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江西省吉安市安福二中2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试卷


2015-2016 学年江西省吉安市安福二中高二(上)第一次月考数学试卷

一、选择题(第小题 5 分,共 60 分) 1.如果 a<b<0,那么下面一定成立的是( A.a﹣b>0 B.ac<bc C. D.a >b
2 2

)

2.在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 中,x 等于( A.

11 B.12 C.13 D.14

)

3.已知 x,y 的取值如下表所示: x y 2 6 3 4 4 5 ,则 b=( )

如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为 A. B. C. D.

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=( A.7

)

B.8 C.15 D.16

5.不等式 A.{x|x<﹣2,或 x>3}

的解集为(

)

B.{x|x<﹣2,或 1<x<3} C.{x|﹣2<x<1,或 x>3} D.{x|﹣2<x<1,或 1<x<3}

6.已知 x,y 为正数,且 x+y=2,则 + 的最小值为( A.2 B. + C. D.2﹣

)

7.若变量 x,y 满足约束条件 A.7 B.8 C.10 D.11

,则 z=2x+y 的最大值等于(

)

8.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值为(

)

A.4 B.5 C.6 D.7

9.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 acosA=bcosB,那么△ABC 的形状 一定是 ( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形

10.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在 甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45°、30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙 两地连线所成的角为 120°, 甲、 乙两地相距 500 米, 则电视塔在这次测量中的高度是( )

A.100



B.400 米 C.200 D.500 米 米

11.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区 间的人做问卷 A,编号落入区间的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( A.7 B.9 C.10 D.15 )

12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S20>0,S21<0,则 的项为( A. )

中最大

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn, ,则其公比为__________.

14.已知直角三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,在∠CAB 内作射线 AM,则∠CAM<45°的 概率为__________.

15.△ABC 中,三边 a,b,c 所对角依次为 A,B,C,则





=__________.

16.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,关于数列{an}有下列三个命题: ①若{an}既是等差数列又是等比数列,则 ②若 ,则{an}是等差数列; ;

③若 Sn=2﹣2an,则{an}是等比数列. 这些命题中,真命题的序号是__________.

三、解答题 17.我校高三年级进行了一次水平测试.用系统抽样的方法抽取了 50 名学生的数学成绩,准 备进行分析和研究.经统计成绩的分组及各组的频数如下: ,8. (Ⅰ)完成样本的频率分布表;画出频率分布直方图. (Ⅱ)估计成绩在 85 分以下的学生比例; (Ⅲ)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数. (精确到 0.01) (Ⅰ)频率分布表

分组

频数 频率 8

合计

50

18.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m, 将球放回袋中, 然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率.

19.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= (1)求 A; (2)若 a= ,△ABC 的面积为 ,求 b,c.

asinC+ccosA.

20.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数 列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和.

21.已知二次函数 f(x)=4x ﹣2(p﹣2)x﹣2p ﹣p+1 (1)若 f(0)>0,求实数 p 的取值范围 (2)在区间内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围.

2

2

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +2n, (1)求数列{an}的通项公式;

2

(2)令 bn=

,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn;

(3)若数列{cn}满足条件:cn+1=acn+2 ,又 c1=3,是否存在实数 λ ,使得数列{ 数列?

n

}为等差

2015-2016 学年江西省吉安市安福二中高二(上)第一次月考数学试卷

一、选择题(第小题 5 分,共 60 分) 1.如果 a<b<0,那么下面一定成立的是( A.a﹣b>0 B.ac<bc C. D.a >b
2 2

)

考点:不等式比较大小. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵a<b<0, ∴﹣a>﹣b>0, ∴a >b . 故选:D. 点评:本题考查了不等式的性质,属于基础题.
2 2

2.在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 中,x 等于( A.11 B.12 C.13

)

D.14 考点:数列的概念及简单表示法. 专题:计算题. 分析:从已知数列观察出特点:从第三项开始每一项是前两项的和即可求解 解答: 解:∵数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 设数列为{an} ∴an=an﹣1+an﹣2 (n>3) ∴x=a7=a5+a6=5+8=13 故选 C 点评:本题考查了数列的概念及简单表示法,是斐波那契数列,属于基础题.

3.已知 x,y 的取值如下表所示: x y 2 6 3 4 4 5 ,则 b=( )

如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为 A. B. C. D. 考点:线性回归方程. 专题:计算题.

分析:估计条件中所给的三组数据,求出样本中心点,因为所给的回归方程只有 b 需要求出, 利用待定系数法求出 b 的值,得到结果. 解答: 解:∵线性回归方程为 又∵线性回归方程过样本中心点, , ∴回归方程过点(3,5) ∴5=3b+ , ,

∴b=﹣ 故选 A. 点评:本题考查线性回归方程,考查样本中心点满足回归方程,考查待定系数法求字母系数, 是一个基础题,这种题目一旦出现是一个必得分题目.

4.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=( A.7 B.8 C.15 D.16 考点:等差数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题:计算题.

)

分析:先根据“4a1,2a2,a3 成等差数列”和等差中项的性质得到 3 者的关系式,然后根据等 比数列的性质用 a1、q 表示出来代入以上关系式,进而可求出 q 的值,最后根据等比数列的前 n 项和公式可得到答案. 解答: 解:∵4a1,2a2,a3 成等差数列 ∴ ,

∴ ∴q=2 ∴S4= 故选 C =

,即

=15

点评:本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质.属基础题.

5.不等式 A.{x|x<﹣2,或 x>3}

的解集为(

)

B.{x|x<﹣2,或 1<x<3}

C.{x|﹣2<x<1,或 x>3} D.{x|﹣2<x<1,或 1<x<3} 考点:一元二次不等式的解法. 专题:计算题. 分析:解 ,可转化成 f(x)?g(x)>0,再利用根轴法进行求解.

解答: 解:

?

?(x﹣3) (x+2) (x﹣1)>0

利用数轴穿根法解得﹣2<x<1 或 x>3, 故选:C. 点评:本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法,属于不等式的基础题.

6.已知 x,y 为正数,且 x+y=2,则 + 的最小值为( A.2 B. + C. D.2﹣ 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:把 x+y=2 变形为

)

,代入 + 后展开,然后利用基本不等式求最值. , . 时上式“=”成立.

解答: 解:∵x,y 为正数,且 x+y=2,则 ∴ + =( 当且仅当 故选:B. ) ( + )=1+ +

点评:本题考查基本不等式,训练了利用基本不等式求最值,利用基本不等式求函数最值要注 意:“一正、二定、三相等”,是基础题.

7.若变量 x,y 满足约束条件 A.7 B.8 C.10 D.11 考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用.

,则 z=2x+y 的最大值等于(

)

分析:作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 B(4,2)时, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大,此时 z 最大,此时 z=2×4+2=10, 故选:C 点评:本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.

8.执行如图所示的程序框图,则输出的 k 的值为(

)

A.4 B.5 C.6 D.7 考点:程序框图. 专题:计算题;规律型;算法和程序框图. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是 输出输出不满足条件 S=0+1+2+8+?<100 时,k+1 的值. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知:该程序的作用是: 输出不满足条件 S=0+1+2+8+?<100 时,k+1 的值. 第一次运行:满足条件,s=1,k=1; 第二次运行:满足条件,s=3,k=2; 第三次运行:满足条件,s=11<100,k=3;满足判断框的条件,继续运行, 第四次运行:s=1+2+8+2 >100,k=4,不满足判断框的条件,退出循环. 故最后输出 k 的值为 4. 故选:A. 点评:本题考查根据流程图(或伪代码)输出程序的运行结果.这是算法这一模块最重要的题 型,其处理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的
11

类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分 析管理)? ②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.

9.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且满足 acosA=bcosB,那么△ABC 的形状 一定是 ( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 考点:正弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析:根据正弦定理把等式 acosA=bcosB 的边换成角的正弦,再利用倍角公式化简整理得 sin2A=sin2B,进而推断 A=B,或 A+B=90°答案可得. 解答: 解:根据正弦定理可知∵bcosB=acosA, ∴sinBcosB=sinAcosA ∴sin2A=sin2B ∴A=B,或 2A+2B=180°即 A+B=90°, 即有△ABC 为等腰或直角三角形. 故选 C. 点评:本题主要考查了正弦定理的应用,考查二倍角公式及诱导公式的运用,考查计算能力, 属基础题.

10.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在 甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45°、30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙 两地连线所成的角为 120°, 甲、 乙两地相距 500 米, 则电视塔在这次测量中的高度是( )

A.100



B.400 米 C.200 D.500 米 考点:解三角形的实际应用. 专题:应用题;解三角形. 分析:先求出 BC,BD,再在△BCD 中,由余弦定理可得结论. 解答: 解:设塔高 AB=hm,在 Rt△ABC 中, 由已知 BC=hm,在 Rt△ABD 中,由已知 BD= 在△BCD 中, 由余弦定理可得 3h =h +500 ﹣2h?500?cos120°, 即 h ﹣250h﹣125000=0, 解得 h=500(m) (负值舍去) . 故选 D. 点评:本题考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,正确运用余弦定理是关键.
2 2 2 2



hm,

11.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区 间的人做问卷 A,编号落入区间的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( A.7 B.9 C.10 D.15 考点:系统抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的等差数列,求得此等差数列的 通项公式为 an=9+(n﹣1)30=30n﹣21,由 451≤30n﹣21≤750 求得正整数 n 的个数. 解答: 解:960÷32=30,故由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的等差数 列,且此等差数列的通项公式为 an=9+(n﹣1)30=30n﹣21. 由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7. )

再由 n 为正整数可得 16≤n≤25,且 n∈z,故做问卷 B 的人数为 10, 故选:C. 点评:本题主要考查等差数列的通项公式,系统抽样的定义和方法,属于基础题.

12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S20>0,S21<0,则 的项为( A. )

中最大

B.

C.

D. 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的性质和求和公式易得 a10+a11>0 且 a11<0,可得 n≤10 时,S10 最大,而 a10 最小,故 最大.

解答: 解:由题意显然公差 d<0, ∵S20= =10(a1+a20)>0,

∴a1+a20>0,∴a10+a11>0; 同理由 S21<0 可得 a1+a21<0,∴a11<0, 结合 a10+a11>0 可得 a10>0, ∴n≤10 时,S10 最大,而 a10 最小,故 故选:C 点评:本题考查等差数列的求和公式和性质,属基础题. 最大.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn, ,则其公比为 或 3.

考点:等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意可得公比 q 的一元二次方程,解方程可得. 解答: 解:由题意设等比数列{an}的公比为 q, ∵ ,∴a1+a2+a3= a2,

∴a1+a3= ∴1+q =
2

a2,∴a1+a1q =

2

a1q

q,解方程可得 q= 或 q=3

故答案为: 或 3. 点评:本题考查等比数列的求和公式,属基础题.

14.已知直角三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,在∠CAB 内作射线 AM,则∠CAM<45°的 概率为 .

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 由于过 A 在三角形内作射线 AM 交线段 BC 于 M, 故可以认为所有可能结果的区域为∠CAB, 以角度为“测度”来计算. 解答: 解:在∠CAB 内作射线 AM,所有可能结果的区域为∠BAC, ∴∠CAM<45°的概率为 故答案为: . 点评:在利用几何概型的概率公式来求其概率时,几何“测度”可以是长度、面积、体积、角 度等,其中对于几何度量为长度,面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域 Ω 上任置 = .

都是等可能的,而对于角度而言,则是过角的顶点的一条射线落在 Ω 的区域(事实也是角) 任一位置是等可能的.

15.△ABC 中,三边 a,b,c 所对角依次为 A,B,C,则





=0.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析:由正弦定理可得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入已知即可求解. 解答: 解: 由正弦定理可得: ∴ ﹣ ﹣ =10R﹣6R﹣4R=0. , 可得: a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC,

故答案为:0. 点评:本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.

16.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,关于数列{an}有下列三个命题: ①若{an}既是等差数列又是等比数列,则 ②若 ,则{an}是等差数列; ;

③若 Sn=2﹣2an,则{an}是等比数列. 这些命题中,真命题的序号是①,②,③.

考点:命题的真假判断与应用. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用前 n 项和公式求解通项公式,并验证 n=1 时,是否适合,n=1 时∵a1=s1;n>1 时, an=sn﹣sn﹣1,再根据等差、等比数列定义判断. 解答: 解:∵数列{an}既是等差又是等比,an+1﹣an=d, 是常数,∴an 为常数,∴①√; ∵a1=s1=a+b,n>1,an=sn﹣sn﹣1=2an﹣a+b,∴n≥1,an=2an﹣a+b, ∵an+1﹣an=2a(n+1)﹣a+b﹣2an+a﹣b=2a(常数) ,∴{an}为等差数列,②√; =q,∵ =1+ =q,d、q 都

∵a1=s1= ,a1+a2=2﹣2a2? a2= ,∴

= ,当 n>1 时,an=sn﹣sn﹣1=2﹣2an﹣2+2an﹣1, ∴3an=2an

﹣1

?

= ∴{an}为等比数列,③√

故答案是①②③ 点评:本题考查等差数列、等比数列的判断与证明,利用前 n 项和求解通项公式时,要验证 n=1 时是否适合.

三、解答题 17.我校高三年级进行了一次水平测试.用系统抽样的方法抽取了 50 名学生的数学成绩,准 备进行分析和研究.经统计成绩的分组及各组的频数如下: ,8. (Ⅰ)完成样本的频率分布表;画出频率分布直方图. (Ⅱ)估计成绩在 85 分以下的学生比例; (Ⅲ)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数. (精确到 0.01) (Ⅰ)频率分布表

分组

频数 频率 8

合计

50

考点:用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 专题:图表型. 分析: (I)由统计成绩的分组及各组的频数分别求解各组的频率,完成上表; (II)根据组距,频率,直接画出频率分布直方图; (II)根据众数、中位数、平均数的概念计算;由成绩表即可得出各年级的成绩的平均数、众 数及中位数; 根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标, 中位数是把频率分 布直方图分成两个面积相等部分的平行于 Y 轴的直线横坐标进行解题即可, 利用各个小矩形的 面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数. 解答: 解: (Ⅰ)频率分布表

分组

频数 8

频率 0.16 1

合计

50

画频率分布直方图:

(Ⅱ)成绩在 85 分以下的学生比例:72% (Ⅲ)众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标, ∴中间的一个矩形最高,故 70 与 80 的中点是 75,众数是 75; 而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于 Y 轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是 0.04,第二个矩形的面积是 0.06,第三个矩形的面积是 0.2,最后二个 矩形的面积和是 0.4,故将第四个矩形分成 4:3 即可,∴中位数是 76.67; 所有的数据的平均数为 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+65×0.16=76.2. 故众数为 75、中位数约为 76.67、平均数为 76.2.

点评:此题较为全面的考查了频数、频率、平均数、中位数等知识点以及对学生对从图形中获 取信息的能力.

18.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m, 将球放回袋中, 然后再从袋中随机取一个球, 该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率.

考点:互斥事件的概率加法公式;互斥事件与对立事件. 专题:概率与统计. 分析: (1)从袋中随机抽取两个球,可能的结果有 6 种,而取出的球的编号之和不大于 4 的 事件有两个,1 和 2,1 和 3,两种情况,求比值得到结果. (2)有放回的取球,根据分步计数原理可知有 16 种结果,满足条件的比较多不好列举,可以 从他的对立事件来做. 解答: 解: (1)从袋中随机抽取两个球,可能的结果有 6 种, 而取出的球的编号之和不大于 4 的事件有两个,1 和 2,1 和 3, ∴取出的球的编号之和不大于 4 的概率 P= (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中, 然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n, 所有(m,n)有 4×4=16 种, 而 n≥m+2 有 1 和 3,1 和 4,2 和 4 三种结果, ∴P=1﹣ = .

点评: 本小题主要考查古典概念、 对立事件的概率计算, 考查学生分析问题、 解决问题的能力. 能 判断一个试验是否是古典概型, 分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试 验中基本事件的总数.

19.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= (1)求 A; (2)若 a= ,△ABC 的面积为 ,求 b,c.

asinC+ccosA.

考点:余弦定理的应用. 专题:解三角形. 分析: (1)利用 c= asinC+ccosA 及正弦定理可知 sin(A+
2

)= ,进而可得结论;
2

(2)通过 S△ABC= bcsinA= bc=4 计算即得结论. 解答: 解: (1)由 c=

可知 bc=4,利用余弦定理可知 a +bc=(b+c) ,进而 a=



asinC+ccosA 及正弦定理得:

sinAsinC+cosAsinC﹣sinC=0, ∵sinC≠0, ∴sin(A+ )= ,

又 0<A<π , ∴ 故 A= A+ ; , ,

(2)∵S△ABC= bcsinA= ∴bc=4. ∵a =b +c ﹣2bccosA, ∴a +bc=(b+c) , 代入 a= ∴b=c=2.
2 2 2 2 2

、bc=4,解得:b+c=4,

点评:本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档题.

20.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数 列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和.

考点:数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列.

分析: (Ⅰ)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即得结论; (Ⅱ)利用分组求和法,有等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列的和. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d= = =3.

∴an=a1+(n﹣1)d=3n(n=1,2,?) , 设等比数列{bn﹣an}的公比为 q,则 q=
3

=

=8,∴q=2,
n﹣1

∴bn﹣an=(b1﹣a1)q ∴bn=3n+2
n﹣1

=2

n﹣1



(n=1,2,?) .
n﹣1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn=3n+2

(n=1,2,?) .
n﹣1

∵数列{an}的前 n 项和为 n(n+1) ,数列{2
n

}的前 n 项和为 1×

=2 ﹣1,

n

∴数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2 ﹣1. 点评: 本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用, 考查学生 的基本的运算能力,属基础题.

21.已知二次函数 f(x)=4x ﹣2(p﹣2)x﹣2p ﹣p+1 (1)若 f(0)>0,求实数 p 的取值范围 (2)在区间内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围.

2

2

考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(0)>0 得不等式,解出即可, (2)由于二次函数 f(x)=4x ﹣2(p﹣2)x﹣2p ﹣p+1 的图象是开口方向朝上的抛物线,故 二次函数 f(x)=4x ﹣2(p﹣2)x﹣2p ﹣p+1 在区间
2 2 2 2

内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0 的否定为对于区间内的任意一个 x 都有 f(x)≤0,即 f(﹣1) ,f(1)均小于等 0,由此可以构造一个关于 p 的不等式组,解不等式组即可求出实 数 p 的取值范围. 解答: 解: (1)由 f(0)>0, 得:﹣2p ﹣p+1>, 解得: ,
2

(2)解:二次函数 f(x)在区间内至少存在一个实数 c, 使 f(c)>0 的否定是: 对于区间内的任意一个 x 都有 f(x)≤0, ∴ 即 ,

整理得

,解得 p≥ ,或 p≤﹣3,

∴二次函数在区间内至少存在一个实数 c, 使 f(c)>0 的实数 p 的取值范围是(﹣3, ) . 点评: 本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系, 其中根据二次函数的图象 是开口方向朝上的抛物线,得到对于区间内的任意一个 x 都有 f(x)≤0 时, 是解答本题的关键.

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +2n, (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn;

2

(3)若数列{cn}满足条件:cn+1=acn+2 ,又 c1=3,是否存在实数 λ ,使得数列{ 数列?

n

}为等差

考点:数列的求和;等差关系的确定. 专题:等差数列与等比数列.

分析: (1)利用公式 (2) (3)假设存在这样的实数,满足条件,由

,能求出数列{an}的通项公式. , 由此利用裂项求和法能求出数列{bn}的前 n 项和. 成等差数列,求出 λ =1,

此时数列{

}是一个等差数列.
2

解答: 解: (1)∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n +2n, n=1 时,a1=S1=3, n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n +2n)﹣=2n+1, n=1 时也成立, ∴an=2n+1. (2) ∴ ,
2

=

= (3)

. ,即 ,

假设存在这样的实数,满足条件, 又 c1=1,c2=2c1+1+2=9, 成等差数列, 即 解得 λ =1,此时 = , ,

=

=

= ,

数列{ ∴λ =1.

}是一个等差数列,

点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,考查使数列为等差数列 的实数是否存在的判断与求法,解题时要注意裂项求和法的合理运用.


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