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高二数学选修2-1

时间:2015-06-06


选修 2-1、2-2. 2-3 知识点
选修 2-1 第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系 ① 四种命题相互间关系: ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件 p 是 q 的充要条件: p ? q p 是 q 的充分不必要条件: p ? q, q ? p p 是 q 的必要不充分条件: q ? p, p ? q p 是 q 的既充分不必要条件: p 靠 q,

q p

原命题 若p则q
互 互 否 互

互 逆 否 为 逆 为 逆 否 互 逆

逆命题 若q则p
互 否

逆否命题 若 ?q 则 ?p

逆否命题 若 ?q 则 ?p

3. 逻辑联结词 “或” “且” “非” 4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式(联系反证法的反设) ,主要是量词的变化. 例: “a=1”是“ ?x ? 0, 2 x ? A.充分不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.

a ? 1 ”的( x

) C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

B. 必要不充分条件

三种圆锥曲线的性质(以焦点在 x 轴为例) 椭圆 与两个定点的距离和等于 定义 常数 2a (2a ?| F 1F 2 |) 双曲线 与两个定点的距离差的绝对 值等于常数 抛物线

2a (2a ?| F1F2 |)
x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) a 2 b2

与一个定点和一条 定直线的距离相等

标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y 2 ? 2 px( p ? 0)

图形

顶点坐标 对称轴

(±a,0),(0,±b) x 轴,长轴长 2a y 轴,短轴长 2b (± a 2 ? b2 ,0)

(±a,0) x 轴,实轴长 2a y 轴,虚轴长 2b (± a 2 ? b2 ,0)

(0,0) x轴

焦点坐标

(

p ,0) 2
e=1

离心率

c a

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

c b2 e ? ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

准线

x??

a2 c

x??

a2 c

x??

p 2

渐近线

y??

b x a | PF |? x0 ? p 2

焦半径

| PF 1 |? a ? ex0 | PF2 |? a ? ex0
知二 求二

a,b,c,e,p

2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。如:(1)在求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥 曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个 焦点构成的焦点三角形问题时,常用定义结合解三角形(一般是余弦定理)的知识来解决;(3)在 求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用 几何意义去解决。 3. 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题, 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况: 相交、 相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程(注意在和双曲线和抛物线方 程联立时二次项系数是否为 0),直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 ? ? 0 、 ? ? 0、 ? ? 0. 应注意数形结合(例如双曲线中,利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的 位置关系) 常见方法:①联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等; ②点差法 (主要适用中点问题, 设而不求, 注意需检验, 化简依据:

x1 ? x2 y ?y y ?y ? 2 x0 , 1 2 ? 2 y0 , 2 1 ? k ) 2 2 x2 ? x1

(2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理来解决; (注意斜率是否存在) ① 直线具有斜率 k ,两个交点坐标分别为 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
2 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ? 1?

1 y1 ? y2 k2

② 直线斜率不存在,则 AB ? y1 ? y2 . (3)有关对称垂直问题,要注意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算。 考查三个方面:A 存在性(相交) ;B 中点;C 垂直( k1k2 ? ?1) 注: 1.圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练 掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。 2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数,用求值域的方法求范围; 二是建立不等式,通过解不等式求范围。 4.注意向量在解析几何中的应用(数量积解决垂直、距离、夹角等) (4)求曲线轨迹常见做法:定义法、直接法(步骤:建—设—现(限)—代—化) 、代入法(利 用动点与已知轨迹上动点之间的关系) 、点差法(适用求弦中点轨迹) 、参数法、交轨法等。 例 1.已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) , 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 (答: C) ; A.PF 1 ? PF 2 ? 4 B.PF 1 ? PF 2 ?6 C.PF 1 ? PF 2 ? 10 D.PF1
2

? PF2

2

? 12

例 2 已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ?F1 PF2 ? 60? ,

S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程(答:

x2 y 2 ? ?1) 4 12

例 3 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上,若由焦点到直线的距离为 3. (1)求椭圆分方程; (2)设椭圆与直线相交于不同的两点 M,N,当|AM|=|AN|时,求 m 的取值 范围。 (答:

x2 1 ? y 2 ? 1; m ? ( , 2) ) 3 2
2

例 4 过点 A(2,1)的直线与双曲线 x ? 方程。 第三章 空间向量与立体几何 1. 空间向量及其运算 ① ② ③

y2 ? 1 相交于两点 P1、P2,求线段 P1P2 中点的轨迹 2

a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 d?? ? ?? ?
, 共线向量定理: a / /b ? a ? ? b (b ? 0)

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

共面向量定理: p, a, b共面 ? p ? xa ? yb( x, y ? R) ; 四点共面 MP ? xMA ? yMB( x, y ? R)



空间向量基本定理 p ? xa ? yb ? zc( x, y, z ? R) (不共面的三个向量 a, b, c 构成一组基 底,任意两个向量都共面)

2. 平行: (直线的方向向量,平面的法向量) ( a, b 是 a,b 的方向向量, n 是平面 ? 的法向量) 线线平行: a / / b ? a / / b 线面平行: a / /? ? a ? n 或 a / / b , b ? ? 或 a ? xb ? yc(b , c 是 ? 内不共线向量) 面面平行: ? //? ? n1 / / n2 3. 垂直 线线垂直: a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 线面垂直: a ? ? ? a / / n 面面垂直: ? ? ? ? n1 ? n2 4. 夹角问题 线线角 或

a? b , a ? c ( , b是 c? 内不共线向量)

cos ? ?| cos ? a, b ?|?

? | a ?b | (注意异面直线夹角范围 0 ? ? ? ) 2 | a || b |
| a?n | | a || n |

线面角

sin ? ?| cos ? a, n ?|?

二面角

| cos ? |?| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | (一般步骤①求平面的法向量;②计算法向量夹角; | n1 || n2 |

③回答二面角(空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向) ,只需说明二面角大小,无 需说明理由) ) 5. 距离问题(一般是求点面距离,线面距离,面面距离转化为点到面的距离) P 到平面 ? 的距离 d ?

| PA ? n | (其中 A 是平面 ? 内任一点, n 为平面 ? 的法向量) |n|

6. 立体几何解题一般步骤 坐标法:①建系(选择两两垂直的直线,借助于已有的垂直关系构造) ;②写点坐标;③写向量 的坐标;④向量运算;⑤将向量形式的结果转化为最终结果。 基底法:①选择一组基底(一般是共起点的三个向量) ;②将向量用基底表示;③向量运算;④ 将向量形式的结果转化为最终结果。 几何法:作、证、求 异面直线夹角——平移直线(借助中位线平行四边形等平行线) ; 线面角——找准面的垂线,借助直角三角形的知识解决; 二面角——定义法作二面角,三垂线定理作二面角;作交线的垂面. 选修 2-2 第一章 导数及其应用 1. 平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0) ? ?x ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? lim ?x ?0 ?x
?x ? 0

2. 导数(或瞬时变化率) f ?( x0 ) ? lim 导函数(导数):

3. 导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f ? (x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的 斜率,即 k= f ? (x0). 应用:求切线方程,分清所给点是否为切点 4. 导数的运算: (1)几种常见函数的导数: ①(C)′=0(C 为常数); ②( x )′= ? x
?

? ?1

(x>0, ? ? Q );

③(sinx)′=cosx;

④(cosx)′=-sinx; ⑦ (ln x ) ?

⑤(ex)′=ex; ⑧ (log a x ) ?

⑥(ax)′=axlna(a>0,且 a≠1);

1 ; x

1 (a>0,且 a≠1). x ln a
②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);

(2)导数的运算法则: ①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x); ③[

u ( x) u?( x)v( x) ? u ( x) ? v?( x) ]? ? (v ( x ) ? ? 0) . v( x) v 2 ( x)

5. 设 函 数 u ? ? ( x) 在 点 x 处 有 导 数 u?x ? ??( x) , 函 数 y ? f (u ) 在 点 x 的 对 应 点 u 处 有 导 数

) 点 x 处 也 有 导 数 , 且 y'x ? y'u ?u'x y?u ? f ? ?u ? , 则 复 合 函 数 y ? f(? ( x) 在



f ?x (? ( x)) ? f ?(u) ? ??( x) 。复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以
中间变量对自变量的导数。 6. 定积分的概念,几何意义,区边图形的面积的积分形式表示,注意确定上方函数,下方函数的 选取,以及区间的分割.微积分基本定理

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) . a

物理上的应用:汽车行驶路程、位移;变力做功问题。 7. 函数的单调性 (1)设函数 y ? f ( x) 在某个区间(a,b)可导,如果 f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为增函数; 如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为减函数; (2)如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数。 ★★★反之, 若已知可导函数 y ? f ( x) 在某个区间上单调递增, 则 可导函数 y ? f ( x) 在某个区间上单调递减,则 求单调性的步骤: ① 确定函数 y ? f ( x) 的定义域(不可或缺,否则易致错) ; ② 解不等式 f '( x) ? 0或f '( x) ? 0 ; ③ 确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式) ,区间之间用“, ”★隔开,不 能用“ ”连结。 8. 极值与最值 对于可导函数 f ( x ) ,在 x ? a 处取得极值,则 f '(a) ? 0 . 最值定理:连续函数在闭区间上一定有最大最小值. 若 f ( x ) 在开区间 ( a, b) 有唯一的极值点,则是最值点。 求极值步骤: ① 确定函数 y ? f ( x) 的定义域(不可或缺,否则易致错) ; ② 解不等式 f '( x)=0 ; ③ 检验 f '( x)=0 的根的两侧的 f '( x) 符号(一般通过列表) ,判断极大值,极小值,还是非极 值点. 求最值时,步骤在求极值的基础上,将各极值与端点处的函数值进行比较大小,切忌直接说某 某就是最大或者最小。 9. 恒成立问题 “ f ( x) ? a ? f ( x)max ? a ”和“ f ( x) ? a ? f ( x)min ? a ” ,注意参数的取值中 “=”能否取到。 例1

f '( x) ? 0 ,且不恒为零;

f '( x) ? 0 ,且不恒为零.

y?

1 3 8 x ,过 P(2 , ) 的切线方程为 3 3
3 2

例 2 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1, x ? 2 处取得极值。

(1)求 a , b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0,3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围。 (答:(1)a=-3,b=4;(2) c ? (??, ?1) 例 3 设函数 f ( x) ? ?

(9, ??) )

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3 (1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值. (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x) |? a ,试确定 a 的取值范围. (答: (1) f ( x ) 在(a,3a)上单调递增,在( -∞,a)和(3a,+∞)上单调递减; x ? a 时, 4 4 f极小 ( x ) ? b ? a 3 , x ? 3a 时, f极小 ( x) ? b (2)a 的取值范围是 [ ,1) ) 3 5
第二章 推理与证明 1. 分清概念:合情推理与演绎推理 2. 综合法 分析法的步骤规范 3. 反证法 步骤:①提出反设;②推出矛盾 ;③肯定结论 4. 数学归纳法 步骤规范: (1)归纳奠基; (2)递推步骤 (最后一定说明当 n=k+1 时,结论成立,根据(1) (2) ,结论对于 n ? N * (或者其他)成立,必不可 少)

sin ? 1 ? cos ? 例 2 已知 a ? b ? c ? 0,求证:ab ? bc ? ca ? 0 3an 1 例 3 数列?an ?中,a1 ? , an ?1 ? ,求 a2 , a3 , a4 的值,由此猜想 ?an ? 的通项公式,并证明。 2 an ? 3 3 (答: an ? ) n?5
例 1 用综合法和分析证明 2sin 2? ? 第三章 数系的扩充与复数的引入 1. 复数的概念 三种表示形式:代数形式: z ? a ? bi ,复平面内点 Z(a,b),向量 OZ . 2. 区分实数,虚数,纯虚数,复数 3. 复数的四则运算及其几何意义 4. 复数的模 例 1 a ? bi ? c ? di ( a, b, c, d ? R )的充要条件是_________________________ 例 2 设复数 z 满足条件 z ? 1, 那么 z ? 2 2 ? i 的最大值是( (A)3 (B)4 (C) 1 ? 2 2 (D) 2 3 )

m?6 ? 1 ? ? i ? ? (8m ? 15)i ? 例 3 实数 m 为何值时,复数 z ? m2 ? . m?5 ?m?5 ? (1)为实数; (2)为虚数; (3)为纯虚数; (4)对应点在第二象限.

例 4.已知 z ? 1 ? i,a,b 为实数. (1)若 ? ? z 2 ? 3z ? 4 ,求 ? ; (2)若 的值.

z 2 ? az ?b ? 1 ? i ,求 a , b z2 ? z ? 1

数学选修 2-3

第一章 计数原理
知识点: 1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1 种不同的方法,在 第二类办法中有 M2 种不同的方法,……,在第 N 类办法中有 MN 种不同的 方法,那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 N 个步骤,做第一 步有 m1 种不同的方法,做 第二步有 M2 不同的方法,……,做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这 件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、排列:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素 ...... 中取出 m 个元素的一个排列 4、排列数: A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?
n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

5、组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个组合。
m Am n(n ?? 1) ((n m? ?11 1? )? n? ?m )) m m n! n! n A n n(n 6、组合数: C m ? Cm CC n? n? n? n? m m ? m !! (n ? m m!m (n!? m )!m)! Am Am

n ?m Cm n ?C n;

1 m C m?n ?C m n ?C n ?1
n 0 n 1 n ? 1 2 n ? 2 2 r n ? r r n n

a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b n n n n n 7、二项式定理: (
r n ? r r 8、二项式通项公式 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 : T ? C a b ( r ? 0 , 1 ? ? n ) r ? 1 n

第二章 随机变量及其分布
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果的 不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ 、 η 等表示。 2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按 一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3、 3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率 P(ξ =xi)=Pi,则称表为离散型随机 变量 X 的概率分布,简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, ?



② p1 + p2 +?+pn= 1.

5、二点分布:如果随机变量 X 的分布列为:

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布 6、超几何分布:一般地, 设总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n(n≤N) 件,这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量, 则它取值为 k 时的概率为
P( X ? k ) ?
k n? k CM CN ?M (k ? 0,1, 2, n CN

, m) ,

其中 m ? min? M , n? ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N * 7、条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率, 叫做条件概率.记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 的概率 公式:
P ( B | A) ? P ( AB) , P ( A) ? 0. P ( A)

8、相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响, 这样的两个事件叫做相互独立事件。 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 9、n 次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 10、二项分布: 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数,A 发生次数ξ 是一个随机变量. 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,事件 A 不发生的概率为 q=1-p,那么在 n 次
k k n ?k ? Cn p q (其中 k=0,1, ??,n,q=1-p ) 独立重复试验中 P(? ? k )

于是可得随机变量ξ 的概率分布如下:

这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作 ξ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为

则称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+? 为ξ 的数学期望或平均数、 均值, 数学期望又简称为期望. 是 离散型随机变量。 13、方差:D(ξ )=(x1-Eξ )2·P1+(x2-Eξ )2·P2 +......+(xn-Eξ )2·Pn 叫随机变量ξ 的均方差,简称方 差。 14、集中分布的期望与方差一览: 期望 两点分布 二项分布,ξ ~ B(n,p) Eξ =p Eξ =np 方差 Dξ =pq,q=1-p Dξ =qEξ =npq, (q=1-p)

15、正态分布: 若概率密度曲线就是或近似地是函数

f ( x) ?

? 1 e 2? ?

( x?? )2 2? 2

, x ? ( ?? ,?? )

(? ? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差. 的图像,其中解析式中的实数 ?、? 则其分布叫正态分布 记作:N (? , ? ) ,f( x )的图象称为正态曲线。
16、基本性质: ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x= ? 时位于最高点. ③当时 x ? ? ,曲线上升;当时 x ? ? ,曲线下降.并且当曲线向左、 右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近. ④当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定. ? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散; ? 越小, 曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中. ⑤当σ 相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ 来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于 1. 17、 3 ? 原则: 从上表看到,正态总体在 (? ? 2? , ? ? 2? ) 以外取值的概率 只有 4.6%,在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 以外取值 的概率只有 0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情 况在一次试验中几乎是不可能发生的.

第三章 统计案例 独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且 能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量 K^2 的值(即 K 的平方) K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中 n=a+b+c+d 为样本容量,K2 的值越大, 说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大。 K2≤3.841 时,X 与 Y 无关; K2>3.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K2>6.635 时 X 与 Y 有 99% 可能性有关

回归分析

? ? a ? bx 回归直线方程 y

? xy ? n ? x? y ? ( x ? x )( y ? y ) , SP 其中 b ? ? ? 1 SS ( x ? x ) ? ? x ? n (? x )
2 2 2 x

1

a ? y ? bx

数学选修 4-4 极坐标
x ? ? ? ? x, (? ? 0), 的作用下, 1.伸缩变换:设点 P( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ? ? ?y? ? ? ? y, ( ? ? 0). 点 P ( x, y ) 对应到点 P ?( x ?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩 变换。

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定 一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ; 以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序 数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 ( ? ? , ? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称, 即 ( ? ? , ? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一 点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同 时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。

5. 极坐标与直角坐标的互化:

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ; 在极坐标系中,以 C ( a,

?
2

) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ;

7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条 直线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .

参数方程 1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值, 由这个方程所确定的点 M ( x, y ) ? y ? g (t ), 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的 变数 t 叫做参变数,简称参数。
函数 ? 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2.圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ?

? x ? a ? rcos? , (?为参数) . ? y ? b ? rsin? . ? x ? acos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
抛物线 y ? 2 px 的参数方程可表示为 ?
2

? x ? 2 px2 , (t为参数) . y ? 2 pt . ? ?x ? xo ? tcos? , ( t 为参数) ? y ? yo ? tsin? .

经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ?

. 3.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必 须使 x, y 的取值范围保持一致.


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