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高中数学全部知识点(必修1-5选修2-1、2、3,4-5)

时间:2013-02-17


高一数学必修 1 知识网络
集合
? ()元素与集合的关系:属于(?)和不属于(?) ?1 ? ? ? ?集合与元素 (2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 ? ? (3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ? ? ? (4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 ? ? ? ? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注? ? ? ?关系 ? ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B ? (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 集合 ? ? ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? ?集合与集合 ? ? ?交集 ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ? ?并集 ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B ? ? ? ?运算 ? Card ( A ? B) ? Card ( A) ? Card ( B) - Card ( A ? B) ? ? ? ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ? ? ?补集 ?性质: U A) ? A ? ?, U A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ), ? (C (C ? ? ? ? ? CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) ? ? ? ? ? ?

函数

?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x, 在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :? B为从集合A到集合B的一个映射 ? ? 传统定义:如果在某变化中有两个变量x , y , 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, ? 按照某个对应关系f , y 都有唯一确定的值和它对应。那么y 就是x的函数。记作y ? f ( x ). ?定义 ? ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ?函数及其表示 ?函数的三要素 ?值域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函数的表示方法 ?列表法 ? ? ?图象法 ? ? ?传统定义:在区间? a ,b?上,若a? x1? x2 ?b ,如f ( x1 )? f ( x2 ),则f ( x ) 在?a ,b ?上递增, a ,b ?是 ? ? ? ? 递增区间;如f ( x1 )? f ( x2 ),则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ?单调性?导数定义:在区间 a ,b 上,若f ( x )?0,则f ( x ) 在 a ,b 上递增, a ,b 是递增区间;如f ( x )?0 ? ? ? ? ? ? ? ? 则f ( x ) 在? a ,b ?上递减, a ,b ?是的递减区间。 ? ? ? ? ? ? ? ? ?最大值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )?M ; ? 函数 ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 )? M。则称M 是函数y ? f ( x )的最大值 ?最值? 函数的基本性质 ?最小值:设函数y ? f ( x )的定义域为I,如果存在实数N 满足:(1)对于任意的x?I,都有f ( x )? N; ? ? ? (2)存在x0?I,使得f ( x0 )? N。则称N 是函数y ? f ( x )的最小值 ? ? ? ?(1) f ( ? x ) ?? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。 ? ? ?奇偶性?( 2) f ( ? x )? f ( x ), x?定义域D,则f ( x ) 叫做偶函数,其图象关于y轴对称。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ?周期性:在函数f ( x )的定义域上恒有f ( x ?T )? f ( x )( T ?0的常数 ) 则f ( x ) 叫做周期函数,T 为周期; ? ? T的最小正值叫做f ( x )的最小正周期,简称周期 ? ? ? (1)描点连线法:列表、描点、连线 ? ? ? ?向左平移? 个单位:y1? y , x1?a ? x? y ? f ( x? a ) ? ? ? ?向右平移a个单位:y ? y , x ? a ? x? y ? f ( x ?a ) ? ?平移变换?向上平移b个单位:x1? x , y1?b? y? y ?b ? f ( x ) 1 1 ? ? ? ? 向下平移b个单位:x1? x , y1?b ? y? y ?b ? f ( x ) ? ? ? ? ? ?横坐标变换:把各点的横坐标x1缩短(当w?1时)或伸长(当 0? w?1时) ? ? ? ? 到原来的1/ w倍(纵坐标不变),即x1? wx? y ? f ( wx ) ? ?伸缩变换?纵坐标变换:把各点的纵坐标y 伸长(A?1) 或缩短(0? A?1) 到原来的A倍 1 ? ? ?函数图象的画法 ??? (横坐标不变), 即y1? y / A? y ? f ( x ) ? ? ? (2)变换法? ? ? ? ?x?x1?2 x0 x1?2 x0?x ?关于点 ( x0 , y0 ) 对称:y ? y1?2 y0 ??y1?2 y0 ? y ?2 y0 ? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? ? ? ?关于直线x ? x0对称: ? x1?2 x0 ??x1?2 x0 ? x? y ? f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? ?xy? y1 y1? y ? ?对称变换? ? ? ? ?关于直线y ? y0对称: ? x1 ? ?xy1? y?2 y0??xy11??x2 y0? y?2 y0? y? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?x?x1 ?1 ? ?关于直线y ? x对称:y ? y1? y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

附: 一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数函 数的底数大于零且不等于 1;5、三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;余切函数 y ? cot x 中;6、如

果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 3、若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0,如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数,则

f ( x) ? 0 (反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数; 当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5、若函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称,则 f ( x ) 可以表示为 f ( x) ? 该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

1 1 [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] , 2 2

? ? ?零点:对于函数y ? f(x), 我们把使f ( x ) ? 0的实数x叫做函数y ? f ( x )的零点。 ? ? ?定理:如果函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f ( a ) ? f ( b ) ? 0, ? ?零点与根的关系 ? 那么,函数y ? f ( x ) 在区间[ a , b ]内有零点。即存在c ? ( a , b ), 使得f ( c ) ? 0, 这个c也是方 ? ? ? 程f ( x ) ? 0的根。(反之不成立) ? ? ?关系:方程f ( x ) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x ) 有零点 ? 函数y ? f ( x )的图象与x轴有交点 ? ? ?(1) 确定区间[ a , b ], 验证f ( a ) ? f ( b ) ? 0, 给定精确度?; 函数与方程 ? ? ?(2) 求区间( a , b )的中点c; ? ? 函数的应用 ? ?(3) 计算f ( c ); ?二分法求方程的近似解 ? ①若f ( c ) ? 0, 则c就是函数的零点; ? ? ? c ? ? ②若f ( a ) ? f ( c ) ? 0, 则令b ? (此时零点x0 ? ( a , b )); ? ? c ? ③若f ( c ) ? f ( b ) ? 0, 则令a ? (此时零点x0 ? ( c , b )); ? ? ?(4) 判断是否达到精确度?:即若 a - b ? ? , 则得到零点的近似值a (或b ); 否则重复 2 ? 4。 ? ? ? ?几类不同的增长函数模型 ?函数模型及其应用 ?用已知函数模型解决问题 ? ?建立实际问题的函数模型 ?

m n ? ? ?根式: a , n为根指数,a为被开方数 ? n m ? ? ? ? ? a ?an 分数指数幂 ? ? ? ? ? ? ? ? r a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) ?a ? ?指数的运算 ? ? r s ? ? ?指数函数 rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? r r s ? ? ? ?( ab) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? . N ?对数的运算 ?性质 ? ? ? n ? n log M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) ? ? a ?log a M ?对数函数 ? ? ? ? ? log c b ? log (a, c ? 0且a, c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: a b ? ? ? log c a ? ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? ? ?幂函数 ?定义:一般地,函数y ? x 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ? ? ?性质:见表2 ?

表 1 定 义 域 值 域

指数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R

对数数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x?? 0, ???
y?R

y ? ? 0, ???

图 象

过定点 (0,1) 性 质 减函数 增函数
x ? (??,0)时,y ? (0,1) x ? (0, ??)时,y ? (1, ??)

过定点 (1, 0) 减函数 增函数

x ? (??,0)时,y ? (1, ??) x ? (0, ??)时,y ? (0,1)

x ? (0,1)时,y ? (0, ??) x ? (1, ??)时,y ? (??,0)

x ? (0,1)时,y ? (??,0) x ? (1, ??)时,y ? (0, ??)

a?b
表2

a?b

a?b
幂函数 y ? x? (? ? R)

a?b

??

p q

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为奇数 q为奇数

奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
第一象限 性质

偶函数

减函数

增函数

( 1) 过定点 0,

高中数学必修 2 知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾 斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜 率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; ②过两点的直线的斜率公式: k ?

?

?

? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1, 所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 2 注意:○各式的适用范围 ○特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1 :

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点,

(9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C
A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;
? 2 2?

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? ?
2 2

2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位臵。 3、直线与圆的位臵关系: 直线与圆的位臵关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
2 2 2 2

(1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C ,则有 2 2
A ?B

d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 2 2 (2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令
其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交 2 注:如果圆心的位臵在原点,可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 去解直线与圆相切的问题,其中 x0 , y0 表示切点坐标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位臵关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位臵关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。

?

?

三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面 是与底面全等的多边形。 (2)棱锥
' ' ' ' '
'

定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
' ' ' ' '

表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位臵关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位臵关系,即反映了物体的高度和宽度。
' ' ' ' '

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ?

S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch '
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

1 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
V柱 ? Sh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆 锥 表? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V圆柱 ? S h ? 2r h V锥 ? 1 S h ?
3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2? rR ? R )2 h 3 3

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3
3

; S 球面 = 4? R 2

4、空间点、直线、平面的位臵关系

(1)平面 ① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内) ; 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ?l;

直线与平面的关系:直线 l 在平面α内,记作 l ? α;直线 l 不在平面α内,记作 l ? α。 (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? (3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面α和β相交,交线是 a,记作α∩β=a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位臵关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所成 的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成 的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位臵无关。 ②求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位臵,顶点选在特殊的位臵上。 B、 证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位臵关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位臵关系的符号表示:a ? α a∩α=A a∥α (9)平面与平面之间的位臵关系:平行——没有公共点;α∥β 相交——有一条公共直线。α∩β=b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) ,

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平 面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a ?, b ? ,形成两条相交直线, 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ? ? ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知 面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面 叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角 .. ... 叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角 为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系 (1)定义:如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A, ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位臵。大拇指指向为 x 轴正方向,食指指向 为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位臵。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y , z ) 来表示,有序实数组 ( x, y , z ) 叫做点 M 在此空间 直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z ) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

高一数学必修 3 公式总结以及例题 §1 算法初步 ?
秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个 n 次多项式,只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表达式如下:

an x n ? an?1 x n?1 ? ... ? a1 ? ????an x ? an?1 ?x ? an?2 ?x ? ...?x ? a2 ?x ? a1
例题:秦九韶算法计算多项式 3x 6 ? 4x 5 ? 5x 4 ? 6x 3 ? 7 x 2 ? 8x ? 1 , 当 x ? 0.4 时,
需要做几次加法和乘法 运算?
答案: 6 , 6

即:

?????3x ? 4?x ? 5?x ? 6?x ? 7?x ? 8?x ? 1

?

理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的含义,如:

广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明书是空调使用的算法… (algorithm) 1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码). 2. 算法的特征: ①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是一个或多个。没有输 出的算法是无意义的。 ③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成,在 时间上有一个合理的限度

3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等②控制结构:顺序结构,选择结
构,循环结构

?

流程图: (flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程序,
它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 注意:1. 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯 2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框时,往往临界的范 围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取等号 的问题,这时候也就可以有几种书写方法了。 3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起终结到结束框。

?

算法结构: 顺序结构,选择结构,循环结构
A A Y A p N N B B Y p p Y A

Ⅰ.顺序结构 (sequence

N 直到型循环 当型循环 N structure ) 是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、 : 控制转移和重复执行的操作,

一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构(selection structure

) :或者称为分支结构。其中的判断框,书写时主要是注意临界条件的确定。它

有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不能同时执行,其中的 A,B 两语句可以有一个为空,既不 执行任何操作,只是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行其它语句。 Ⅲ.循环结构(cycle structure) :它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到型(until)和当型(while)两种结 构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数时)用当型循环。

?

基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo code) ,且是使用 BASIC 语言编写的,是介于自然 语言和机器语言之间的文字和符号, 是表达算法的简单而实用的好方法。 伪代码没有统一的格式, 只要书写清楚,易于理解即可,但也要注意符号要相对统一,避免引起混淆。如:赋值语句中可 以用 x ? y ,也可以用
x? y ;
表示两变量相乘时可以用“*” ,也可以用“ ? ”

Ⅰ. 赋值语句(assignment statement) :用 ? 表示, 如: x ? y ,表示将 y 的值赋给 x,其中 x 是一个变量,
y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式.

一般格式: 变量 ? 表达式 ” ,有时在伪代码的书写时也可以用 “ x ? y ” “ ,但此时的 “ = ”不是数
学运算中的等号,而应理解为一个赋值号。 注: 1. 赋值号左边只能是变量,不能是常数或者表达式,右边可以是常数或者表达式。 = ”具有计算功能。如: “ 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的,而 a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3 都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如:a = b = c = 2 , a , b , c =2 都是错误的,而 a = 3 是正确的.

例题:将 x 和 y 的值交换
p?x x? y y? p
, 同样的如果交换三个变量 x,y,z 的值 :

p?x x? y y?z z? p

Ⅱ.

输入语句(input statement): Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b 输出语句(out statement) :Print x ,y 表示一次输出 运算结果 x ,y 注: 支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开!2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语 1. 句不能起赋值语句,意旨不能在 Print 语句中用 “ = ”4. Print 语句可以输出常量和表达式的值.5.有多个语
句在一行书写时用 “ ; ”隔开.

例题:当 x 等于 5 时,Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5 Ⅲ.条件语句(conditional statement) : 1. 行 If 语句: If A Then B 注:没有 End If 2. 块 If 语句: 注:①不要忘记结束语句 End If ,当有 If 语句嵌套使用时,有几个 If ,就必须要
有几个 End If ②. Else If 是对上一个条件的否定,即已经不属于上面的条件,另外 Else If 后面也要有 End If ③ 注意每个条件的临界性,即某个值是属于上一个条件里,还是属于下一个条件。④ 为了使得 书写清晰易懂,应缩进书写。格式如下: If Else C End If 例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法. Read a , b , c If a≥b Then If a≥c Then A Then B If A Then B Else If C Then D End If

Read a , b , c If a≥b and a≥c Then Print a

或者

注:1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数

Ⅳ.循环语句( cycle statement) ? 当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N 次也是已知次数的循 : 环 ? 当循环次数不确定时用 While 循环 ? Do 循环有两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应.
For I From 初值 to 终值 Step 步长 … End For For 循环 While A … End While

While 循环

Do

While … Loop

p 当型 Do 循环

Do … Loop Until p 直到型 Do 循环

说明:1. While 循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一般在解决有关问题时,可以 写成 While 循环,较为简单,因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用 While 循环书写的循环都能用 For 循环书 写 3. While 循环和 Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相应变化 5. 注
意临界条件的判定.

. 例题: 设计计算 1? 3 ? 5 ? ...? 99 的一个算法 (见课本 P21 )

S ?1
S ?1 For I From 3 T o 99 Step 2 S ? S? I End For P r int S
?

S ?1 I ?1 While I ? 99 S ? S? I I?I?2 End While Print S
?

I ?1 While I ? 97 I?I?2 S ? S? I End While Print S
?

S ?1 I ?1 Do S ? S? I I?I?2 Loop Until I ? 100 (或者 I ? 99 ) Pr int S
?

S ?1 I ?1 Do I?I?2 S ? S? I Loop Until I ? 99 P r int S
?

S ?1 I ?1 Do While I ? 99 (或者I ? 100 S ? S? I I?I?2 Loop P r int S
?

S ?1 I ?1 ) Do While I ? 97 (或者I ? 99 ) I?I?2 S ? S? I Loop P r int S
?

颜老师友情提醒:1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出伪代码,而有的题目 则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。 2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码比较好写,你也可以在草稿 纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答。一般是先写算法,后画流程图,最后写伪代码。 3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的原因,再加上各种版本,可能同学 会看到各种参考书上的书写格式不一样,而且有时还会碰到我们没有见过的语言,希望大家能以课本为依据,不要被 铺天盖地的资料所淹没!

高中数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、 ? 的顶点与原点重合, 角 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在第几象限, 则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴 n
*

的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360? , 1? ?
l . r

? 终边所落在的区 n

? 180 ? ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,C ? 2r ? l ,
1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余 弦为正. y 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
O

P T v M A x

? sin

2

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; ? 2 ?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将 函数 y ? sin? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍
(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?

函数 y ? ? sin?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则
1 1 ? ? ym a x ? y m i n? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: ??
性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义 域 值域 当
x ? 2 k? ?

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

??1,1?
?
2

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

? k ??? 时 ,
?
2

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最 小值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

? k ??? 时,ymin ? ?1.
周期 性 奇偶 性 在 奇函数
2?

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

?
奇函数

偶函数

? ?? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?
单调 性 在

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上 是 增 函 数 ; 在

? k ??? 上是增函数;
? 3? ? ? ?2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上是减函数.

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对 对称 性 称 中 心 对 称 中 心

? k? ,0?? k ???

x ? k? ?













? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

?
2

?k ? ??

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.

相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , ? 则 ??

?

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C

?

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? ? ?? ? ?

? a
?

? b

?

? ? x1

x2 y1 y2 ,?

?.

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

?a ? ? a ;
?

?

?

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有 一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ??2 时,点 ? 的坐标是 ?

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????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?
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23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

? ?

??

? ?

?

?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时,

?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

? ?

? ?

?

?

?? ?
?

?

?

? ?

?

?? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

?

?2

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .

?

?

?

?

? ? a ?b ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? ? ? ? ? a b
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 x2 ? y2 2 1



tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos ⑶ tan 2? ?
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
? . ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

高中数学必修 5 知识点
1 、 正 弦 定 理: 在 ??? C 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 角 ? 、 ? 、 C 的 对 边, R 为 ??? C 的 外 接 圆 的 半 径,则 有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac
2 2 2

6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

2

2

2

?

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为 等差数列的公差.

18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若 b ? 称 b 为 a 与 c 的等差中项. 19、若等差数列

a?c ,则 2

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、通项公式的变形:① an ? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?

an ? a1 n ?1



④n ?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d



21、 ?an ? 是等差数列, m ? n ? p ? q m 、 、p 、 ? ?* )则 am ? an 若 且 ( , q n ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an

? ap ? aq ; ?an ? 是等差数列, 2n ? p ? q 若 且

? ap ? aq .
n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn ?

* 23、 等差数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2n n ? ? , S2n 则

?

?

n ? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ?S 奇 ?d



S奇 a ? n S偶 an?1



* ② 若 项 数 为 2n ? 1 n ? ? , 则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an , 且 S奇 ? S ? n , a 偶

?

?

S奇 n ( 其 中 S奇 ? n n , ? a S偶 n ? 1

. S偶 ? ? n ?1? an ) 24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为 等比数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab ,则称 G 为 a
2

与 b 的等比中项. 26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 27、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n ?1

?

a n?m an ? n . ;④ q am a1

28、 ?an ? 是等比数列, m ? n ? p ? q( m 、 、p 、 ? ?* ) 则 am ? an ? a p ? aq ; ?an ? 是等比数列, 2n ? p ? q 若 且 , 若 且 q n
* ( n 、 p 、 q?? ) ,则 an

2

? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
* 30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

?q.

② Sn? m

? Sn ? qn ? Sm .

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0


??0

??0







y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实 一元二次方程 数根 有两个相等实 数根 没有实数

ax2 ? bx ? c ? 0

?b ? ? x1,2 ? 2a

? a ? 0? 的根 ? x1 ? x2 ?
ax2 ? bx ? c ? 0

x1 ? x2 ? ?

b 2a



?x x ? x 或x ? x ?
1 2

一元 二次不等 式的解集

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

? a ? 0?
35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? ,所有这样的有序数 对 ? x, y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? .

①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . ①若 ? ? 0 , ?x?? y C 则 ? ? 方的区域. ②若 ? ? 0 , ?x?? y C 则 ? ? 方的区域. 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下

0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域;?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2
41、设 a 、 b 是两个正数,则 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ?? ? a ? 0, b ? 0? ;④ ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .

高二数学选修 2-1 知识点
第一章 常用逻辑用语 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句. 假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个 命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否 命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若

p ,则 q ” ? p ,则 ? q ”. ,则它的否命题为“若

5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为 逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若

p ,则 q ” ? q ,则 ? p ”. ,则它的否命题为“若
逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 真 假 四种命题的真假性之间的关系:

6、四种命题的真假性: 原命题 真 真 假 假

?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同
的真假性;

? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它
们的真假性没有关系.

p q q p 7、若 p ? q ,则 是 的充分条件, 是 的必要条件. p q 若 p ? q ,则 是 的充要条件(充分必要条件) .
8、用联结词“且”把命题 当

p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q .

p 、 q 都是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时, p ? q 是假命题. p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q .

用联结词“或”把命题 当

p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题都是假命题时, p ? q 是假命题. p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ? p .

对一个命题 若

p 是真命题,则 ? p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ? p 必是真命题.

9、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 、 含有全称量词的命题称为全称命题.

全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有

p ? x?

成立” ,记作“ ?x ? ? ,

p ? x?

” .

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 、 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使

p ? x?

成立” ,记作“ ?x ? ? ,

p ? x?

” .

p ? x? ?p ? x ? 10、全称命题 p : ?x ? ? , ,它的否定 ? p : ?x ? ? , .全称命题的否定是特称命题.
第二章 圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点

F , F2 的距离之和等于常数(大于 F F2 )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的 1 1

焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 12、椭圆的几何性质: 焦点的位臵 焦点在 x 轴上 焦点在

y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

范围

?1 ? ?a,0?
顶点



?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? ?1 ? ?b,0?



?2 ? 0, a ?

?1 ? 0, ?b?



?2 ? 0,b ?
长轴的长 ? 2a



?2 ? b,0?

轴长 焦点 焦距 对称性

短轴的长 ? 2b

F1 ? ?c,0?



F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ?



F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、

y 轴、原点对称

离心率

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a
a2 y?? c

准线方程

a2 x?? c

?F1

F d 点 F d 则 d1 13、 ? 是椭圆上任一点, ? 到 1 对应准线的距离为 1 , ? 到 2 对应准线的距离为 2 , 设 点
14、平面内与两个定点

?

?F2 d2

?e


F , F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F F2 )的点的轨迹称为双曲线.这两个定点 1 1

称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 15、双曲线的几何性质: 焦点的位臵 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性

?1 ? ?a,0?



?2 ? a,0?
实轴的长 ? 2a

?1 ? 0, ?a ?



?2 ? 0, a ?

虚轴的长 ? 2b

F1 ? ?c,0?



F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ?



F2 ? 0, c ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?
关于 x 轴、

y 轴对称,关于原点中心对称

离心率

e?

c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a
a2 c
b x a

准线方程

x??
y??

y??
y??

a2 c
a x b

渐近线方程

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

?F1

F d 点 F d 则 d1 17、 ? 是双曲线上任一点, ? 到 1 对应准线的距离为 1 , ? 到 2 对应准线的距离为 2 , 设 点

?

?F2 d2

?e


18、 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 F 称为抛物线的焦点, 定直线 l 称 为抛物线的准线. 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径” ,即 20、焦半径公式:

?? ? 2p



若点

? ? x0 , y0 ? ? ? x0 , y0 ?

在抛物线

y ? 2 px ? p ? 0?
2

上,焦点为 F ,则

?F ? x0 ?

p 2; p 2;

若点

在抛物线

y2 ? ?2 px ? p ? 0?

上,焦点为 F ,则

?F ? ? x0 ?

若点

? ? x0 , y0 ? ? ? x0 , y0 ?

在抛物线

x2 ? 2 py ? p ? 0?

上,焦点为 F ,则

?F ? y0 ?

p 2; p 2.

若点

在抛物线

x2 ? ?2 py ? p ? 0?

上,焦点为 F ,则

?F ? ? y0 ?

21、抛物线的几何性质:

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2
y轴

对称轴

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

第三章 空间向量与立体几何 22、空间向量的概念:

?1? 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.
? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
?? ? 3? 向量 ???? 的大小称为向量的模(或长度) ?? ,记作 . ??? ?

? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1 的向量称为单位向量.
? ? ? ? 5? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ? a .

? 6 ? 方向相同且模相等的向量
23、空间向量的加法和减法:

称为相等向量.

? ?1? 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.即:在空间以同一点 ? 为起点的两个已知向量 a 、

? b 为邻边作平行四边形 ??C ? ,则以 ? 起点的对角线
这种求向量和的方法, 称为向量加法的平行四边形法则.

???? ? ? ?C 就是 a 与 b 的和,

? 2 ? 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角
取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ?? ? a ? b . 24、实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量,称为

形法则.即:在空间任

????

?

??? ?

?

??? ?

? ?

?

?

向量的数乘运算.当

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 时, ? a 与 a 方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向相反;当 ? ? 0 时, ? a 为零向量,记为 0 . ? a 的长度是 a 的
长度的

?

倍.

? ? ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律. 25、设 ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ?b ? ? ?a ? ? ? ?? ? a
分配律:

?

?

;结合律:



26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任 何向量都共线.

? ? ? ? ? ? ? b b ?0 a, a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ?b . 27、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 ,

?

?

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

??? ? ??? ? ???? ? 位于平面 ?? C 内的充要条件是存在有序实数对 x , y ,使 ?? ? x??? y?C ;或对 29、向量共面定理:空间一点 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? C? ? , 有 ? ? ? ? x? ? y ?; 或 ? 四 点 ? , ? , ? , C 共 面 , 则 空 间 任 一 定 点 若 ??? ? ???? ??? ? ???? ?? ? x?? ? y?? ? z?C ? x ? y ? z ? 1?
. 30、已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ???? 称为向量 a , b 的夹角,记作

?

?

????

?

??? ?

?

?

?

? ? ? ? ?a, b ? .两个向量夹角的取值范围是: ? a, b ? ? ?0, ? ? .
? ? ? ?a, b ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ,则向量 a , b 互相垂直,记作 a ? b . 31、对于两个非零向量 a 和 b ,若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a b cos ?a, b ? a ? b ? a b cos?a ,b ? 32、已知两个非零向量 a 和 b ,则 称为 a , b 的数量积,记作 a ? b .即 .零向量
与任何向量的数量积为 0 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? b cos? a , b ? a b a 33、 a ? b 等于 a 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? e ? a ? a ? e ? a cos?a, e? ; 34、若 a , b 为非零向量, e 为单位向量,则有

? ? ? ? ? 2? a ? b ? a ? b ? 0 ;
? ? a ?b ? ? cos? a , b ? ? ? ? a b ? 4?

? ? ? ? ? ? a b a与b同向 ? ? a ?b ? ? ? ? ? ? ?? a b a与b反向 ? 3? ?

?

?

?

? ? ? ?,a ?a ? a

2



? ? ? a ? a ?a



? 5? ;
?

? ? ? ? a ?b ? a b



? ? ? ? ?1? a ? b ? b ? a ; ? 2 ? ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ?b ? ; 35、向量数乘积的运算律:
? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c . ?

?

? ?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ?x, y, z? , p ? xi ? yj ? zk , p, i , j ,k 是空间三个两两垂直的向量, 36、 若 则对空间任一向量 存在有序实数组 使得
? ? ? ? ? ? ? xi , yj , zk 为向量 p 在 i , j , k 上的分量. 称

?x, y, z? , 使得 37、 空间向量 基本定理:若 三个向量 a , b , c 不共面, 则对空间 任一向量 p ,存 在实数组
? ?

?

?

? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc .
38、若三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是

?

?

?

? ? ? ? p p ? xa ? yb ? zc?, x, y, z ? R? .这个集合可看作是由向量 a? , b? , c? 生成的, ?
? ? ? ?a, b , c? 称为空间的一个基底, a , b? , c? 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. ?

?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? e1 , e2 , e3 为有公共起点 ? 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底) e1 , e2 , e3 的公共起 39、设 ,以 e e e y 点 ? 为原点,分别以 1 , 2 , 3 的方向为 x 轴, 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 ?xyz .则对于空间任意一
??? ? ? ? p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点 ? 重合,得到向量 ?? ? p .存在有序实数组 ?x, y, z? ,使得 个向量 ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? p ? xe ? ye ? ze .把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 e1 , e2 , e3 下的坐标,记作 p ? ? x, y, z ? .此时,向 1 2 3

??

?? ?

??

? x, y, z ? . 量 p 的坐标是点 ? 在空间直角坐标系 ?xyz 中的坐标
?
40、设

? a ? ? x1, y1, z1 ?



? b ? ? x2 , y2 , z2 ?

?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? . ,则

? ?

? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .

? ?
?

? 3? ?a ? ?? x1, ? y1, ? z1 ? .
? ? 4 ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 . ? ? ? ? ? 5? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 .
? ? ? ? ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .

?

?

?

?

?

?7?

? ? ? a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12



? ? a ?b ? ? cos? a , b ? ? ? ? ? a b ?8?

x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
2 2 2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 ? y2 ? z2



? 9 ? ? ? x1, y1, z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d??
向量.

??? ? ? ?? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2



??? ? ??? ? ? 作为基点,那么空间中任意一点 ? 的位臵可以用向量 ?? 来表示.向量 ?? 称为点 ? 的位臵 41、在空间中,取一定点
42、空间中任意一条直线 l 的位臵可以由 l 上一个定点 ? 以及一个定方向确定.点 ? 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线

?

??? ? ? ? l 的方向向量,则对于直线 l 上的任意一点 ? ,有 ?? ? ta ,这样点 ? 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位臵,还可以具
体表示出直线 l 上的任意一点. 43、空间中平面 ? 的位臵可以由 ? 内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点 ? ,它们的方向向量分别为

??? ? ? ? ? ? ? ? a , b . ? 为平面 ? 上任意一点,存在有序实数对 ? x, y ? ,使得 ?? ? xa ? yb ,这样点 ? 与向量 a , b 就确定了平面

? 的位臵.
44、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量. 45、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,则 a // b ? a // b ?

?

?

?

?

?

?

? ? a ? ?b ? ? ? R ?

, a ? b ? a ? b ? a ?b ? 0.

?

?

? ?

46、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? ,则 a // ? ? a // ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ? n .
47、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a , b ,则 ? // ? ? a // b ?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .
48、设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为

?

?

? ,则有

? ? a ?b cos? ? cos ? ? ? ? a b



? 49 、 设 直 线 l 的 方 向 向 量 为 l , 平 面 ? 的 法 向 量 为 n , l 与 ? 所 成 的 角 为 ? , l 与 n 的 夹 角 为 , 则 有

?

?

?

?

? ? l ?n sin ? ? cos ? ? ? ? l n



?? ?? ? ?? ?? ? n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角 50、设

的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则

?? ?? ? n1 ? n2 cos ? ? ?? ?? ? n1 n2



??? ? ??? ? ?? 51、点 ? 与点 ? 之间的距离可以转化为两点对应向量 ?? 的模 计算.
52 、 在 直 线 l 上 找 一 点 ? , 过 定 点 ? 且 垂 直 于 直 线 l 的 向 量 为 n , 则 定 点 ? 到 直 线 l 的 距 离 为

?

??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? n



53 、 点 ? 是 平面 ? 外 一 点, ? 是 平 面 ? 内 的一 定点 , n 为平 面 ? 的 一 个法 向量 ,则点 ? 到 平面 ? 的 距 离为

?

??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? n



数学选修 2-2 知识点总结
导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 ,即
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

f ?( x0 ) = lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

例1. 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系

h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10
运动员在 t=2s 时的瞬时速度是多少? 解:根据定义

v ? h?(2) ? lim

h(2 ? ?x) ? h(2) ? ?13.1 ?x ?0 ?x

即该运动员在 t=2s 是 13.1m/s,符号说明方向向下 2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 P 趋近于 P 时,直线 PT 与曲线相切。容易知道,割线 n

PPn 的斜率是 kn ?


f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 P 趋近于 P 时,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k, n xn ? x0 f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

k ? lim

?x ?0

3. 导函数:当 x 变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x ) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有时也记作 y? , 即

f ?( x) ? lim
二.导数的计算 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 3.函数 y ? f ( x) ? x 的导数
2

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

4.函数 y ? f ( x ) ?

1 的导数 x

基本初等函数的导数公式: 1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ; 2 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x
?

? ?1

;

3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ;

5 若 f ( x) ? a x ,则 f ?( x) ? a x ln a 6 若 f ( x) ? e x ,则 f ?( x) ? e x

1 x ln a 1 8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x
x 7 若 f ( x) ? loga ,则 f ?( x ) ?

导数的运算法则 1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)

3. [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 ( a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) , f (b) 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

第二章 推理与证明 考点一 合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从 特殊到一般的过程,它属于合情推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类 比推理. 类比推理的一般步骤: (1) 找出两类事物的相似性或一致性; (2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想); (3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么 他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠. 考点二 演绎推理(俗称三段论) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三 数学归纳法 1. 它是一个递推的数学论证方法. 2. 步骤:A.命题在 n=1(或 n0 )时成立,这是递推的基础; B.假设在 n=k 时命题成立 C.证明 n=k+1 时命题也成立, 完成这两步,就可以断定对任何自然数(或 n>= n0 ,且 n ? N )结论都成立。 考点三 证明 1. 反证法: 2. 分析法: 3. 综合法:

第一章 数系的扩充和复数的概念 考点一:复数的概念 (1) 复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi (a ? R, b ? R ) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做纯虚数. (3) (4) (5) (6) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

考点二:复数的运算 1.复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 则

z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i z1 ? z2 ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i
z1 (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ? ( z2 ? 0) z2 c2 ? d 2
2,几个重要的结论

(1) | z1 ? z2 |2 ? | z1 ? z2 |2 ? 2(| z1 |2 ? | z2 |2 ) (2) z ? z ?| z |2 ?| z |2 (3)若 z 为虚数,则 | z |2 ? z 2 3.运算律 (1) z ? z ? z
m n m? n

n ;(2) ( z m )n ? z mn ;(3) ( z1 ? z2 )n ? z1 ? z2n (m, n ? R)

4.关于虚数单位 i 的一些固定结论: (1) i ? ?1 (2) i ? ?i
2 3

(3) i ? 1
4

(2) i ? i
n

n?2

? i n ?3 ? i n ? 4 ? 0

高中数学
第一章 计数原理 知识点:

选修 2-3 知识点

3. 分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1 种不同的方法,在第二类办法中有 M2 种不同的方法,……,在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法,那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不同的方 法。 2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 N 个步骤,做第一 步有 m1种不同的方法,做第二步有 M2不同的 方法,……,做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、排列:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 ...... 一个排列 4、排列数:

A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?

n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

5、组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
n 6、组合数: C? ? m ? ? Cm m n m n n

A m m n(n(? 1)1) ?(? mm 1)1) m m n n ? ? (n n ? ? ? n!n! A C C?n ? n m! ! m!(n(? m)! )! Am m m m! n ? m A
1 m C m?n ?C m ?C n?1 n
n nn 2 01 ? n 1 ? 2 2 r r n ? r n n

C m ?C n?m ; n n

a n n C CC ?? n … b C ba ? ) C? ?… a a a n? n 7、二项式定理: ( ? b ? b b

n 8、二项式通项公式 ? a 二 式( 1 项 :? n 展 Tb … 开r C 0 ) 式? r 的 rr 通n r , 项? 公 … 1

第二章 随机变量及其分布 知识点:
1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果的不同而变化,那么 这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ 、η 等表示。 2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按一定次序一一列出, 这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率 P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, …

;② p1 + p2 +…+pn= 1.

5、二点分布:如果随机变量 X 的分布列为:

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布

6、超几何分布:一般地, 设总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n(n≤N)件,这 n 件中所含这 类物品件数 X 是一个离散型随机变量, 则它取值为 k 时的概率为 P ( X ? k ) ? 其中 m ? min
k n C M C N? kM ? (k ? 0,1, 2,? , m ) , n CN

?M , n? ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N *

7、条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率.记作 P(B|A), 读作 A 发生的条件下 B 的概率 8、公式: P ( AB) P ( B | A) ? , P ( A) ? 0. P ( A) 9、相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 10、n 次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 11、二项分布: 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数,A 发生次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中
k ? Cn pk qn?k (其中 某事件发生的概率是 p,事件 A 不发生的概率为 q=1-p,那么在 n 次独立重复试验中 P(? ? k )

k=0,1, ……,n,q=1-p ) 于是可得随机变量ξ的概率分布如下:

这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 ξ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+… 为ξ的数学期望或平均数、 均值, 数学期望又简称为期望. 是离散型随机变量。 2 2 2 13、方差:D(ξ)=(x1-Eξ) 〃P1+(x2-Eξ) 〃P2 +......+(xn-Eξ) 〃Pn 叫随机变量ξ的均方差,简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览:

期望 两点分布 二项分布,ξ ~ B(n,p)

方差 Dξ =pq,q=1-p Dξ =qEξ =npq, (q=1-p)

Eξ =p Eξ =np

15、正态分布: 若概率密度曲线就是或近似地是函数

f ( x) ?

? 1 e 2? ?

( x?? )2 2? 2

, x ? ( ?? ,?? )

( 的图像,其中解析式中的实数 ?、? ? ? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差.

则其分布叫正态分布 记作:N (? , ? ) ,f( x )的图象称为正态曲线。 16、基本性质:

①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x=

? 时位于最高点.

③当时 x ? ? ,曲线上升;当时 x ? ? ,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限 靠近. ④当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定. ? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散; ? 越小,曲线越“瘦高” , 表示总体的分布越集中. ⑤当σ相同时,正态分布曲线的位臵由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于 1. 17、 3 ? 原则: 从上表看到,正态总体在 (? ? 2? , ? ? 2? ) 以外取值的概率 只有 4.6%,在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 以外取值的概率只有

0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能 发生的. 1.某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可以继续参加科目 B 的考试。每个科目只允 许有一次补考机会, 两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书, 现在某同学将要参加这项考试, 已知他每次考科目 A

2 1 ,每次考科目 B 成绩合格的概率均为 。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会,且每次 3 2 的考试成绩互不影响,记他参加考试的次数为 X 。 (1)求 X 的分布列和均值;
成绩合格的概率均为 (2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。 2.济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4 个旅游景点,一位客人浏览这四个景点的概率分别是 0.3,0.4,0.5, 0.6, 且客人是否游览哪个景点互不影响, ? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。 设 (1)求 ? =0 对应的事件的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望。

3. 袋子中装有 8 个黑球,2 个红球,这些球只有颜色上的区别。 (1)随机从中取出 2 个球, ? 表示其中红球的个数,求 ? 的分布列及均值。 (2)现在规定一种有奖摸球游戏如下:每次取球一个,取后不放回,取到黑球有奖,第一个奖 100 元,第二个奖 200 元,…,第 k 个奖 k ? 100 元,取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球,按照这种规则,取球多少次比较适宜? 说明理由。

第三章 统计案例 知识点:
1、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较精确地给出这 种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量 K^2 的值(即 K 的平方) K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中 n=a+b+c+d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大。 K2≤3.841 时,X 与 Y 无关; K2>3.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K2>6.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关 2、回归分析

? 回归直线方程 y ? a ? bx

? xy ? n ? x? y ? ( x ? x )( y ? y ) SP 其中 b ? , ? ? 1 SS ? (x ? x) ? x ? n (? x )
2 2 2 x

1

a ? y ? bx

高中数学
1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b
c d

选修 4--5 知识点

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)
n n

⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?
2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③(三个正数的算术—几何平均不等式) ④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?
2 2 2

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? , ⑦ ? (其中 a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a; x

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

3、几个著名不等式 ①平均不等式:

2 a?b a 2 ? b2 , a, b ? R? ,当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号). ? ab ? ? ( ?1 ?1 a ?b 2 2

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式:
2 2 ( a ? b) 2 ? a?b ? a ?b 2 2 . ab ? ? ; a ?b ? ? ? 2 2 ? 2 ? 2

②幂平均不等式:

a12 ? a2 2 ? ... ? an 2 ?

1 (a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 . n

③二维形式的三角不等式:

x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ( x1 , y1 , x2 , y2 ? R).
④二维形式的柯西不等式:

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a, b, c, d ? R). 当且仅当 ad ? bc 时,等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? a32 )(b12 ? b22 ? b32 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 .
⑥一般形式的柯西不等式:

(a12 ? a22 ? ... ? an2 )(b12 ? b22 ? ... ? bn2 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2 .
⑦向量形式的柯西不等式: 设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ? 是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. ⑧排序不等式(排序原理) : 设 a1 ? a2 ? ... ? an , b1 ? b2 ? ... ? bn 为两组实数. c1 , c2 ,..., cn 是 b1 , b2 ,..., bn 的任一排列,则 ,当且仅当 a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn . (反序和 ? 乱序和 ? 顺序和)

? ?? ?

? ?? ?

? ?? ?

??

? ?

? ?

a1 ? a2 ? ... ? an 或 b1 ? b2 ? ... ? bn 时,反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:(特例:凸函数、凹函数) 若定义在某区间上的函数 f ( x ) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 或 2 2 f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则称 f(x)为凸(或凹)函数. )? . 2 2

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

②将分子或分母放大(缩小) ,



1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 2 k

?

2 1 2 ? ? , k? k k k ? k ?1

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0)

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“ ( ? 或 ?” 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?









规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法:
f ( x) ⑴当 a ? 1 时, a ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

⑵当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) 规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

? f ( x) ? 0 ? ⑴当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? . ⑵当 0 ? a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
2

⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?
2

?a ? 0 ?? ? 0.

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

②当 a ? 0 时 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所以, 在实际判断 时, 往往只需在直线某一侧任取一特殊点 ( x0 , y0 )(如原点) 由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ,

? 0) 表示直线哪一侧的平面区域.
即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. 法二: 根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) , 观察 B 的符号与不等式开口的符号, 若同号, Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表 示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域. 即:同号上方,异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都在该公共区 域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为目标函数 z 的最大值, 最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域,将直线 l0 平 行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大 值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ?

A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的纵截距最小 的角点处, z 取得最小值;

②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的纵截距最小 的角点处, z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;

②“斜率”型: z ?

y y ?b ; 或z ? x x?a
x2 ? y 2 ;

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ?

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.


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