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2013年高三数学一轮复习精品导学案(文理均可用):直线与方程(5课时)


直线的倾斜角与斜率导学案
-----2013 年高三数学一轮复习直线与方程导学案(一)
一、直线的倾斜角与斜率 (一)考纲点击 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式; 2、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 (二)热点提示 1、直线的倾斜角和斜率、两直线的位置关系是高考热点; 2、主要以选择、填空题的形式出现,属于中低档

题目。

【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点: ⅰ.与 x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.
0

②直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 .
0 0 ③倾斜角 ? 的范围 0 ? ? ? 180 .

(2)直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为 90 的直线斜率不存在。 ② 经 过 两 点 的 直 线 的 斜 率 公 式 是
0

③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。

1

例题分析: 例 1、 (1)图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则: A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

(2)若 ? 是三角形的内角,则直线 x cos? ? y ? m ? 0 的倾斜角为 ? 的取值范围是: A. ( ?

? ?

, ) 4 4

B. (

? 3?
4 , 4

)

C. (

? ?

? 3? , )?( , ) 4 2 2 4

D. [0,

?
4

)?(

3? ,? ) 4

例 2.已知直线的斜率 k=-cos

? ( ? ∈R).求直线的倾斜角 ? 的取值范围。

思路解析:cos ? 的范围 ? 斜率 k 的范围 ? tan ? 的范围 ? 倾斜角 ? 的取值范围例 2.设直线 l 的

练习:直线 l 方程为 (a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0 ,直线 l 不过第二象限,求 a 的取值 范围。

3、利用斜率证明三点共线的方法: 已知 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), 若 x1 ? x2 ? x3或k AB ? k AC ,则有 A、B、C 三点共线。 注:斜率变化分成两段, 900 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。 练习: 若A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(0,m)三点共线,则m的值为 练习: 1.直线经过 A(2,1), B(1, m ) 两点,那么直线的倾斜角的取值范围是 A. [0,
2

.

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

B. [0, ? )

C. [0,

?
4

]

D. [

? ?

, ) ? ( ,? ) 4 2 2

?

2

2.若 ? ? ? A. ?

?
6

,则过两点 A(0, cos? ), B(sin ? , 0) 的直线的倾斜角是 B.

?
6

? 3

C.

? 6

D.

5? 6

3.若 AC ? 0 ,且 BC ? 0 ,则直线 Ax ? By ? C ? 0 一定不经过 A.第一象限 B.第二象 限 C.第三象限 D.第四象限

直线的平行与垂直导学案
-----2013 年高三数学一轮复习直线与方程导学案(二)
2、两条直线平行与垂直的判定 (1) 两条直线平行: 对于两条不重合的直线 l1 , l2 , 其斜率分别为 k1 , k2 , 则有 l1 / /l2 ? k1 ? k2 。 特别地,当直线 l1 , l2 的斜率都不存在时, l1与l2 的关系为平行。 例:已知点 M(2,2) ,N(5,-2) ,点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标。 (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点) ; (2)∠MPN 是直角。

练习:1. (2010 安徽文数) (4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 (A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0 )

2.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A.

0

B.

?8

C.

2

D.

10
) D. 2
3

3.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a =( A. -3 B.-6 C. ? 3
2

3

注: (1)充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键,对于斜率都存在且不 重合的两条直线 l1 和 l2 , 率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。 (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1 , l2 斜率存在,设为 k1 , k2 ,则 l1 ? l2 ? k1 ? 2 ? ?1 k 例题: l1 : mx ? y ? (m ? 1) ? 0 , l 2 : x ? my ? 2m ? 0 ,①若 l1 ∥ l 2 ,求 m 的值;②若 l1 ⊥ l 2 , 求 m 的值。 。若有一条直线的斜

练习 1.以A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( A.3x-y-8=0 C.3x-y+6=0 B.3x+y+4=0 D.3x+y+2=0 )



2.直线 2 x ? y ? m ? 0和x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是( A.平行 B.垂直

C.相交但不垂直 D.不能确定 . .

3.过点 P(-2,1)且到原点距离最远的直线 l 的方程是 4.若直线

l1 : mx ? y ?1 ? 0 与 l2 : x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直,则 m 的值是

注:两条直线 l1 , l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率之积为-1, 可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1 , l2 中有一条直线的斜率 不存在,另一条直线的斜率为 0 时, l1与l2 互相垂直。

4

直线的方程导学案
-----2013 年高三数学一轮复习直线与方程导学案(三)
(一)考纲点击 1、掌握确定直线位置的几何要素; 2、掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点及一般式) ,了解斜截式与一次函数的关系。 (二)热点提示 1、直线的方程是必考内容,是基础知识之一; 2、在高考中多与其他曲线结合考查,三种题型可出现,属于中低档题。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 点斜式 方程的形式 已知条件 为直线上一定点, 为斜率 k 局限性 不包括垂直于 x 轴的直 线 斜截式 k 为斜率,b 是直线在 y 轴上的截距 不包括垂直于 x 轴的直 线 两点式 点 截距式 a 是直线在 x 轴上的非零截距,b 是 直线在 y 轴上的非零截距 一般式 A,B,C 为系数 是直线上两定 不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线

不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线 无限制,可表示任何位 置的直线

注:过两点 (1)若

的直线是否一定可用两点式方程表示?(不一定。 ,直线垂直于 x 轴,方程为 ,直线垂直于 y 轴,方程为 ; (3)若 ;( 2 ) 若 ,

直线方程可用两点式表示)

5

(一)直线方程的求法 1、 求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。 基本方法包括利用 条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。 用待定系数法求直线方程的步骤: (1)设所求直线方程的某种形式; (2)由条件建立所求参数的方程(组) ; (3)解这个方程(组)求参数; (4)把所求的参数值代入所设直线方程。 2、求直线方程时,首先分析具备什么样的条件;然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直 线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时,应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时, 应先判断截距是否为 0。若不确定,则需分类讨论。 例 1.求过点 P(2,-1) ,在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a、b,且满足 a=3b 的直线方程。

例 2.已知 ?ABC 中, A(2,1) , AB 边上的中线所在的直线方程为 5x ? 3 y ? 1 ? 0 ,AC 边上的中 线所在的直线方程为 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求直线 BC 的方程。

6

例 3.已知 ?ABC 三个顶点是 A(?1,4) , B(?2,?1) , C(2,3) . (1)求 BC 边中线 AD 所在直线方程; (2)求 AC 边上的垂直平分线的直线方程 (3)求点A到BC边的距离.

例 4.求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1,-3) ,且倾斜角等于直线 y= 3x 的倾斜角的 2 倍.

练习: 1.倾斜角为 45?,在 y 轴上的截距为 ? 1 的直线方程是( A. y ? x ? 1 2.过点 B. y ? ? x ? 1 ) D. y ? x ? 1

C. y ? ? x ? 1

M ? 2,1?

的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 P、Q 两点,且 ) B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0

MQ ? 2 MP

,则直

线 l 的方程为( A.x+2y-4=0

3.求经过 A(2,1) ,B(0,2)的直线方程 4. 直线方程为 (a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0 ,直线 l 在两轴上的截距相等,求 a 的方程;

7

5、过 P(1,2)的直线 l 在两轴上的截距的绝对值相等,求直线 l 的方程

6.已知点 P(?4,2) 和直线 l: 3x ? y ? 7 ? 0 求: (1)过点 P 与直线 l 平行的直线方程一般式; (2)过点 P 与直线 l 垂直的直线方程一般式;

7.已知直线 l 经过点 P(?5, ?4) ,且 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程.

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直线的交点坐标与距离公式导学案
-----2013 年高三数学一轮复习直线与方程导学案(四)
(一)考纲点击 1、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 2、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。 (二)热点提示 1、本节重点体现一种思想——转化与化归的思想,这种思想是高考的热点之一; 2、本部分在高考中主要以选择、填空为主,属于中低档题目。 三、直线的交点坐标与距离公式 2.几种距离 (1)两点间的距离 平面上的两点 间的距离公式

特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离 (2)点到直线的距离 点 到直线 的距离 ) D. 7
2



例题 1:点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为( A.2 B. 1
2

C.1

练习:圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ?



例 2:已知点 P(2,-1) 。

(1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程;

(2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3) 是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在, 求出方程; 若不存在, 请说明理由。

9

练习:
1.过点 P(-2,3)且与原点的距离为 2 的直线共有 ( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2.若直线 3x-2y=5,6x+y=5 与直线 3x+my=1 不能围成三角形,则 m 的值是( 1 A. 2 B.-2 1 C. 或-2 2 1 D. 或±2 2



3.如果点(5,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 及 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值是 ( ) A.-4 B.4 C.-5 D.5 4. 与直线 2x-y+3=0 垂直, 且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 2 的直线方程是 .

(3)两条平行线间的距离 两条平行线 注: (1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。 例:已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 , (1)试判断 l1 与 l2 是否 平行,如果平行就求出它们间的距离; (2) l1 ⊥ l2 时,求 a 的值。 间的距离

练习:求两直线:3x-4y+1=0 与 6x-8y-5=0 间的距离 (4)直线方程的应用



例:如图,过点 P(2,1)作直线 l ,分别为交 x、y 轴正半轴于 A、B 两点。 (1)当⊿AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线 l 的方程。

10

练习: 直线 ax+y+1=0 与连结 A (2, 、 (-3, 的线段相交, a 的取值范围是 3) B 2) 则 A.[-1,2] C.[-2,1] B.(-∞,-1)∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)





(5) 、线段的中点坐标公式 若点 ( , 的 坐 标 分别 为 ) ,则此公式为线段 , 且线 段 的中点坐标公式。 的 中 点 M 的 坐标为

练习:一直线被两直线 l1 : 4 x ? y ? 6 ? 0 , l2 : 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得的线段的中点恰好是坐标原点, 求此直线的方程。

点、直线----对称关系学案
-----2013 年高三数学一轮复习直线与方程导学案(五)
(二)有关对称问题 常见的对称问题: (1)中心对称

①若点



关于

对称,则由中点坐标公式得

②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已 知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 式得到所求直线方程。 (2)轴对称 ①点关于直线的对称:若两点 则线段 的中点在对称轴 l 上,而且连接 关于直线 l :Ax+By+C=0 对称, 的直线垂直于对称轴 l 上,由方程组 ,由点斜

11

可得到点 P 关于 l 对称的点 P 的坐标 ? x2 , y2 ? (其中 A ? 0, x1 ? x2 ) 1 2 ②直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知 直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行。 练习:1. 点M(4,m)关于点N(n, - 3)的对称点为P(6,-9) ,则( A. m =-3, n =10 B. m =3, n =10 C. m =-3, n =5 D. m =3, n =5 )

2.求直线 l1 : y ? 2 x ? 3 关于直线 l : y ? x ? 1 对称的直线 l2 的方程。

3.光线由点 P(2,3)射到直线 x ? y ? ?1 上,反射后过点 Q(1,1) ,则反射光线所在的直线方 程为( A. ? x ? y ? 0 ) B. 4 x ? 5 y ? 31 ? 0 C. 4 x ? 5 y ? 1 ? 0 D. 4 x ? 5 y ? 16 ? 0

4.直线 y ?

1 x 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是____________ 2

5.在直线 2x-y-4=0 上求一点 P,使它到两定点 A(4, 1) 、B(3,-4)距离之差最大.

直线过定点问题
例.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 ( A. (-2,1) B. (2,1) C. (1,-2) )

D. (1,2)

练习. 已知直线 l:kx-y+1+2k=0 (k∈R).(1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围;

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