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【解析】浙江省杭州二中2015届高三年级第二次月考数学文试题

时间:2015-01-12


【解析】浙江省杭州二中 2015 届高三年级第二次月考数学文试题 【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学 科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常 规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、 直线与圆、数列、充要条件等;考

查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷.

第 I 卷(共 50 分)
【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
- x 【题文】1、若集合 M = { y | y = 2 } , P = { y | y =

x - 1} ,则 M

P=

A. { y | y ? 1}

B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0}

D. { y | y ? 0}

【知识点】集合的运算 A1 【答案】 【解析】C 解析:因为集合 M ? y y ? 0 , P ? y y ? 0 ,所以 M ? P ? y y ? 0 ,故选择 C. 【思路点拨】先求得集合 M,P,然后利用交集的定义可求得 M ? P 的值. 【题文】2、实数等比数列 ?a n ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?

?

?

【知识点】等比数列性质 充分必要条件 A2 D3 A 解析: 【答案】 【解析】 设等比数列的公比为 q , 由 a1 ? a4 得 a1 ? a1q , 因为 a1 ? 0 , 所以 q3 ? 1 , 即 q ? 1,
3 2 4 由 a3 ? a5 得 a1q ? a1q ,因为 a1 ? 0 ,所以 q2 ? 1 即 q ? ?1或q ? 1 ,所以“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的充分

而不必要条件,故选择 A. 【思路点拨】结合等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题文】3、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是 A.一定相离 B..一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心
[

【知识点】直线与与圆的位置关系 H4 【答案】 【解析】C 解析:因为直线恒过点 ?1,1? ,且该点在圆的内部,所以直线与圆相交,又因为圆的圆 心坐标为 ?1,0 ? ,直线的斜率存在所以直线不能过圆心,故选择 C. 【思路点拨】根据直线恒过点在圆的内部,可得直线与圆相交,又因为直线恒过的点与圆心在一条斜率不 存在的直线上,而直线斜率存在,所以不过圆心. 【题文】4、已知实数等比数列 ?a n ?公比为 q ,其前 n 项和为 Sn ,若 S3 、 S9 、 S6 成等差数列,则 q 等于
3



1第

A. ?

1 2

B.1

C. ?

1 或1 2

D. ?1或

1 2

【知识点】等差数列的性质 等比数列前 n 项和 D2 D3 A 解析: 【答案】 【解析】 因为 S3 、S9 、S6 成等差数列, 所以 2S9 ? S3 ? S6 , 若公比 q ? 1 ,2S9 ? S3 ? S6 , 所以 q ? 1 ,当 q ? 1 时,可得 2

a1 ?1 ? q9 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q3 ? 1? q

?

a1 ?1 ? q 6 ? 1? q

,整理可得: q ? ?

1 ,故选择 A. 2

【思路点拨】根据等差数列的性质列的 2S9 ? S3 ? S6 ,当公比 q ? 1 ,等式不成立,当 q ? 1 时,再根据等 比数列的求和公式进行化简即可得到,

?y ? x ? 【题文】5、已知 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ?x ? a ?
A.

3 4

B.

1 4

C.

2 11

D. 4

【知识点】线性规划 E5

?y ? x ? 【答案】 【解析】B 解析:画出 x, y 满足 ? x ? y ? 2 的可行域如下图: ?x ? a ?

由?

? y=x ?x ? a ,得 A ?1,1? ,由 ? ,得 B ? a,a ? , ? x ? y=2 ?y ? x

当直线 z ? 2 x ? y 过点 A ?1,1? 时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最大值,最大值为 3; 当直线 z ? 2 x ? y 过点 B ? a,a ? 时,目标函数 z ? 2 x ? y 取得最小值,最小值为 3a; 由条件得 3 ? 4 ? 3a, 所以 a ?

1 ,故选择 B. 4

【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域,由 z ? 2 x ? y 可得 y ? ?2 x ? z ,则 z 表示直线

y ? ?2 x ? z 在 y 轴上的截距,截距越大, z 越大,可求 z 的最大值与最小值,即可求解 a.
页 2第

【题文】6、等差数列 ?a n ?前 n 项和为 Sn ,已知 A.125 B.85 C.45

S25 S S ? 5, 45 ? 25 ,则 65 ? a23 a33 a43

D.35

【知识点】等差数列前 n 项和 D2

S25 S ? 5, 45 ? 25 , a23 a33 a13 1 a23 5 a S a 5? 4 9 9 ? , ? , 根据合比定理可得: 33 ? ? ,所以 65 ? 65 33 ? 65 ? 45 ,故选择 可得 a23 5 a33 9 a43 9 ? 4 13 a43 a43 13
【答案】 【解析】C 解析:根据等差数列前 n 项和的性质可得 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,所以 C. 【思路点拨】根据等差数列前 n 项和的性质可得 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,可得

a33 5 ? 4 9 ? ? ,即可求得. a43 9 ? 4 13 1 1 1 9 ? 【题文】7、若正数 a,b 满足 ? ? 1 ,则 的最小值 a b a ?1 b ?1
可得: A.1 B.6 C.9 D.16 【知识点】基本不等式 E6 【答案】 【解析】B 解析:∵ 正数 a,b 满足

a13 1 a23 5 ? , ? , 根据合比定理 a23 5 a33 9

a 1 1 ? ? 1 ,? b= >0 ,解得 a>1, 同理 b>1 , a b a ?1

1 9 1 9 1 1 1 ? ? ? ? ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 ? 9 ? a ? 1? , 所以 a ? 1 b ? 1 a ? 1 , 当且仅当 a a ? 1 a ? 1 ?1 a ?1 a ?1
即a ?

4 等号成立,所以最小值为 6.故选择 B. 3 a 1 9 ? >0 , 代 入 , 整 理 可 得 a ?1 b ?1 a ?1

【 思 路 点 拨 】 根 据 已 知 可 得 b=

1 1 ? 9 ? a ? 1? ? 2 .9 ? a ? 1? ? 6 ,可得结果. a ?1 a ?1
【题文】8、已知 F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆 于点 M , N ,若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为 A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C.

2 2

D.

3 2

【知识点】椭圆的几何性质 H5 【答案】 【解析】A 解析:因为过 F1 的直线

MF1 是圆 F2 的切线,所以可得 ?F1MF2 ? 90 , MF2 ? c ,因为

F1F2 ? 2c

,所以可得

MF1 ? 3c

,由椭圆定义可得

MF 1 ? MF2 ? c ? 3c ? 2a

,可得题意离心率



3第

e?


2 ? 3 ?1 1? 3 ,故选择 A.

F1F2 ? 2c,?F1MF2 ? 90? ,从而得到 MF1 ? 3c ,由此能求 【思路点拨】由已知条件推导出 MF2 ? c,
出椭圆的离心率.
2 2 【题文】9、若等差数列 {an } 满足 a1 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为

A.60

B.50

C. 45

D.40

【知识点】等差数列的性质 D2
2 【答案】 【解析】B 解析:设等差数列的公差为 d ,因为 a1 ? a10 ? 10 ,所以 ? a10 ? 9 d ? ? a10 ? 10, 而

2

2

2

S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 ? 10a10 ? 45d , 可 得 a10 ?

?1 3 5?
2

42?5 d

S ? 45d 2 2 1, 0整 理 得 , 代 入 ? a1 0? 9 d? ? a1 0 ? 10
d 的 二 次 方 程 有 实 根 可 得

2

?

3 d6 S0 ?

S2 2 ?

1, ? 00 0 关0 于 由

? ? 3602 S 2 ? 4 ?1352 ? 452 ?? 2 S 2 ? 1000 ? ? 0, 化简可 S 2 ? 2500 得,解得 S ? 50 ,故选择 B.
2 【思路点拨】设等差数列的公差为 d ,易得 ? a10 ? 9d ? ? a10 ? 10, 由求和公式可得 a10 ? 2

S ? 45d ,代入 10

? a10 ? 9d ?

2

? a10 2 ? 10, 整理可得关于 d 的方程,由 ? ? 0 可得 S 的不等式,解不等式可得.

【题文】10、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下 列结论: ① 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ② 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 , 则 ③ 若方程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内恰有四个不同的实根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则 x1 ?x2 ?x3 ?x4 ?? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 或 8;④函数 f ( x ) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至多有 13 个零点 其中结论正确的有 A.1 个 B.2 个 【知识点】函数的性质 B3 B4 C.3 个 D.4 个

8

【答案】 【解析】C 解析:因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ? x ? 8? ? f ? x ? ,即函数的周期为 8,因此函数 是周期函数,又是奇函数,且在[0,2]上为增函数,综合条件得函数的示意图,由图看出,
页 4第

f x) ① 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,由图像可得正确;② 若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 , ( 在 (0, 2] 上
是增函数,则 0<x1<5 ? x1<4 ,即 1< x1< ,由图可知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;故②正确;③当 m>0 时,四 个 交 点 中 两 个 交 点 的 横 坐 标 之 和 为 2 ? ? ?6? ? ?12, 另 两 个 交 点 的 横 坐 标 之 和 为 2 ? 2 ? 4 , 所 以

5 2

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ? 8 .当 m<0 时,四个交点中两个交点的横坐标之和为 2×(-2) ,另两个交点的横坐标
之和为 2×6,所以 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 8 .故③正确;④如图可得函数 f ( x ) 在 [?8,8] 内有 5 个零点,所以不 正确.故选择 C. 【思路点拨】由条件 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 f ? x ? 8? ? f ? x ? ,说明此函数是周期函数,又是奇函数,且在

(0, 2] 上为增函数,由这些画出示意图,由图可解决问题.

第 II 卷(共 100 分)
【题文】二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 【题文】11、函数 f ( x) ? ? 【知识点】函数的零点问题

?x ?1 ?log 2 x
B9

x?0 x?0

的所有零点所构成的集合为________.

log2 x ? 0 , 【答案】 【解析】 因为当 x ? 0, x ? 1 ? 0 解得 x ? ?1 , 因为当 x ? 0 时, 解得 x ? 1 , ??1,1? 解析:
故答案为 ??1,1? . 【思路点拨】根据分段函数求解即可. 【题文】12、如图为了测量 A , C 两点间的距离,选取同一平面上 B , D 两点,测出四边形 ABCD 各边的 长度(单位:km ):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示,且 A、B、C、D 四点共圆, 则 AC 的长为_________ km .

【知识点】解三角形 C8



5第

【答案】 【解析】7.解析:因为 A、B、C、D 四点共圆,所以 ?D ? ?B ? ? ,在 ABC 和 ADC 中,由 余 弦 定 理 可 得 8 ? 5 ? 2 ? 8 ? 5 ? cos ?? ? D? ? 3 ? 5 ? 2 ? 3? 5 ? cos D , cos D ? ?
2 2 2 2

? 1? AC 2 ? 32 ? 52 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 49 ,故答案为 7. ? 2? 1 【思路点拨】根据 A、B、C、D 四点共圆,可得 ?D ? ?B ? ? ,再由余弦定理可得解得 cos D ? ? , 2
代入余弦定理可得. 【题文】 13、 在△ABC 中,A ? 则角 B 等于 .

1 ,代入可得 2

?
6

, D 是 BC 边上任意一点 (D 与 B、 C 不重合) , 且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,

【知识点】向量的线性运算 解三角形 F1 C8 【答案】 【解析】
2 2

? ? ? BD. ? AB ? AD ? DC ? ? BD. ? AB ? AC ? ? 0 ,即 BD ? ? AB ? AC ? ,又因为 D 在 BC 上,所以 ? 5? ? ? BC ? ? AB ? AC ? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,所以 . 6 ? ? ,故答案为 ?B ? 12 2 12 【思路点拨】由已知变形可得 AB ? AD ? ? AB ? AD ? . ? AB ? AD ? ? ? AB ? AD ? .BD ? BD.DC ,可得 BC ? ? AB ? AC ? ,即 AB ? AC 三角形为等腰三角形,可求得.
AB ? AD ? AB ? AD . AB ? AD ? AB ? AD .BD ? BD.DC ,整理得
2 2

?

5? .解析:由已知可得: 12

??

【题文】 14、 已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 体积为 与平面 ABC 所成角的大小为 【知识点】求线面角 G7 【答案】 【解析】 .

9 , 底面是边长为 3 .若 P 为底面 A1B1C1 的中心, 则 PA 4

? .解析:因为 AA1 ? 底面 A1B1C1 ,所以 ?APA1 为 PA 与平面 A1B1C1 所成角,因为平面 3 9 ABC ∥平面 A1 B1C1 ,所以 ?APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角,因为正三棱柱 ABC - A1B1C1 体积为 , 4 AA1 1 9 ? 3, A P ? 1 ,所以 tan ?APA1 ? 底面是边长为 3 ,所以 V ? S ABC AA1 ? ,可得 AA 1 ? 3, 1 A1 P 3 4 ? ? 即 ?APA1 ? ,故答案为 . 3 3



6第

【思路点拨】利用三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知, ?APA1 为 PA 与平面

A1B1C1 所成角, ,即为 ?APA1 为 PA 与平面 ABC 所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得 AA ,再 1 ? 3
tan ?APA1 ? 利用正三角形的性质可得 A 1P ,在 Rt AA 1P 中,利用
2

AA1 ? 3 即可得出. A1 P
3 3

【题文】15、已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0 的两个根,则 sin ? ? cos ? = 【知识点】同角三角函数基本关系式 韦达定理 C2 【答案】 【解析】 2 ? 2 .解析:由韦达定理可得:?



?sin ? ? cos ? ? a ,根据同角三角函数基本关系式可得: ?sin ? .cos ? ? a

? sin ? ? cos ? ?
si? n?
s
3

2

? a 2 ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? 2a , 即 a 2 ? 2a ? 1? 0 , 解 得 a ? 1? 2 , 又 因 为

c? o? s
i ? ??

2
3 ? n?







a ? 1? 2
2





??

? ??

?c?

?

o ??

?? s? a ? ? ? a ?

s ,

2

i所

n 以

sin3 ? ? cos3 ? ? 2 ? 2 ,故答案为 2 ? 2 .
【思路点拨】 由韦达定理以及同角三角函数基本关系式可求得 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 , 再根据 sin ? ? cos ? ? 2 ,
3 3 2 2 确定 a 值,代入 sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? a ? ?1 ? a ? 即可求得.

?

?

【题文】16、已知 O 是 ?ABC 外心,若 AO ? 【知识点】向量的数量积 F3 【答案】 【解析】

2 1 AB ? AC ,则 cos ?BAC ? 5 5



2 2 1 1 6 . 解析:因为 O 为三角形的外心,所以 AO AB ? AB , AO AC ? AC , , 由 2 2 4

AO AB ?
2

2 2 2 1 2 1 AB ? AC AB 整理得: AB2 ? 2 AC AB ,同理 AO AC ? AB AC ? AC 整理可得: 5 5 5 5

AC AB 1 6 4 cos ?BAC ? ? ? 6 AC ? AB AC ,所以 . 4 ,故答案为 4 AC AB 3 2? 4 3
【思路点拨】根据 O 为三角形外心,可得 AO AB ?
2 2 1 1 AB , AO AC ? AC , 再让已知式子分别与向量 2 2

2 4 2 AB, AC 求数量积,可得到 AB ? 2 AC AB 与 AC ? AB AC ,再结合向量夹角公式求得结果. 3

【题文】17、已知函数 f ( x) ?

2 1 2 a ? x ,对 ?x ? [ , ] ,有 f (1 ? x) ? 恒成立,则实数 a 的取值范围 x 3 3 f ( x)

为 . 【知识点】不等式恒成立问题 E8
页 7第

49 1 2 . 解析:因为 ?x ? [ , ] , f ? x ? ? 0 ,所以 f ?1 ? x? f ? x ? ? a恒成立, 即 4 3 3 2 2 4 ? 2 ??1 ? x ? ? x 2 ? ? x 2 ?1 ? x ? ?2 ?? 2 ? ?2 1? ? ? ? ?1 ? x ? ? ? a ,整理可得 ? a ,令 x ?1 ? x ? ? t ? ? , ? , ? ? x ?? ?x ?? 1 ? x ? ?9 4? x ?1 ? x ? 2 2 49 ? 2 ? ?2 1? 4 ? 2 ?1 ? 2t ? ? t t ? 4t ? 2 2 上式为 ,故答 ? ? t ? ? 4 ? a ,因为 t ? ? , ? ,所以 ? t ? ? 4 ? ? ? t ?min 4 ?9 4? t t t 49 案为 a ? 4 ?2 ?? 2 ? ?2 1? ? ?1 ? x ? ? ? a , 【思路点拨】 根据题意可得 f ?1 ? x ? f ? x ? ? a , 即 ? ? x ?? 令 x ?1 ? x ? ? t ? ? , ? , ?x ?? 1 ? x ? ?9 4? 2 2 49 ? 2 ? 4 ? 2 ?1 ? 2t ? ? t t ? 4t ? 2 2 整理可得 ,可得 a ? ? t ? ? 4 ? a 根据对勾函数可求得 ? t ? ? 4 ? ? ? t ?min 4 t t t
【答案】 【 解析】 a ? 的范围. 【题文】三、解答题 【题文】(18)(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 3 ,求 2a + c 的取值范围. 【知识点】解三角形 三角函数的性质 C3 C8 【答案】 (Ⅰ)

? ; (Ⅱ) ( 3, 2 7] . 3

【解析】 (1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0
即 sin( B ?

?
6

)?

1 2

B ? (0, ? )

?B ?

?
3
b ?2 sin B

(Ⅱ)由(1)得: 2R ?

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )
其中, sin ? ?

3 2 7

, cos? ?

5 2 7
8第

2? A ? (0, ) 3


2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
【思路点拨】由正弦定理可得 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0 , ? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 ,化一得

? 1 sin( B ? ) ? 即可得角 B 的值;由正弦定理可得 2a ? c ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin( A ? ? ) ,再根据正 6 2
弦函数的范围求得 2a + c 的范围. 【题文】(19)(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, BC ? 平面 PAB .已知 PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的中点. (Ⅰ)求证: AD ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求
P

AF 的值. FC

D A F E B C

【知识点】线面垂直 线面平行 G4 G5 【答案】 (Ⅰ)略; (Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ)证明:

1 . 2
? BC ? AD

BC ? 平面 PAB

PA ? AB ,D 为 PB 中点 ? AD ? PB
PB ? BC ? B

? AD ? 平面 PBC



9第

(Ⅱ)连接 DC 交 PE 于 G, 连接 FG ,
AD / / 平面 PEF ,平面 ADC ? 平面 PEF ? FG

? AD / / FG

又 G 为 ?PBC 重心

?

AF DG 1 ? ? FC GC 2

【思路点拨】证明 AD ? PB, AD ? BC ,即可证明 AD ? 平面 PBC ,连接 DC 交 PE 于 G, 连接 FG ,
AD / / 平面 PEF ,平面 ADC ? 平面 PEF ? FG ,? AD / / FG ,即可得 G 为三角形重心.

【题文】(20)(本小题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 的首项为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
* (Ⅱ)当 t ? 1 , a ? 2 时,若对任意 n ? N ,都有 k (

1 1 1 ? ??? ) ? bn ,求 k 的取值范围; b1b2 b2 b3 bn bn?1

(Ⅲ)当 t ? 1 时,若 cn ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (a, t ) . 【知识点】等比数列的性质 【答案】 (Ⅰ) an ? at
n?1

数列求的和 D3 D4

; (Ⅱ) k ? 45 ; (Ⅲ) (1, 2) .

【解析】 (1)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan
又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) ,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列 an

? an ? at n ?1
(Ⅱ)因为 t ? 1 , a ? 2 ,所以可得 an ? 2, Sn ? 2n ,即 bn ? 2n ? 1 ,

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ,所以 bnbn?1 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

1 1 ? ? b1b2 b2b3
因为 k (

?

1 1?1 1 1 ? ? ? ? ? bnbn?1 2 ? 3 5 5

?

1 ? n ?? 2n ? 3 ? 3 ? 2n ? 3?

2 1 1 1 ? ??? ) ? bn ,所以整理可得 k ? 3(4n ? 8n ? 3) , b1b2 b2 b3 bn bn?1 n

所以 k ? 45 .
页 10 第

(Ⅲ) t ? 1 ,? bn ? 1 ?

a ? at n 1? t

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) at a at n ?1 )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? ? 2 ? ? (1 ? ) n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

由题设知 ?cn ? 为等比数列,所以有

at ? 2 ? ?0 ? ?a ? 1 ? (1 ? t ) 2 ,解得 ? ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? t ? 2 1 ? t ? a ? ? ?0 ? 1? t ?
(或通过 ?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明) 【思路点拨】 (1)由数列递推式求得首项,得到 an?1 ? ant, 由此说明数列是等比数列,由等比数列的通项 公式得答案; (Ⅱ)根据题意可得 bn ? 2n ? 1 ,求得

1 1 ? ? b1b2 b2b3

?

1 n ? ,所以要使 bnbn?1 3 ? 2n ? 3?

k(

2 1 1 1 ? ??? ) ? bn 成 立 , 只 需 k ? 3(4n ? 8n ? 3) 即 可 求 得 ;( Ⅲ ) 由 题 意 得 b1b2 b2 b3 bn bn?1 n

at a ? at n ?1 ? a ? at n ? ?1 ? , 代 入 可 得 Cn ? 2 ? bn ? 1 ? ?n? 2 2 , 若 为 等 比 数 列 需 满 足 ?1 ? t ? ? t ? 1 ? ?1 ? t ? 1? t

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 . ? ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1? t
【题文】 (21) (本小题满分 15 分) 如图,已知圆 G : x 2 ? x ? y 2 ? 0 ,经过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点,过点 (m,0) (m ? 0) 倾斜角为

? 的直线 6

l 交抛物线于 C,D 两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)若焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

【知识点】抛物线方程 直线与抛物线 H7 H8
页 11 第

【答案】 (Ⅰ) y 2 ? 4 x ; (Ⅱ) ? 3 ? m ? ?2 5 ? 3 . 【解析】 (Ⅰ)因为圆与 x 轴的交点为 ? 0,0? , ?1,0? 且抛物线的焦点在 x 轴上,所以抛物线的焦点为 ?1,0 ? , 故可得抛物线方程为: y 2 ? 4 x (Ⅱ)设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,因为 FC ? FD ? 0 ,则 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , 设 l 的方程为: y ?

3 ( x ? m) ,于是 3

1 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? [4 x1 x 2 ? (m ? 3)( x1 ? x 2 ) ? 3 ? m 2 ] ? 0 3 3
即 4 x1 x2 ? (m ? 3)(x1 ? x2 ) ? 3 ? m 2 ? 0

? 3 ( x ? m) ?y ? 由? ,得 x 2 ? (2m ? 12) x ? m 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 2m ? 12, x1 x2 ? m 2 , 3 ? y 2 ? 4x ?
于是

4x1 x2 ? (m ? 1)(x1 ? x2 ) ? 3 ? m2 ? 4m2 ? (m ? 3)(2m ? 12) ? 3 ? m2 ? 3m2 ? 18m ? 33 ? 0 m ? 2 5 ? 3或m ? ?2 5 ? 3 ,
又 ? ? (2m ? 12) 2 ? 4m 2 ? 0 ,得到 m ? ?3 . 所以 ? 3 ? m ? ?2 5 ? 3 .



【思路点拨】根据圆与 x 轴的交点求得抛物线的焦点,即可得其方程;因为焦点 F 在以线段 CD 为直径的 圆 E 的外部,所以 FC ? FD ? 0 ,则 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,设直线方程为 y ? 线方程联立,代入上式,整理可得 m 的范围. 【题文】 (22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (Ⅰ)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [0,2] 上的最大值. 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2

3 ( x ? m) ,与抛物 3

【答案】 (Ⅰ) a ≤ ?2 ; (Ⅱ) h( x) max ? ?

?3 ? a, a ? ?3 . ?0, a ? ?3

2 【解析】 (Ⅰ)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,



12 第

①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ②当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?

x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ?? ,令 ? ( x) ? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .
2 ? ?? x ? ax ? a ? 1,0 ? x ? 1 h ( x ) ? (Ⅱ) ? 2 ? ? x ? ax ? a ? 1,1 ? x ? 2

当?

a ? 0 时,即 a ? 0 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(0) ? a ? 1 2

(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(2) ? a ? 3
此时, h( x) max ? a ? 3 当0 ? ?

a a a2 ? 1 时,即 ? 2 ? a ? 0 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(? ) ? ? a ?1 2 2 4

(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(2) ? a ? 3
此时 h( x) max ? a ? 3 当1 ? ?

a ? 2 时,即 ? 4 ? a ? ?2 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0 2

?0,?4 ? a ? ?3 (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? max{ h(1), h(2)} ? max{ 0,3 ? a} ? ? ?3 ? a,?3 ? a ? ?2
此时 h( x) max ? ? 当?

?0,?4 ? a ? ?3 ?3 ? a,?3 ? a ? ?2

a ? 2 时,即 a ? ?4 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0 2

(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0
此时 h( x) max ? 0 综上: h( x) max ? ?

?3 ? a, a ? ?3 . ?0, a ? ?3

2 【思路点拨】根据题意可得 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,讨论当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时

a ? R ,当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?


x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ?? ,令 ? ( x) ? 只需求其最小值即可; | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).
13 第

2 ? a a a ?? x ? ax ? a ? 1,0 ? x ? 1 h( x ) ? ? 2 ,讨论对称轴 ? ? 0 , 0 ? ? ? 1 , 1 ? ? ? 2 的三种情况,分别 2 2 2 ? ? x ? ax ? a ? 1,1 ? x ? 2

求得最大值.



14 第


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