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第4章--空间两点间的距离公式

时间:2016-11-29


4.3.2 空间两点间的距离公式

重点

空间两点的距离公式
2 2 2

1.空间两点距离公式:设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

则|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2? +?z1-z2? .
2.中点坐标公式:设 A(x1,y1,z1),B(x2

,y2,z2),
?x1+x2 y1+y2 z1+z2? ?. 则 AB 的中点 M 的坐标是? , , 2 2 ? ? 2

两点间的距离公式

例 1:已知两点 P (1,0,1) 与 Q (4,3,-1). (1)求 P、Q 之间的距离; (2)求 z 轴上的一点 M,使|MP|=|MQ|.
解:(1)|PQ|= ?1-4?2+?0-3?2+?1+1?2= 22. (2)设 M 点的坐标为(0,0,z), 则|MP|= 1 +0 +?z-1? , |MQ|= ?4-0?2+?3-0?2+?-1-z?2, 又|MP|=|MQ|, 故 1+(z-1)2=16+9+(z+1)2,解得 z=-6, ∴M 点的坐标为(0,0,-6).
2 2 2

1-1.求到两定点 A(2,3,0),B(5,1,0)的距离 相等的点的坐标(x,y,z)满足的条件.
解:设 P(x,y,z)为满足条件的任一点, 则由题意得

|PA|= ?x-2?2+?y-3?2+?z-0?2, |PB|= ?x-5?2+?y-1?2+?z-0?2.
∵|PA |=|PB|, ∴6x-4y-13=0 即为所求点所满足的条件.

空间两点间距离公式的应用 例 2:在 xOy 平面内的直线 x+y=1 上确定 一点 M,使 M到点 N(6,5,1)的距离最小.
解:由已知,可设 M(x,1-x,0),

则|MN|= ?x-6? +?1-x-5? +?0-1? = 2?x-1? +51. ∴|MN|min= 51.
2

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2-1.已知空间三点 A(0,0,3), B(4,0,0), C(4,5,0), 求三角形的周长.

解:∵A(0,0,3),B(4,0,0),C(4,5,0), ∴|AB|= ?0-4? +0 +?3-0? =5, |BC|= ?4-4? +?0-5? +0 =5, |AC|= ?0-4? +?0-5? +?3-0? =5 2, ∴三角形的周长为 10+5 2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2-2.已知 A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),

求|AB|的最小值.

解 : |AB| = ?1-m-2? +?1-m-m? +?m-m? = 5m -2m+2=
2

2

2

2

? 1?2 9 5?m-5? +5. ? ?

1 3 5 ∴当 m=5时,|AB|取得最小值 5 .

2-3.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为

A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4), 请判断△ABC 的形状.

解:|AB|= ?4-1? +?2+2? +?3-11? = 89, |AC|= ?1-6? +?-2+1? +?11-4? = 75, |BC|= ?4-6? +?2+1? +?3-4? = 14, ∵|AC| +|BC| =|AB| ,∴△ABC 为直角三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

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空间直角坐标系的应用 例 3 如图,正方体边长为 1,以正方体的三条棱所 在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系 Oxyz, 点 P 在正方体的对角线 AB 上,点 Q 在正方体的 棱 CD 上.

图1

(1)当点 P 为对角线 AB 中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,求|PQ|的最小值;
?1 1 1? 解:(1)依题意 P?2,2,2?,设点 Q(0,1,z), ? ?

则|PQ|= =

?1?2 ?1 ?2 ?1 ?2 ? ? +? -1? +? -z? ?2? ?2 ? ?2 ?

? 1?2 1 ?z- ? + . ? 2? 2

1 2 ∴当 z=2时,|PQ|min= 2 , 1 此时 Q(0,1,2),Q 恰为 CD 的中点.

(2)当点 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在对角 线 AB 上运动时,求|PQ|的最小值.
1 (2)依题意 Q(0,1,2),设 P(x,x,z), 则|PQ|= = x +?x-1?
2 2

? 1?2 +?z-2? ? ?

? 1?2 ? 1?2 1 2?x-2? +?z-2? +2. ? ? ? ?

1 2 ∴当 x=z=2时,|PQ|min= 2 , 此时 P
?1 1 1? 点坐标为?2,2,2?,P ? ?

恰为 AB 的中点.

3-1.正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1, 而且平面 ABCD和平面 ABEF 互相垂直, 点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动, 若 CM=BN=a(0<a< ). (1)求 MN 的长; (2)a 为何值时,MN 的长最小?


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