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高中数学竞赛(新知杯)模拟试题(附解答)


高中数学竞赛(新知杯)试卷(模拟) 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 设 a1 , a2 , , a10 ? (1, ??) ,则 2009 log 2009 a1 ? log a2 ? ? log 2009 a10 a10 x?1 log 2009 a1a2 的最小值是

。 2. 已知 x, y ? N * ,且 1 ? 2 ? 析式是 y ? 2 ? y ? 1 ? 9 ? 92 ? 。 ? 9 ,则将 y 表示成 x 的函数,其解 。 。 。 3. 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ,若 f (a) ? f (b) ,且 0 ? a ? b ,则 ab 的取值范围是 1 3 ] ? ? y 2 ? y ? 的所有实数对 ( x, y) ? 2 2cos ( xy) 4 5. 若 [ a ] 表示不超过实数 a 的最大整数,则方程 [tan x] ? 2sin 2 x 的解是 4. 满足方程 log 2 [2cos ( xy) ? 2 6. 不等式 2 2x ? 3 ? 2x ? x ? 4 ? 22 x 的解集是 。 7. 设 A 是由不超过 2009 的所有正整数构成的集合,即 A ? {1, 2, , 2009} ,集合 L ? A , 且 L 中任意两个不同元素之差都不等于 4 ,则集合 L 元素个数的最大可能值 是 。 8. 给出一个凸 10 边形及其所有对角线, 在以该凸 10 边形的顶点及所有对角线的交点为顶点 的三角形中,至少有两个顶点是该凸 10 边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.(本题满分 14 分)设函数 f ( x ) 定义于闭区间 [0,1] ,满足 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ,且对任意 x, y ?[0,1], x ? y ,都有 f ( 求 a 的值。 x? y ) ? (1 ? a 2 ) f ( x) ? a 2 f ( y ) ,其中常数 a 满足 0 ? a ? 1 , 2 x2 ? y 2 ? 1的右顶点,过点 A 的两条互相垂直的 4 直线分别与双曲线的右支交于点 M , N , 问直线 MN 是否一定过 x 轴上一定点?如果不存在 这样的定点,请说明理由;如果存在这样的定点 P 试求出这个定点 P 的坐标。 10. (本题满分 14 分)如图, A 是双曲线 y M O A N x 11. (本题满分 16 分)设 A, B 是集合 {a1 , a2 , a3 , a4 , a5} 的两个不同子集,使得 A 不是 B 的 子集, B 也不是 A 的子集,求不同的有序集合对 ( A, B) 的组数。 12. (本题满分 16 分)设正整数构成的数列 {an } 使得 a10k ?9 ? a10k ?8 ? ? a10k ? 19 对一切 k ? N * 恒成立。记该数列若干连续项的和 证:所有 S (i, j ) 构成的集合等于 N * 。 答案:一、 p ?i ?1 ?a j p 为 S (i, j ) ,其中 i, j ? N * ,且 i ? j 。求 ? 1 3x ? 1 (k? + , )( k ?Z ) ; 3、 (0, 2) ; 4、 2 2 2 ? 5、 x ? k? 或 x ? l? ? (k , l ? Z ) ; 6、 [0, 4] ; 7、 1005 ; 8、 960 。 4 1

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