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数列的通项公式求解技巧

时间:2015-06-30


数列的通项公式求解技巧
艾尼·吾司塔 1 , 木沙江·吐尔逊 2
(阿图什市第一中学, 阿图什 845350) 摘要:数列是高中数学的重要部分,尤其是现实生活中的应用很广.这文章为了学生针 对高考数学数列题,总结了数列的通项公式求解问题的方法. 关键词:数列,通项公式,递推公式.

1. 引言
在古代人类随着自然数、分数的概念和四则运算的产生,为了生产与生活的需要,就 产生了数列的知识. 在世界数学史上,对数列的讨论具有悠久的历史,中国、巴比伦、古希腊、埃及和印 度等,都曾经研究过数列,中国古代数学名著《周髀算经》 《九章算术》 《孔子算经》 《张 邱建算经》等,对等差数列 a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…+〔a+(n-1)b〕和等比数列 a+aq +aq +aq +…+aq
2 3 n-1

都列举出计算的例子, 说明中国古代对数列的研究曾作出过一定的贡
[1-4]

献.现在我国关于这个方面有很多研究工作

.

2.数列的通项公式求解技巧
历年的高考中出现了给出数列的解析式(包括递推关系式和非递推关系式)求通项公 式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方 法和技巧,以供参考. 1、累加法 数列有形如 an+1=an+f(n)的解析式,而 f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的,可用多式 相加法求得 an. 例 1.在数列{an}中,a1=-1,an+1= an+2n,求 an(n≥2). 解:由条件,a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……,an= an-1+2(n-1),以上 n-1 个式子相加化 2 简得:an=a1+n(n-1)=n -n-1. 练习 1.数列 {an } 满足 a1 ?

1 1 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项. , a n ? a n ?1 ? 2 2 n ?n

2、累乘法 数列有形如 an=f(n)·an-1 的解析关系,而 f(1)·f(2)……f(n)的积是可求的,可用多 式相乘法求得 an.

1 n ?1 , an ? ? a n ?1 (a ≥2) ,求 an . 2 n ?1 1 2 3 4 n ?1 ? an-1, 解:由条件 a 2 ? ? a1 , a3 ? ? a 2 , a 4 ? ? a3 , a5 ? ? a 4 ??, a n ? 3 4 5 6 n ?1
例 2.在数列{an}中, a1 ?

1

收稿日期:2015-6-18 ; 修回日期

作者简介:艾尼·吾司塔(1981-) ,男 ,新疆维吾尔自治区阿图什人,硕士研究生,从事高中数学研究。

这 n-1 个式子相乘化简得: a n

?

1 . n( n ? 1 )
1 )a n ?1 (n ? 2) , an ? 0 , 求数列 {an } 的通项. n2

练习 2.数列 {an } 中 a1 ? 1 ,且 a n ? (1 ?

3、构造法 (1)形如 an ? Aan?1 ? B ,其中 A, B 为常数且 A ? 1, A ? 0, B ? 0 的构造. 可用待定系数法,构造一个公比为 A 的等比数列,令 an ? ? ? A(an?1 ? ? ) ,经整理比较 得 ( A ? 1)? ? B, ? ?

B B } 是一个公比为 A 的等比数列. ,从而 {a n ? A ?1 A ?1

例 3.在数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ? 3 ? an ? 1, 求 an . 解:在 an?1 ? 3 ? an ? 1 的两边同加待定数 ? ,得 an?1 ? ? ? 3 ? an ? 1 ? ? ? 3 ? (an +( ? -1)/3) ,令 ? ? 的等比数列, ∴an ?

1 1 1 1 (? ? 1) , 得 ? ? ? . ? a n ?1 ? ? 3 ? (a n ? ). 数列{ a n ? } 是公比为 3 2 2 2 2 3

1 n ?1 1 1 n ?1 = ? 3 ,? a n ? (3 ? 1). 2 2 2

评析:把 an ? ? 作为一个整体,求 ? ,通过求 ?an ? 3?的通项,间接的求 ?an ? 的通项 公式. 若 A ? 1 ,则可以用累加法直接求通项. 练习 3. 已知数列 ?an ? 满足 a n ?

1 a n ?1 ? 2 , a1 ? 1 ,求 ?an ? 的通项公式. 3

(2)形如 an ? Aan?1 ? bn ,且 A ? 0, b ? 0 型的构造 可变形成

a an A ? an?1 ? A , 则 c n ? c n ?1 ? 1 , (此问题就转化成 ? ? n?1 ? ? 1 , 令 c n ? n n n b b b ?b ? b

an ? Aan?1 ? B 的模型求解).
例 4 已知数列 ?an ? 满足 an ? 4an?1 ? 2n , a1 ? 4 ,求 ?an ? 的通项公式. 解:原式变型为

an a ?1 a ?2 n ? 1 , 令 bn ? n , 则 bn ? 2bn?1 ? 1 ( 此 问 题 就 转 化 成 n n ?1 2n 2 2

an ? Aan?1 ? B 的模型)……,解之得: an ? 2n ? 22n?1 .
评析: 等式两边同除以 2 , 要注意 an 的下标与指数变量同步, 即:an 与 2 ,an ?1 与 2 将问题转化到 an ? Aan?1 ? B 模型求解. (3) an ? Aan?1 ? n ,且 A ? 0 型的构造
n n n ?1



可用待定系数法构造 an ? ?n ? A(an?1 ? ? (n ? 1)) ? ? ,然后经整理比较 an ? Aan?1 ? n 得 出? ?

1 A ,? ? ,从而转化为 an ? Aan?1 ? B 型的构造. A ?1 A ?1

例 5 已知数列 ?an ? 满足 an ? 2an?1 ? n , a1 ? 2 ,求 ?an ? 的通项公式. 解:设 an ? ? n ? 2 ? ? an ?1 ? ? ? n ? 1? ? ? ? ? ,解之得 ? ? ?1 , ? ? ?2 , 则 an ? n ? 2?an?1 ? ?n ? 1?? ? 2 ,令 bn ? an ? n ,则 bn ? 2bn?1 ? 2 (此问题就转化成

an ? Aan?1 ? B 的模型)……,解之得: an ? ?2n?1 ? n ? 2 .
评析:把 an ? ?n 作为一个整体,要注意 an 的下标与一次变量同步,即: an 与 n , an?1 与 n ? 1 ,将问题转化到 an ? Aan?1 ? B 的模型求解. 类型(1)(2)(3)也可归纳到 an ? Aan?1 ? f (n), A ? 0 这类问题中, 则还可通过同除 A ,
n

变形为

a f ( n) an a 1 f ( n) ? nn? ? n , A ? 0 ,令 bn ? nn ,得 bn ? bn ?1 ? n ,再通过累加得 n ?1 A A A A A
n ?1 i ?1

bn ? b1 ? ?

f (i ? 1) . Ai ?1

k (4)形如 an ? man ) 的构造 ?1 (m ? 0, k ? Q, k ? 0, k ? 1

可两边取对数得 lg an ? k lg an?1 ? lg m ,令 bn ? lg an ,得 bn ? k ? bn?1 ? lg m ,所以该问 题转化到 an ? Aan?1 ? B 模型求解.
3 例 6 数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an ?1 ,求 an 3 2 为 底 的 对 数 得 解 : 显 然 an ? 0 , 对 an ? 2an ?1 的 两 边 同 时 取 以

l o 2g an ? 3 l o 2 g an?1 ? 1 , 令 bn ? log2 an ,则 bn ? 3bn?1 ? 1 , (此问题就转化为 an ? Aan?1 ? B 模型)……,解之得:
1

an ? 2 2

( 3n ?1 ?1)

.

评析:由于数列 {an } 是冪型数列,通过取对数将递推关系式转化为 an?1 ? pan ? q 的模 型, 若 k ? 1 ,可以用累乘法求通项. 例 7 已知数列 {an } 与 {bn } 有如下关系: a1 ? 2, a n ?1 ? 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式.

a ?1 1 1 , (a n ? ), bn ? n 2 an an ? 1

解:有已知得 bn ?1

1 1 (a n ? ) ? 1 a ?1 2 an a ?1 2 ,且 b1 ? 3, bn ? 0 . ? n ?1 ? ? ( n ) 2 ? bn 1 a n ?1 ? 1 1 an ? 1 (a n ? ) ? 1 2 an

2 即 bn?1 ? bn ,取对数得 lg bn?1 ? 2 lg bn ,即数列 {lg bn } 是首项为 lg 3 ,公比为 2 的等比数

列.

b ? 1 32 ? 1 . ? lg bn ? 2 lg 3 ,于是 bn ? 3 ,从而 an ? n ? n ?1 bn ? 1 32 ? 1 评析:虽然数列 {an } 不是冪型数列,但由此构造的数列 {bn } 是一个冪型,所以可以先求 出数列 {bn } 的通项公式,再求数列 {an } 的通项公式.
n?1

n ?1

2 n ?1

(5)其它一些常见类型的构造 例 8.数列 {an } 满足 nan?1 ? (n ? 1)an ? 1 ,且 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项. 解:将原式两边同时除以 n(n ? 1) ,变形为 令 bn ?

a n ?1 a n 1 . ? ? n ? 1 n n(n ? 1)

an 1 , 则 bn ?1 ? bn ? (即可化为用累加方法求解)……,解之得: n n(n ? 1) an ? 2n ? 1 . 评析:通过同除 n(n ? 1) ,将递推关系式转化为累加型通项求法.
例 9.已知各项都是正数的数列 {an } 满足 a1 ?

3 1 , a n ?1 ? a n (4 ? a n ) ,求数列 {an } 2 2

的通项公式. 解:由已知得 a n ?1 ? ?

? an ? 0,? 0 ? an?1 lg bn?1 ? 2 lg bn ? lg 2 , 令 cn ? lg bn , 得 cn?1 ? 2cn ? lg 2 ( 此 问 题 就 转 化 为
n

1 1 1 2 (a n ? 2) 2 ? 2, 令 2 ? an ? bn ,则有 b1 ? , bn ?1 ? bn . 2 2 2 ? 2, 又 0 ? a1 ? 2 , ? 0 ? an ? 2 , 从 而 bn ? 0 . 取 对 数 得

an ? Aan?1 ? B 模型)……,解之得: bn ? 21?2 评析: 数列 {an } 是一个二次递推数列,虽然不是基本冪型,但由它可以构造一个新的 冪型数列 {bn } ,通过求 {bn } 的通项公式而达到求数列 {an } 通项公式的目的.
4、因式分解法 当数列的关系式较复杂,可考虑分解因式和约分化为较简形式,再用其它方法求得 an. 例 10.已知 f ( x) ? ( x ? 1) 4 , g ( x) ? r ? ( x ? 1) 3 , (r ? 0,1), 数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ? 1 (n∈ N ) ,且有条件 (an ? an?1 ) ? g (n ? 1) ? f (an?1 ) ? 0, 求an (n ≥2). 解:由得:

(an ? an?1 ) ? r ? (an?1 ? 1) 3 ? (an?1 ? 1) 4 ? 0.即(an?1 ? 1) 3 [r (an ? an?1 ) ? (an?1 ? 1)] ? 0
对 n∈ N , a n ? 1, 故r (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? 1) ? 0.合并同类项得 : a n ? 由待定系数法得: a n ? 1 ?

1 r ?1 ? ? a n ?1 , 再 r r

r ?1 (a n ?1 ? 1). r

∴ an ? 1 ? ( 5、求差法

r ? 1 n ?1 ) . r

数列有形如 f (S n , S n?1 ) ? g (an ) 的关系(非递推关系) ,可考虑用求差 S n ? S n?1 ? an 后,再用其它初等方法求得 a n . 例 11.设 {an } 是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,并且对于所有的自然数 n, a n 与 2 的等差中项等于 S n 与 2 的等比中项: (1)写出数列 {an } 的前 3 项; (2)求数列 {an } 的通项公式. 出题者的意图是:通过(1)问求出数列前 3 项再猜想出通项公式; (2)再用数学归纳 法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单. 解: (1)略 (2)由条件,得

an ? 2 ? 2S n , 2
① ②

即 (an ? 2) 2 ? 8 ? S n ,

(an?1 ? 2) 2 ? 8 ? S n?1.

①-②得 8an ? (an ? 2) 2 ? (an?1 ? 2) 2 , 即 (an ? 2) 2 ? (an?1 ? 2) 2 ? 0. 分解因式得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0. 对于 n ∈ N, a n >0,∴ an ? an?1 ? 4. ∴ {an } 是公差为 4 的等差数列,

an ? 2 ? ( 4 n ? 1) ? 4n ? 2.
6、倒数法 数 列 有 形 如 f (an , an?1 , an an?1 ) ? 0 的 关 系 , 可 在 等 式 两 边 同 乘 以

1 , 先求出 a n a n ?1

1 , 再求得a n . an

例 12.设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an?1 ?

an (n ? N), 求 a n . an ? 3
1 1 1 . , 得1 ? 3 ? ? an ? an?1 a n a n ?1

解:原条件变形为 an?1 ? an ? 3 ? an?1 ? an . 两边同乘以

∵( 3

1 1 1 1 1 1 ? )? ? ,? ? ? 3n?1 an 2 an?1 2 an 2
2 . 2 ? 3 n ?1 ? 1

∴ an ?

7、复合数列构成等差、等比数列法 数列有形如 f (an?2,an?1 , an ) ? 0 的关系,可把复合数列化为等差数列或等比数列,再 用其它初等方法求得 a n . 例 13.在数列 {an } 中, a1 ? 2, a2 ? 3, an?2 ? 3 ? an?1 ? 2 ? an , 求 a n . 解:由条件 an?2 ? 3 ? an?1 ? 2 ? an , ∴ an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ), ∴ an?2 ? an?1 ? 2 n?1. 再用累加加法可得: a n ? a 2 ? 8、循环法 数列有形如 f (an?2,an?1 , an ) ? 0 的关系,如果复合数列构不成等差、等比数列,有时 可考虑构成循环关系而求出 a n . 例 14.在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an , 求a1998. 解:由条件 a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ? 1 ? (a n ? 1 ? a n ) ? a n ? 1 ? ?a n , 即 an?3 ? ?an ,? an?6 ? ?an?3 ? an , 即每间隔 6 项循环一次.1998=6×333,∴ a1998 ? a6 ? ?4. 9、开方法 对有些数列,可先求 a n 或3 a n , 再求 a n . 例 15.有两个数列 {an }, {bn }, 它们的每一项都是正整数,且对任意自然数 n, a n 、 bn 、

2 2 (1 ? 2 n ?2 ) ? 2 n ? 1. 1? 2

a n?1 成等差数列, bn 、 a n?1 、 bn ?1 成等比数列, a1 ? 1, a2 ? 3, b1 ? 2, 求an 和bn .
解: 2bn=an+an+1,① a2n+1=bn· bn+1.②

由条件有:

,由②式得: an ?

bn?1 ? bn , ③

an?1 ? bn ? bn?1 . ④ , 把 ③ 、 ④ 代 入 ① 得 : 2bn ? bn?1 ? bn ? bn ? bn?1 , 变 形 得 bn ( bn ? bn?1 ) ? b( bn?1 ? bn ).∵ bn >0,∴ bn - bn?1 ? bn?1 ? bn .∴ n
9 bn 是等差数列 . 因 a1 ? 1, a2 ? 3, b1 ? 2, 故b2 ? , 2
∴ bn ? n 2 , bn ? 2n 2 , 故 an ?

故 b2 ? b1 ?

9 ? 2 ? 2, 2

bn bn?1 ? 2n(n ? 1).
总计完毕

参考文献 [1] 刘强.考点大观[M].北京:北京出版社.2007. [2] 常伟.高考模拟题汇编[M]. 内蒙古:内蒙古大学出版社.2010,342-348. [3] 买买提依明.阿布都热依木.高考总复习数学[M]. 乌鲁木齐:新疆美术摄影出版社.2012, 170-173. [4] 郭慧清,秦玲玲.同步练习册,数学必修 5[M]. 北京:人民教育出版社.2014,16-18.

Solving skills of the general term formula of sequence
Aini Usta
1

,Mussajan tursun

2

(The First Middil School of Atux, Atux 845350) Abstract: Sequence is an important part of high school mathematics, especially in real life application is very wide. In order to solve the problem, the article summarized the method of solving the problem of the general formula of the sequence of numbers.. Keywords:Sequence,General term formula , recursion formula.


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