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辽宁省大连市20中2013-2014学年高二上学期期中考试 数学试题 Word版

时间:2013-11-27


2013-2014 学年度上学期期中考试
高二数学试卷
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 下列方程表示的曲线中离心率为

C. 0 ? a ? 2 6. 已知 m ? a ? A. m ? n

C. m ? n

D. 0 ? a ? 2

1 1 2 (a ? 2) , n ? ( ) x ? 2 ( x ? 0) .则 m, n 之间的大小关系是( a?2 2
B. m? n D. m ? n



7. 若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列,c, a, b 成等比数列, a ? 3b ? c ? 10 , a ? 且 则 (



6 的是( 2
2



A.

4

B.

2

C. -2

D. -4

A.

y x ? ?1 2 4 x2 y2 ? ?1 4 6


2

2

B.

y x ? ?1 4 2 x2 y2 ? ?1 4 10

2

C.

D.

8.已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F ,直线 y ? k( x? 2) 与此抛物线相交于 P, Q 两点,则 1 1 ?( ? ) | FP | | FQ | 1 A. B. 1 C. 2 D. 4 2 9.已知命题 P: “对任意 x ?[1,2], x 2 ? a ? 0 ”.命题 q: “存在 x ? R, x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”. 若“ p ? q ”是真命题,则实数 a 取值范围是( A. a ? ?2 B. a ? ?2 或 a ? 1 ) D. a ? 1 C. a ? ?1 或 1 ? a ? 2

2. 下列命题中是假命题的是( A. ?x ? R,2 x ?1 ? 0 C. ?x ? R, lg x ? 1 3. “ 2 ? m ? 6 ”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件
2

B. ?x ? N ? , ( x ? 1) 2 ? 0 D. ?x ? R, tan x ? 2

y2 x2 ? ? 1 为椭圆方程”的( m?2 6?m
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



?x ? y ? 2 ? 0 ? 10.实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 则目标函数 z ? y ? ax(a ? R) 当且仅当 x ? 1, y ? 3 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
时取最大值,则 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (?1,0) ) C. (1,??) D. (??,?1)

11.已知正项等比数列 ?a n ?满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 a m , a n 使得 a m a n ? 4a1 ,则 ( )

4. 抛物线 y ? 2x 的焦点 F 到准线 l 的距离是 A. 2 B. 1

1 C. 2

1 D. 4
)

5. 原点 O 和点 P(1,1) 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A. a ? 0 或 a ? 2 B. a ? 0 或 a ? 2

1 4 ? 的最小值为( m n 3 A. 2
椭圆 C : 12.

) B.

5 3

C.

25 6

D. 不存在

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P , a 2 b2

使得 ?F1F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是(



18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, 且 an?1 ? an ? n ? 1(n ? N ? ) , bn ? 求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n . 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a (1)当 a ?

1 2 A. ( , ) 3 3

1 B. ( ,1) 2

2 C. ( ,1) 3

1 1 1 D. ( , ) ? ( ,1) 3 2 2

1 . an

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分. 13.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为_________________. a 2 b2

14.命题“若 x ? A ? B, 则 x ? A 或 x ? B ”的否命题为_____________________________.

1 时,求不等式 f ( x) ? 1 的解集; 2

x2 y2 ? ? 1 的 两 个 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若 15. 已 知 F1 , F2 为 椭 圆 25 9

(2)若对于任意 x ? [1,??), f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 20. (本小题满分 12 分)

| F2 A | ? | F2 B |? 12 ,则 | AB | =__________.
16.下列命题成立的是
2 2 2

已知一条曲线 C 在 y 轴右侧, C 上每一点到点 F ((1,0) 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2 已知点 P 是曲线 C 上一个动点, Q 是直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 上一个动点, | PQ | 的最小值. 点 求 21.(本小题满分 12 分) 已知集合 A= x | x ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0 ,集合 B= ? x |
2

. (写出所有正确命题的序号) .

① a, b, c ? R , a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ; ②当 x ? 0 时,函数 f ( x) ? 取最小值; ③当 x ? 1 时,

1 1 2 2 ,∴当且仅当 x ? 2 x 即 x ? 2 时 f (x) ? 2x ? 2 2 ? 2x ? 2 2 x x x

?

?

? ?

? x ? 2a ? 0? . 2 x ? ( a ? 1) ?

命题 P: x ? A ;命题 q: x ? B .q 是 p 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

x2 ? x ? 4 ? 5; x ?1
1 ? x 1 x? 1 x
的最小值为

22.(本小题满分 12 分)

④当 x ? 0 时, x ?

5 . 2

x2 y2 已知椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,直线 y ? kx(k ? 0) 与椭圆 M 交于 A、B 两点,直线 a b 1 1 y ? - x 与椭圆 M 交于 C、D 两点, P 点坐标为 ( a, 0) ,直线 PA 和 PB 斜率乘积为 ? . 2 k (1)求椭圆 M 离心率;
(2)若弦 AC 的最小值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知双曲线 C 的方程

2 6 ,求椭圆 M 的方程. 3

y2 x2 ? ? 1,求与双曲线有共同焦点且经过点 (4, 5 ) 的椭圆的方程. 3 2

2013-2014 学年度上学期期中考试高二数学试题答案
一、选择题:B B B C D 二、填空题:13. y ? ? 2 x 15.8 三、解答题: 17.解:∵双曲线的焦点为 (0,? 5 ), (0, 5 ) ∴椭圆焦点在 y 轴上且半焦距是 5 ---------------2 分 --------------------4 分 A D A B C A D 14.若 x ? A ? B, 则 x ? A 且 x ? B 16.①③④

∴ bn ?

2 1 1 ? 2( ? ) n(n ? 1) n n ?1
1 2 ?
2

---------------------------------8 分

∴ S n ? 2(1 ?

1 2

?

1 3

???

1 n

?

1 2n ) ? 2(1 ? )? ----12 分 n ?1 n ?1 n ?1
-------------------2 分

1

19.解: (1)由 x ? 2 x ? ∴ ? x | x ? ?1 ?

1 ? 1 得 2x 2 ? 4x ? 1 ? 0 2

? ?

6 6? , 或x ? ?1 ? ? 2 2 ?

-------------------4 分

y2 x2 设椭圆方程为 2 ? 2 ?1 a a ?5
将点 (4, 5 ) 代入得 a ? 26a ? 25 ? 0
4 2

-----------------------5 分

2 (2) x ? 2 x ? a ? 0 对 ? x∈[1,+ ? )恒成立

∴ a ? ?x ? 2x
2

-------------------------------------6 分 ----------------------------------8 分 ---------------------------10 分 ------------------------------------------12 分

--------------6 分 令 g ( x) ? ? x 2 ? 2 x

∴ a ? 25 或 a ? 1 (舍)
2 2

---------------------------8 分 当 x ? 1 时, g max ( x) ? ?3 -----------------------10 分 ∴ a ? ?3 (注:分类讨论解法酌情给分)

∴椭圆方程为

y x ? ?1 25 20

2

2

18.解: ∵ an?1 ? an ? n ? 1(n ? N ? ) ∴ n ? 2 时 an ? an?1 ? n

20.解:(1)设 P( x, y) 是曲线 C 上任意一点,那么点 P( x, y) 满足:

? a 2 ? a1 ? 2 ?a ? a ? 3 2 ? 3 (n ? 2)( n ? 1) ? ∴ ----------------4 分 ?a 4 ? a 3 ? 4 累加得 a n ? a1 ? 2 ??? ? ?a n ? a n ?1 ? n ? n(n ? 1) (n ? 2) 经检验 n ? 1 也成立 又 a1 ? 1, ∴ a n ? 2 n(n ? 1) (n ? N ? ) --------------------------------------6 分 ∴ an ? 2

( x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1( x ? 0) .
化简得 y ? 4 x( x ? 0) . -------------------------------4 分 (或由定义法) (2)( 文 科 ) 设 点 P( x, y) , 则 点 P 到 直 线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的 距 离 为
2

y2 ? 2y ? 5 | | x ? 2y ? 5 | | y 2 ? 8 y ? 20 | 4 5 4 ? ? ? ? 当 y ? ?4 时 最 小 , 即 | PQ | 5 5 5 4 5 4 5 |
最小值为

5 (文科两问均 6 分,(2)的其它解法酌情给分) 5 (理科)设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) . 设 l 的方程为 x ? ty ? m ,

由?

? x ? ty ? m ? y ? 4x
2

得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , -------------------------6 分

∵ B ? A∴?

?3a ? 1 ? 2 a
2 ?a ? 1 ? 2

解得 a ? ?1

------------------------—11 分

? y1 ? y 2 ? 4t ① ? ? 16(t 2 ? m) ? 0 ,且 ? ? y 1 y 2 ? ?4 m
又 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) , ∵ FA · FB ? 0

综上, a 的取值范围为 ?a | 1 ? a ? 3, 或a ? ?1? ---------------------------12 分 22.解: (1)设 A( x1 , y1 ) ,由对称性得 B(? x1 ,? y1 )

∴ ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y 2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y 2 ? 0 ②

y2 y2 y2 y2 y2 又x? ,②式可化为 1 ? 2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1 ? y1 y 2 ? 0 4 4 4 4 4 2 (y y ) 1 ? [( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ] ? 1 ? y1 y 2 ? 0 即 1 2 16 4 2 2 将①代入上式,得 m ? 6m ? 1 ? 4t . -----------------------8 分 ∵对任意实数 t 上式成立, ∴ m 2 ? 6m ? 1 ? (4t 2 ) min , 而 (4t 2 ) min ? 0 -----------------------10 分 2 即 m ? 6m ? 1 ? 0 ∴3? 2 2 ? m ? 3? 2 2. ∴ 存 在 正 数 m , 对 于 过 点 M (m,0) 且 与 曲 线 C 有 两 个 交 点 A, B 的 任 一 直 线 , 都 有

x12 y12 将 A( x1 , y1 ) 代入椭圆得 2 ? 2 ? 1 a b

K PA ? K PB

x12 ) 2 y1 ? y1 y12 a2 ? ? b ? ? ? 2 ? 2 x1 ? a ? x1 ? a x1 ? a 2 x1 ? a 2 a2 b 2 (1 ?

------------2 分

FA · FB ? 0 ,且 m 的取值范围 (3 ? 2 2,3 ? 2 2 ) . -----------------------12 分
21.解: A ? ?x | ( x ? 2)(x ? 3a ? 1) ? 0?-----------------------------------1 分

1 时, A ? ? ,而 B ? ? ,不满足题意,舍 ------3 分 3 1 ②当 2 ? 3a ? 1 ,即 a ? 时, A ? ?x | 2 ? x ? 3a ? 1? 3
① 当 2 ? 3a ? 1 ,即 a ?
2 ∵ 2a ? a ? 1 ∴当 a ? 1 时, B ? ? , B ? A 满足题意 ---------------5 分

1 b2 1 c2 1 2 ∴ 2 ? ∴ 2 ? ∴e ? ---------------------5 分 2 a 2 a 2 2 ? y ? kx 2 2 2 (2)椭圆方程可化为 x ? 2 y ? a 联立 ? 2 2 2 ?x ? 2 y ? a a2 k 2a2 2 , y2 ? 得x ? ---------------------------------7 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 a 2 (1 ? 2 ) 2 2 a (1 ? k ) 2 2 k 设 O 为坐标原点,则 | OA | ? 同理可得 | OC | ? 2 1 ? 2k 2 1? 2 k
又 K PA ? K PB ? ? ∴

2 当 a ? 1 时, B ? x | 2a ? x ? a ? 1

?

?
-------------------------8 分

∵ B ? A ∴?

?2 ? 2 a
2 ?a ? 1 ? 3a ? 1

解得 1 ? a ? 3

③ 2 ? 3a ? 1 ,即 a ?

1 时 A ? ?x | 3a ? 1 ? x ? 2? 3

1 3 3 ) (2k 4 ? 5k 2 ? 2) ? k 2 4 2 2 a (1 ? k ) k ? a 2 ? 3k ? 6k ? 3 ? a 2 ? 2 2 | AC | 2 ? ? 2 2 1 ? 2k 2k 4 ? 5k 2 ? 2 2k 4 ? 5k 2 ? 2 1? 2 k 3 1 4 ? a 2 (1 ? ) ? a2 -------------------------------10 分 2 2 3 2k 2 ? 2 ? 5 k 4 2 2 6 2 8 2 ) ? ∴a2 ? 2 当且仅当 k ? 1 即 k ? ?1 时取等号,此时 a ? ( 3 3 3 2 x ? y2 ?1 ∴椭圆方程为 --------------------------------12 分 2
2 2

a 2 (1 ?


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