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北京市西城区2013年高三一模文科数学试卷


北京市西城区 2013 年高三一模试卷

数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2013.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.已知全集 U ? {x ? Z | | x | ? 5} ,集合 A ? {

?2,1,3, 4} , B ? {0, 2, 4} ,那么 A ? ?U B ? (A) {?2,1, 4} (B) {?2,1,3} (C) {0, 2} (D) {?2,1,3, 4}

2.复数

?1 ? i ? i
(B) ? 1 ? i (C) ? 1 ? i (D)1 ? i

(A) 1 ? i

3.执行如图所示的程序框图.若输出 y ? ? 3 ,则输入 角? ? (A)

π 6 π 6

(B) ? (C)

π 3 π 3

(D) ?

4.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 0 .若 S2 ? 2a3 ,则 q 的取值范围是

1 2 1 (C) (??, ?1) ? ( , ??) 2
(A) ( ?1, 0) ? (0, )

(B) (? , 0) ? (0,1) (D) (??, ? ) ? (1, ??)

1 2

1 2

第 1 页 共 11 页

5.某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主) 视图是边长为 2 的正方形,该正三棱柱的表 面积是 (A) 6 ? 3 (C) 12 ? 2 3 (B) 12 ? 3 (D) 24 ? 2 3

? x ? 1 ? 0, ? 6.设实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 y ? 4 x 的最大值是 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A) ?4 (B) ?

1 2

(C) 4

(D) 7

7.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,则“ c ? 0 ”是“ ?x0 ?R ,使 f ( x0 ) ? 0 ”的
2

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

8.如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是棱 B1C1 的 1 中点,动点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1 ? A1E ,则 点 P 运动形成的图形是

(A)线段 (C)椭圆的一部分

(B)圆弧 (D)抛物线的一部分

第 2 页 共 11 页

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知向量 i ? (1, 0) , j ? (0,1) .若向量 i ? ? j 与 ? i ? j 垂直,则实数 ? ? ______.

10.已知函数 f ( x ) ? ?

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0,

则 f ( ) ? f ( ?2) ? ______.

1 4

11.抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程是______;该抛物线的焦点为 F ,点 M ( x0 , y0 ) 在此抛物线上,且

MF ?

5 ,则 x0 ? ______. 2

12.某厂对一批元件进行抽样检测.经统计,这批元件 的长度数据 (单位: mm )全部介于 93 至 105 之间.

95) 将长度数据以 2 为组距分成以下 6 组: [93, , [95, ) , [97, , [99, 97 99) 101) , [101, 103) ,
[103,105] ,得到如图所示的频率分布直方图.若长
度在 [97,103) 内的元件为合格品,根据频率分布直 方图,估计这批产品的合格率是_____.

13.在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边边长分别为 a , b , c ,且 则△ ABC 的面积是______.

cos A b 3 ? ? .若 c ? 10 , cos B a 4

? an an是偶数, ? , 14.已知数列 {an } 的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn .若 an ?1 ? ? 2 且 S3 ? 29 , ?3an ? 1, an是奇数, ?
则 a1 ? ______; S3n ? ______.

第 3 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2sin 2 x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

3π . 4

16. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD , AC ? 3 ,

AB ? 2 BC ? 2 , AC ? FB .
(Ⅰ )求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ )求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M ,使 EA //平面 FDM ? 证明你的结论.

17. (本小题满分 13 分) 某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二人在该商区临时 停车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲 3 12

第 4 页 共 11 页

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f (x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点,线段 AB 的中 4 3

点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点. (Ⅰ)若点 G 的横坐标为 ?

1 ,求直线 AB 的斜率; 4

(Ⅱ)记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面 积为 S2 .试问:是否存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ?说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,?, xn ), xi ? N* , i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) . 对于 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) ? Sn ,定义 AB ? (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?, bn ? an ) ;

??? ?

? (a1, a2 ,?, an ) ? (?a1, ?a2 ,?, ?an ) (? ?R) ; A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1

n

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2,5) , B ? (2, 4, 2,1,3) ,求 d ( A, B) ; (Ⅱ)证明:若 A, B, C ? Sn ,且 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,则 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? S20 .若 A , B ? S20 ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? 13 ,求 d (A,B) 的最大值.

??? ?

??? ?

第 5 页 共 11 页

北京市西城区 2013 年高三一模试卷

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2013.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. B; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.A; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 10. ?

9. 0 ; 12. 80% ;

7 ; 4

11. x ? ?

1 ,2 ; 2

13. 24 ;

14. 5 , 7n ? 22 .

注:11、14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,得 f (

3π ) ? 0, 4

??????1 分

即 sin

3π 3π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

??????3 分 ??????5 分 ??????6 分

解得 a ? 1 . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2sin 2 x ? (sin x ? cos x)2 ? 2sin 2 x
?sin x? 2 c ox 2 s
??????8 分 ??????10 分

π ? 2 sin(2 x ? ) . 4 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 4 2 3π π ? x ? kπ ? , k ? Z . 得 kπ ? 8 8 3π π , kπ ? ] , k ? Z . 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [kπ ? 8 8

??????12 分 ??????13 分

第 6 页 共 11 页

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在△ ABC 中, 因为 AC ? 3 , AB ? 2 , BC ? 1 , 所以 AC ? BC . 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC . ??????4 分 ??????2 分

(Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD . 在等腰梯形 ABCD 中可得 CB ? DC ? 1 ,所以 FC ? 1 . 所以△ BCD 的面积为 S ? ??????6 分

3 . 4 1 3 . S ? FC ? 3 12

??????7 分

所以四面体 FBCD 的体积为: VF ? BCD ?

??????9 分

(Ⅲ)解:线段 AC 上存在点 M ,且 M 为 AC 中点时,有 EA // 平面 FDM ,证明如下: ??????10 分 连结 CE ,与 DF 交于点 N ,连接 MN . 因为 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 中点. 所以 EA // MN . 因为 MN ? 平面 FDM , EA ? 平面 FDM , 所以 EA //平面 FDM . 所以线段 AC 上存在点 M ,使得 EA //平面 FDM 成立. ??????14 分 ??????11 分 ??????12 分 ??????13 分

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A , 则 P ( A) ? 1 ? ( ? ??????1 分

1 5 1 )? . 3 12 4 1 . 4
??????4 分 ??????6 分

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是

(Ⅱ)解:设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 . 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:

第 7 页 共 11 页

(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22), (22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共 16 种情形.
其中, (6,30),(14, 22),(22,14),(30,6) 这 4 种情形符合题意. 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ? ??????10 分 ??????12 分 ??????13 分

4 1 ? . 16 4

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 R , 且 f ?( x) ? e x ? a . ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ,故 f ( x ) 在 R 上单调递增. 从而 f (x) 没有极大值,也没有极小值. ② 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) . ??????4 分 ??????2 分

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)
(??, ln(?a))
ln(?a)
(ln(?a), ? ?)

?

0

?




故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ln(?a)) ;单调增区间为 (ln(?a), ? ?) . 从而 f (x) 的极小值为 f (ln(?a)) ? ?a ? a ln(?a) ;没有极大值. (Ⅱ)解: g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 g ?( x ) ? a ? ??????6 分 ??????8 分

1 ax ? 1 ? . x x

③ 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 R 上单调递增, g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意. ??????9 分 ④ 当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减. 当 ?1 ? a ? 0 时,ln( ?a) ? 0 , 此时 f ( x ) 在 (ln(?a), ? ?) 上单调递增, 由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,不合题意. ??????11 分

当 a ? ?1 时, ln(?a) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (??, ln(?a)) 上单调递减,由于 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上 单调递减,符合题意. 综上,a 的取值范围是 (??, ?1) . ??????13 分

第 8 页 共 11 页

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? k ( x ? 1) . ??????1 分

将其代入

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . 4 3 ?8k 2 . 4k 2 ? 3

??????3 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x2 ?

??????4 分

故点 G 的横坐标为

x1 ? x2 ?4k 2 ? 2 . 2 4k ? 3
??????6 分

依题意,得 解得 k ? ?

?4k 2 1 ?? , 2 4k ? 3 4
1 . 2

??????7 分

(Ⅱ)解:假设存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ,显然直线 AB 不能与 x, y 轴垂直.

?4k 2 3k , 2 ). 由(Ⅰ)可得 G ( 2 4k ? 3 4 k ? 3
因为 DG ? AB ,

??????8 分

3k 4k 2 ? 3 ? k ? ?1, 所以 ?4k 2 ? xD 4k 2 ? 3
?k 2 ?k 2 , 0) . 解得 xD ? , 即 D( 2 4k 2 ? 3 4k ? 3
因为 △ GFD ∽△ OED , 所以 S1 ? S2 ? | GD | ? | OD | . 所以 ??????11 分 ??????10 分

(

?k 2 ?4k 2 2 3k 2 ?k 2 ? 2 ) ?( 2 ) ? , 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k 2 ? 3
2

??????12 分

整理得 8k ? 9 ? 0 . 因为此方程无解, 所以不存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 .

??????13 分

??????14 分

第 9 页 共 11 页

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 d ( A, B) ?

?| a ? b | ,
i ?1 i i

5

得 d ( A, B) ? |1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? |1 ? 2 | ? | 2 ?1| ? | 5 ? 3| ? 7 , 所以 d ( A, B) ? 7 . (Ⅱ)证明:设 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) , C ? (c1 , c2 ,?, cn ) . 因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC , 所以 ?? ? 0 ,使得 (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?,bn ? an ) ? ? ((c1 ? b1, c2 ? b2 ,?,cn ? bn ) , 所以 ?? ? 0 ,使得 bi ? ai ? ? (ci ? bi ) ,其中 i ? 1, 2,?, n . 所以 bi ? ai 与 ci ? bi (i ? 1, 2,?, n) 同为非负数或同为负数. 所以 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? ??????6 分 ??????3 分

??? ?

??? ?

? | a ? b | ??| b ? c |
i ?1 n i i i ?1 i i i ?1

n

n

? ? (| bi ? ai | ? | ci ? bi |) ? ? | ci ? ai | ? d ( A, C ) .
i ?1 n

??????8 分

(Ⅲ)解法一: d ( A, B) ?

?| b ? a | .
i ?1 i i

20

设 bi ? ai (i ? 1, 2,?, 20) 中 有 m (m ? 2 0 ) 为 非 负 数 , 20 ? m 项 为 负 数 . 不 妨 设 项

i ? 1, 2,?, m 时 bi ? ai ? 0 ; i ? m ? 1, m ? 2,?, 20 时, bi ? ai ? 0 .
所以 d ( A, B) ?

?| b ? a |
i ?1 i i

20

? [(b1 ? b2 ? ?? bm ) ? (a1 ? a2 ? ?? am )] ? [(am?1 ? am?2 ? ?? a20 ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? b20 )]
因为 d ( I , A) ? d ( I , B) ? 13 , 所以

? (ai ?1) ? ? (bi ?1) , 整理得
i ?1 i ?1

20

20

? ai ? ? bi .
i ?1 i ?1

20

20

所以 d ( A, B) ?

?| b ? a |? 2[b ? b
i ?1 i i 1

20

2

? ? ? bm ? (a1 ? a2 ? ? ? am )] .?????10 分

第 10 页 共 11 页

因为 b1 ? b2 ? ?? bm ? (b1 ? b2 ? ?? b20 ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ?? b20 )

? (13 ? 20) ? (20 ? m) ?1 ? 13 ? m ;
又 a1 ? a2 ? ?? am ? m ?1 ? m , 所以 d ( A, B) ? 2[b1 ? b2 ? ?? bm ? (a1 ? a2 ? ?? am )]

? 2[(13 ? m) ? m] ? 26 .
即 d ( A, B) ? 26 . ?????12 分

对于 A ? (1,1,?,1,14) , B ? (14,1,1,?,1) ,有 A , B ? S20 ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? 13 ,

d ( A, B) ? 26 .
综上, d ( A, B) 的最大值为 26 . 解法二:首先证明如下引理:设 x, y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | , 即 | x ? y | ?| x | ? | y | . 所以 d ( A, B) ? ?????13 分

?| bi ? ai | ? ?| (bi ?1) ? (1 ? ai ) |
i ?1 i ?1

20

20

? ? (| bi ? 1| ? |1 ? ai |)
i ?1 20

20

? ? | ai ? 1| ? ? | bi ? 1| ? 26 .
i ?1 i ?1

20

?????11 分 ?????12 分

上式等号成立的条件为 ai ? 1 ,或 bi ? 1 ,所以 d ( A, B) ? 26 .

对于 A ? (1,1,?,1,14) , B ? (14,1,1,?,1) ,有 A , B ? S20 ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ? 13 ,

d ( A, B) ? 26 .
综上, d ( A, B) 的最大值为 26 . ?????13 分

第 11 页 共 11 页


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