

转化为 d a 2 ? b 2 ,其中 d 为点 P(x,y)到直线 l:ax+by+c=0 的距离等;⑶含参数的问题,有两种类型:一是约束条件中含参 数;二是目标函数中含参数.解答该类问题的关系是寻找参数,或目标函数的几何意义.

命题规律
在安徽课标高考中,对线性规划基本问题的考查是其重点,作出平面区域,研究区域的几何性质是安徽高考试题的突出 的特点;直线、圆和不等式与线性规划的有机结合是安徽高考线性规划试题的亮点;着意于约束条件是安徽高考命题的关 注点.

原创预测
1.平面区域型: [原创示例]:不等式组 ? ? 2 x ? y ? 2 ? 0 所表示的平面区域被直线 ax+by=1(a>0,b>0)分为面积相等的两部分,则 + 的
?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
1 a 1 b

?

x ? y ?1

最小值是

.

[解析]:约束条件对应△ABC 边际及内的区域,其中,A(1,0),B(0,1),C(2,2) ? △ABC 的重心 G(1,1),直线 ax+by=1 平分
△ABC 的面积 ? 直线 ax+by=1 过△ABC 的重心 G(1,1) ? a+b=1 ?
1 1 1 1 a b + =( + )(a+b)=2+ + ≥4. a b a b b a

[原创预测]:
1.若约束条件 ? (A)(3,5)
1 x
2

?

2y ? x ? a

? y ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |

表示的平面区域是一个三角形,则实数 a 的取值范围是( (B)(3,5] (C)[3,5)

) (D)[3,5] )

2.曲线 y= 和 y=x 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形区域(含边界)所满足的约束条件是(
?x? y?2?0 ? ? ? y?0 ?x? y?2?0 ? ? ? y?0
?x? y?2? 0 ? ? ? y?0 ?x? y?2? 0 ? ? ? y?0

(A) ?2 x ? y ? 1 ? 0

(B) ?2 x ? y ? 1 ? 0

(C) ?2 x ? y ? 1 ? 0

(D) ?2 x ? y ? 1 ? 0

第 8 讲:线性规划
3.双曲线 x -4y =4 的两条渐进线与抛物线 x =-4y 的准线所围成的三角形区域(含边界)所满足的约束条件是( (A) ? x ? 2 y ? 0
? ? y ?1 ?x ? 2 y ? 0 ?
2 2 2

27
)
?x ? 2 y ? 0 ? ? ? y ?1 ?x ? 2 y ? 0 ? ? ? y ?1 ?x ? 2 y ? 0 ? ? ? y ?1

(B) ? x ? 2 y ? 0

(C) ? x ? 2 y ? 0

(D) ? x ? 2 y ? 0

4.己知点 O(0,0),点 P(x,y)在由不等式组 ? x ? y ? 5 ? 0 所确定的平面区域 D 内,则 OP 的中点 Q 所在的平面区域的面积为( )
? ? y ?1

?2 x ? y ? 1 ? 0 ?

(A)3
?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ? ? x ? y ?1

(B)

3 2

(C)

3 4

(D)6

5.若 a≥0,b≥0,且当 ?2 x ? y ? 2 ? 0 时,恒有 ax+by≤2,则以 a,b 为坐标的点 P(a,b)所形成的平面区域的面积是(

)

(A)

1 2

(B) ?
? x? y?2?0 ?

4

(C)1

(D)

?
2

6.己知在平面区域 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 内存在点 P(x0,y0),满足 ax0-y0=a 则实数 a 的取值范围是
? x ? 4y ? 8 ? 0 ?

.

7.在圆 x +y =1 内任取一点 P,则点 P 落在区域 ? (A)
1 16

2

2

?2 x ? y ? 0 内的概率是( ?x ? 3y ? 0

)
1 2

(B)

1 8

(C)

1 4

(D)

2.线性规划型: [原创示例]:己知实数 x,y 满足条件|x+y-1|≤1,|x-y-2|≤1,则|x+3y-2|的最大值是(
(A)2 (B)3 (C)4

) (D)5

[ 解 析 ]: 由 ?

?| x ? y ? 1 |? 1 ?0 ? x ? y ? 2 ? ?1 ? x ? y ? 1 ? 1 ? 0 ? 2x ? 2 y ? 4 , 两 式 相 加 得 :-3 ≤ x+3y ≤ 3 ? -5 ≤ ? ? ? ? ? ? | x ? y ? 2 | ? 1 1 ? x ? y ? 3 ? 1 ? x ? y ? 2 ? 1 ? ? ? ?? 3 ? ? x ? y ? ?1

x+3y-2≤1 ? |x+3y-2|的最大值是 5,选(D).

[原创预测]:
?x ? y ? 1 ? 8.若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 z=2x+y( ?0 ? x ? 4 ?

) (C)无最大值有最小值 ) (C)[-3,0] ) (D)[-1,0] (D)无最大值也无最小值

(A)有最大值也有最小值

(B)有最大值无最小值

9.设变量 x,y 满足|x-1|+|y-1|≤1,则 x-2y 的取值范围为( (A)[-1,1] 10.若实数 x,y 满足 ? (A)2 11.若 x,y 满足约束条件 ? (B)[-3,1]

?x ? y ? 1 ? 0 ? x?0 ,如果 y 的取值范围是[2,+∞),则实数 a=( x ? y?a ?

(B)3

(C)4 .

(D)6

? y ?| x ? 1 | (a>1),目标函数 z=x+2y 的最大值为 8,则 a 的值为 ? y ? ?2 | x | ?a
?3 x ? y ? 6 ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0 ?

12.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,目标函数 z=ax+2y 仅在点(2,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是(

)

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(A)(0,2) (B)(-6,2)
? x? y?2?0 ?

第 8 讲:线性规划
(C)(-6,0)
3 4 ? 的最小值为( a b

(D)(-6,-1) )

13.若 a>0,b>0,且当 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 时,恒有 ax+by≤8,则
? x ? 4y ? 8 ? 0 ?

(A)3
2

(B)6

(C)8

(D)12 )

14.己知函数 f(x)=ax -2bx+2-b(a>0)在区间(0,1)、(1,2)内各有一个零点,则 z=a+2b 的取值范围是( (A)(0,
16 ) 7

(B)(0,8)

(C)(

16 ,8) 7

(D)(2,8)

[原创解析]:
1.函数 y=|x+1|+|x-1|的图像是以 A(-1,2),B(1,2)为顶点的 V 型图,表示的平面区域是一个三角形 ? 直线 2y=x+a 与线段 AB 相交(过点 A,不过点 B) ? -1+a≤4,1+a>4 ? a∈(3,5].故选(B). 2.交点(1,1),切线分别为 x+y-2=0、 2x-y-1=0;区域在直线 x+y-2=0、 2x-y-1=0 的下方 ? x+y-2≤0、 2x-y-1≥0.故选(A). 3.两条渐进线分别为 x-2y=0、x+2y=0,准线:y=1;区域在直线 x-2y=0、x+2y=0 的上方 ? x-2y≤0、x+2y≥0.故选(A). 4.设 Q(x,y),则 P(2x,2y),代入 ? x ? y ? 5 ? 0 得: ?2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,该区域是以 A(
? ? y ?1 ? ? 2y ?1 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ? ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
1 1 1 3 , ),B(2, ),C(1, )为顶点的△ABC 2 2 2 2

区域 ? 面积=

1 1 3 1 3 (2- )( - )= .故选(C). 2 2 2 2 4

5.区域 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0 是以 A(2,2),B(1,0),C(0,1)为顶点的△ABC 区域 ? ?0 ? a ? 2 ? 面积=
? x ? 4y ? 8 ? 0 ? ?0 ? b ? 2 ?

? x? y?2?0 ?

?a ? b ? 1 ?

1 .故选(A). 2

6.平面区域是以 A(2,0),B(0,2),C(4,3)为顶点的△ABC 区域,直线 ax-y=a 恒过定点 M(1,0),且 a 为斜率;区域内存在点 P(x0,y0),满足 ax0-y0=a ? 直线 ax-y=a 与区域有交点;由 kMA=0,kMB=-2 ? 实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[0,+∞). 7.由直线 2x-y=0 的斜率 k1=2,直线 x-3y=0 的斜率 k2=
1 .故选(B). 8

? ? 1 k ?k ? 两直线的夹角θ 满足:tanθ = 1 2 =1 ? θ = ? 概率 P= 4 2? 3 1 ? k1k2

=

8.平面区域是不封闭区域,有最高点,而无最低点 ? z=2x+y 有最大值无最小值.故选(B). 9.区域|x-1|+|y-1|≤1 以 A(0,1),B(1,0),C(2,1),D(1,2)为顶点的正方形区域;把 A(0,1),B(1,0),C(2,1),D(1,2)分别代 入 z=x-2y 得:z=-2,1,0,-3 ? x-2y 的取值范围为[-3,1].故选(B). 10.平面区域是以 A(0,1),B(0,a),C(a-1,a)(a>1)为顶点的△ABC 区域;
a =2 ? a=2.故选(A). a ?1 y =kOP,其中,点 P(x,y)在△ABC 区域内,由 kOP≥kOC= x

11.平面区域的最高点 P(0,a),代入 z=x+2y 得:z=2a=8 ? a=4. 12.平面区域是以 O(0,0),A(2,0),B(4,6),C(0,2)为顶点的四边形区域,目标函数 z=ax+2y 仅在点(2,0)处取得最小值 ? 0 <a <3 ? a∈(-6,0).故选(C). 2
?2 a ? b ? 0 ? 8 ? ? 4a ? 3b ? 8 ?

13.区域以 A(2,0),B(0,2),C(4,3)为顶点的△ABC ? ?a ? 0 ? 2b ? 8 ?

3 4 1 3 4 3 4 1 ? = ? 8( ? )≥ (4a+3b)( ? )≥6.故选(B). a b 8 a b a b 8

14.由 f(0)=2-b>0,f(1)=a-3b+2<0,f(2)=4a-5b+2>0,a>0 ? z=a+2b 的取值范围是(

16 ,8).故选(C). 7


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