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高三数学 三角函数的图象(图象、一、二) 09.10.17

时间:2015-10-29


09.10.17 07 级数学 申请人:郭月改 3× 1700 打印人:X

三角函数的图象
一、 “五点法”和函数图像变换作 y ? Asin ??x ? ? ? 例 1:已知函数 y ? 3 sin

? A ? 0, ? ? 0? 的简图

二、根据图象求 y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式

例 2:已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) x ?R(其中 A ? 0, ? ? 0 )的图象在 y 轴右侧的第 一个最高点(函数取最大值的点)为 M (2, 2 2) ,与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N (6,0) , (1)求这个函数的解析式; (2)求函数的最小值,并写出函数取得最小值 时自变量 x 的集合。

x x ? cos ( x ? R ) 2 2

(1)用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅,周期及初相; (3)说明该函数的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到?

变式 2:如图,函数 y ? 2cos(? x ? ? ) ( x ? R , ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 的图象与 y 轴交于点

(0, 3) ,且该函数的最小正周期为 ? 。 (1)求 ? 和? 的值; ? ( 2 ) 已 知 点 A( , 0 ), 点 P 该 函 数 图 象 上 一 点 , 点 2
Q( x0 , y0 ) 是 PA 的中点,当 y0 ?
变式 1: (07,海南,3)如下图函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 在区间 [ ?

?
2

3 ? , x0 ? [ , ? ] 时,求 x0 的值。 2 2

, ? ] 的简图是(



三、三角函数图象的对称性

? ?? ? 变式 2:若将函数 y ? tan ? ? x ? ? ?? ? 0? 的图象向右平移 个单位长度后,与函 6 4? ?

例 3: y ? sin( x ? 的对称中心是

?
12

) cos( x ?

?
12

) ,则其最小正周期是


,离原点最近

,对称轴方程是

?? ? 数 y ? tan ? ? x ? ? 的图象重合,则 ? 的最小值为( 6? ?
1 A. 6 1 B. 4 1 C. 3



变式 1: 如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于在线 x ? ?

?
8

对称, 那么 a ?



1 D. 2

变式 2:如果函数 y ? 3cos ? 2x ? ? ? 的图象关于点 ? 小值为( A. ) B.

? 4? ? , 0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最 ? 3 ?

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

三角函数性质(一)
1、已知函数 f ? x ? ? ?1? cos2x ? sin2 x , x ?R,则 f ? x ? 是( A.最小正周期为 ? 的奇函数 ) B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

③函数 y ?| sin x | 的一个单调增区间是( A. ( ?



? ?

, ) 4 4

B. (

? 3

, ?) 4 4

C. (? , ? )

3 2

D. ( ? , 2? )

3 2

? C.最小正周期为 的奇函数 2

? 的偶函数 2
④函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 cos 2

变式 1: y ? 2 | sin(4 x ?

?
3

) | 的最小正周期



A. ( ,

? 2?
3 3

)

B. (

? ? , ) 6 2

x 的一个单调增区间( 2
C. (0, )

) D. ( ?

?

? ?

3

, ) 6 6

变式 2:若函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) 是奇函数,则 ? 的一个值为(

) ⑤已知函数 y ? tan ? x 在 ( ? A. 0 ? ? ? 1

? A. 4

B. ?

?
4

? C. 3

? D. 6

, ) 内是减函数,则( 4 2 B. ?1 ? ? ? 0 C. ? ? 1

? ?

) D. ? ? ?1

例 2、①函数 y ?

1 ? 2x sin( ? ) 的单调增区间 2 4 3



例 3:已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图象关于 点M(

3? ? , 0) 对称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 4 2

②函数 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? ,0]) 的单调递增区间是( A. ? ?? , ?



? ?

5? ? 6 ? ?

B. ? ?

? 5? ? ? ,? ? 6? ? 6

C. ? ?

? ? ? ,0 ? 3 ? ?

D. ? ?

? ? ? ,0 ? 6 ? ?

三角函数性质(二)
一、定义域问题 例 1:求函数 f ( x) ? log(1?2cos x ) (tan x ?1) 的定义域。

3、已知函数 f ( x) ? 2sin 2 (

?

? x) ? 3 cos 2 x, x ? [ , ] 。 4 4 2

? ?

(1)求 f ( x) 的最大值和最小值; (2)若不等式 | f ( x) ? m |? 2 在 x ? [

? ?

, ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围。 4 2

二、三角函数的值域 1 、 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ( ) A. [6, ??)

?? ? 0? 在区间 ? ??
3 B. [ , ??) 2

3 ?? ? , 上的最小值为- 2,则 ? 的范围是 ? 4 5? ?
C. [2, ??)

3 D. (0, ] 2

4、 y ? sin 2 x ? 2cos x ° ? ? ? , ? ? 上最小值为 ?

? 2 ? 3

? ?

1 ,则 ? 范围 4



2、当 ? 别是(

?
3

?x?


2? ? ? 时,函数 f ( x ) ? sin( ? x ) ? 3 sin( ? x )的最大值和最小值分 3 4 4 1 2

5、当 0 ? x ?

?
2

时,函数 f ? x ? ? B. 2 3

1 ? cos 2 x ? 8sin 2 x 的最小值为( sin 2 x
C.4 D. 4 3



A. 1, ?1

B. 1, ?

C. 2, ?1

D. 2,1

A.2


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