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广西桂林十八中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)

时间:2016-08-14


广西桂林十八中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A∩B=( ) A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3} 考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:直接利用

交集的运算得答案. 解答: 解:∵A={0,1,2,4},B={1,2,3}, ∴A∩B={0,1,2,4}∩{1,2,3}={1,2}. 故选:C. 点评:本题考查交集及其运算,是基础题.

2.已知复数 z= A.2﹣i

,则复数 z 等于( B.2+i

) C.﹣2+i D.﹣2﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:分子分母同乘以 i,化简可得. 解答: 解:化简可得 z=

=

=

=2﹣i

故选:A 点评:本题考查复数的代数形式的乘除运算,属基础题. 3.已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=( A. B. C.﹣ ) D.﹣

考点:任意角的三角函数的定义. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= =5.

∴cosα= =

=﹣ ,

故选:D. 点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.

4.函数 y=3sin(2x+ A.x=

)的一条对称轴方程为( B.x= C.x=

) D.x=

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:直接利用正弦函数的对称轴方程,求出函数函数 y=3sin(2x+ 轴的方程即可. 解答: 解:y=sinx 的对称轴方程为 x=kπ+ 所以函数 y=3sin(2x+ 解得 x= , =kπ+ ,k∈Z. ) 的图象的一条对称

)的图象的对称轴的方程是 2x+

,k∈Z,k=0 时显然 D 正确,

故选:D. 点评: 本题是基础题, 考查三角函数的对称性, 对称轴方程的求法, 考查计算能力, 推理能力. 5.设 a=log2π,b=log A.a>b>c π,c=π ,则( B.b>a>c
﹣2

) C.a>c>b D.c>b>a

考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据对数函数和幂函数的性质求出,a,b,c 的取值范围,即可得到结论. 解答: 解:log2π>1,log π<0,0<π <1,
﹣2

即 a>1,b<0,0<c<1, ∴a>c>b, 故选:C 点评:本题主要考查函数值的大小比较,利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键,比 较基础.

6.已知两个单位向量 , 的夹角为 60°, =t +(1﹣t) ,若 ? =0,则 t=( A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2

)

考点:平面向量数量积的运算.

专题:计算题. 分析:根据向量数量积的运算得出关于 t 的方程并求解即可. 解答: 解:因为 故 , ,

解得 t=2. 故选:C 点评:本题主要考查数量积的运算,结合了方程思想. 7.数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是常数) ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列,则 a4=( ) A.4 B.8 C.10 D.14 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据题意先求出 a1,a2,a3,再由等比中项的性质列出关于 c 的方程,求出 c 的值验证 公比不为 1,从而求出 a1,a2,a3,再由递推公式求出 a4. 解答: 解:由题意得,a1=2,an+1=an+cn, 所以 a2=2+c,a3=2+3c, 因为 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列, 所以 ,即(2+c) =2×(2+3c) ,
2

解得且 a1,a2,a3 成或 c=0, 当 c=0 时,且 a1=a2=a3=2,则公比为 1,故舍去,所以 c=2, 则且 a1=2,a2=4,a3=8,a4=a3+2×3=14, 故选:D. 点评:本题考查等比中项的性质应用,以及数列的递推公式,属于基础题. 8. 从{2, 3, 4}中随机选取一个数 a, 从{2, 3, 4}中随机选取一个数 b, 则 b>a 的概率是( A. B. C. D. )

考点:古典概型及其概率计算公式;几何概型. 专题:概率与统计. 分析:由分步计数原理可得总的方法共 9 种,列举可得满足 b>a 的共 3 种,由古典概型的概 率公式可得. 解答: 解:{2,3,4}中随机选取一个数 a 共有 3 种方法, 从{2,3,4}中随机选取一个数 b 共有 3 种方法, ∴共有 3×3=9 种方法, 其中满足 b>a 的有(2,3) , (2,4) , (3,4)共 3 种, ∴b>a 的概率是 P= = 故选:C

点评:本题考查古典概型,涉及分步计数原理,属基础题.

9.平面几何中, 有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值 棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( A. B. C. ) D.

,类比上述命题,

考点:类比推理. 专题:规律型;空间位置关系与距离. 分析:由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点的性 质类比推理出空间里的线的性质, 由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质, 由平面 图形中面的性质类比推理出空间中体的性质. 固我们可以根据已知中平面几何中, 关于线的性 质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”, 推断出一个空间几何中一个关于面的性 质. 解答: 解:类比在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 在一个正四面体中,计算一下棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和, 如图: 由棱长为 a 可以得到 BF=
2 2 2



,BO=AO=

a﹣OE,

在直角三角形中,根据勾股定理可以得到 BO =BE +OE , 把数据代入得到 OE= a, a= a,

∴棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和 4× 故选 B.

点评:本题是基础题,考查类比推理及正四面体的体积的计算,转化思想的应用,考查空间想 象能力,计算能力. 10.已知 a>0,且 a≠1,则函数 f(x)=a +(x﹣1) ﹣2a 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.与 a 有关
x 2

)

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. x 2 x 分析:令 g(x)=a ﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1) ,而 x=1 时:g(x)=a ﹣2a=﹣a<0,h(x)= 2 ﹣(x﹣1) =0,从而得出函数有 2 个交点,即函数 f(x)有 2 个零点. 解答: 解:令 f(x)=0, 得:a ﹣2a=﹣(x﹣1) , x 2 令 g(x)=a ﹣2a,h(x)=﹣(x﹣1) , x 2 x=1 时:a ﹣2a=﹣a<0,﹣(x﹣1) =0, a>1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:
x 2

, 两个函数有 2 个交点; 0<a<1 时,画出函数 g(x)和 h(x)的草图, 如图示:

, 两个函数有 2 个交点, 故选:B. 点评:本题考查了函数的零点问题,考查转化思想,考查数形结合思想,是一道基础题.

11.执行如图所示的程序框图,如果输入的 x,y∈R,那么输出的 S 的最大值为

(

) A.0 B.1 C.2 D.3

考点:程序框图. 专题:计算题;算法和程序框图. 分析:算法的功能是求可行域 得最大值的点的坐标,求出最大值. 解答: 解: 由程序框图知: 算法的功能是求可行域 画出可行域如图: 内, 目标还是 S=3x+y 的最大值, 内,目标还是 S=3x+y 的最大值,画出可行域,求得取



时,S=3x+y 的值最大,且最大值为 3.

故选:D. 点评: 本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法, 根据框图的流程判断算法的 功能是解题的关键.

12.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1.直 径为 4 的球的体积为 V2,则 V1:V2=( )

A.1:4

B.1:2

C.1:1

D.2:1

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由三视图判断几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,且圆柱与圆锥的底面圆直径为 4,高为 2,代入体积公式求出 V1,V2,再计算 .

解答: 解: 由三视图判断几何体为一个圆柱挖去一个圆锥, 且圆柱与圆锥的底面圆直径为 4, 高为 2, ∴V1=π×2 ×2﹣ π×2 ×2= V2= ×π×2 =
3 2 2

π,

π;



= .

故选 B. 点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,考查了球的体积公式与圆锥、圆柱的体积公式, 关键是由三视图判断几何体的形状. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.把答案填在题中横线上. 13.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=8. 考点:等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等差数列的性质结合已知求得 2a4=10,再由 a1,a4,a7 成等差数列求得 a7. 解答: 解:在等差数列{an}中, 由 a3+a5=10,得 2a4=10, 又 a1=2,

∴a7=2a4﹣a1=10﹣2=8. 故答案为:8. 点评:本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础题.

14. 正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2, 则异面直线 A1B 与 B1C1 所成角的余弦值为



考点:异面直线及其所成的角. 分析:连结 A1C,由 B1C1∥BC,得异面直线 A1B 与 B1C1 所成角为∠A1BC,由此利用余弦定 理能求出结果. 解答: 解:连结 A1C,∵B1C1∥BC, ∴异面直线 A1B 与 B1C1 所成角为∠A1BC, ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱长均为 2, ∴ ,BC=2,

∴cos∠A1BC= = = . .

故答案为:

点评: 本题考查异面直线 A1B 与 B1C1 所成角的余弦值的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意余弦定理的合理运用.

15.函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是 .

考点:三角函数的最值. 专题:计算题.

分析:利用二倍角公式对函数化简可得 y=cos2x+2sinx=1﹣ 2sin x+2sinx=
2

,结合﹣1≤sinx≤1 及二次函数的性质可求函数有最大值
2

解答: 解:∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin x+2sinx= 又∵﹣1≤sinx≤1 当 sinx= 时,函数有最大值 故答案为: 点评: 本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简, 二次函数在闭区间上的最值的 求解,解题中要注意﹣1≤sinx≤1 的条件. 16.定义在 R 上的函数 f(x) ,其图象是连续不断的,如果存在非零常数 λ(λ∈R,使得对任 意的 x∈R,都有 f(x+λ)=λf(x) ,则称 y=f(x)为“倍增函数”,λ 为“倍增系数”,下列命题 为真命题的是①③④(写出所有真命题对应的序号) . ①若函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数,则 y=f(x)至少有 1 个零点; ②函数 f(x)=2x+1 是倍增函数,且倍增系数 λ=1; ③函数 是倍增函数,且倍增系数 λ∈(0,1) ; .

④若函数 f(x)=sin(2ωx) (ω>0)是倍增函数,则

考点:命题的真假判断与应用. 专题:新定义. 分析:由函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数,知 f(x﹣2)=﹣2f(x) ,由此得到 y=f (x) 至少有 1 个零点; 由f (x) =2x+1 是倍增函数, 知2 (x+λ) +1=λ (2x+1) , 故 由 数,得 是倍增函数,得 . ≠1;

∈(0,1) ;由 f(x)=sin(2ωx) (ω>0)是倍增函

解答: 解:∵函数 y=f(x)是倍增系数 λ=﹣2 的倍增函数, ∴f(x﹣2)=﹣2f(x) , 当 x=0 时,f(﹣2)+2f(0)=0, 若 f(0) ,f(﹣2)任一个为 0,函数 f(x)有零点. 若 f(0) ,f(﹣2)均不为零,则 f(0) ,f(﹣2)异号, 由零点存在定理,在(﹣2,0)区间存在 x0,f(x0)=0, 即 y=f(x)至少有 1 个零点,故①正确; ∵f(x)=2x+1 是倍增函数, ∴2(x+λ)+1=λ(2x+1) , ∴ ∵ ≠1,故②不正确; 是倍增函数,

∴e ∴ ∴

﹣(x+λ)

=λe , , ∈(0,1) ,故③正确;

﹣x

∵f(x)=sin(2ωx) (ω>0)是倍增函数, ∴sin=λsin(2ωx) , ∴ .故④正确.

故答案为:①③④. 点评:本题考查命题的真假判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= . (Ⅰ)求 cos∠CAD 的值; (Ⅱ)若 cos∠BAD=﹣ ,sin∠CBA= ,求 BC 的长.

考点:解三角形的实际应用. 专题:解三角形. 分析: (Ⅰ)利用余弦定理,利用已知条件求得 cos∠CAD 的值. (Ⅱ)根据 cos∠CAD,cos∠BAD 的值分别,求得 sin∠BAD 和 sin∠CAD,进而利用两角和 公式求得 sin∠BAC 的值,最后利用正弦定理求得 BC. 解答: 解: (Ⅰ)cos∠CAD= = = .

(Ⅱ)∵cos∠BAD=﹣ ∴sin∠BAD= ∵cos∠CAD= ∴sin∠CAD= , = =

, ,

∴sin∠BAC=sin(∠BAD﹣∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD﹣ cos∠BADsin∠CAD= ∴由正弦定理知 ∴BC= × = ?sin∠BAC= × + × , =3 = ,

点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,三角函数恒等变换的应用.考查了学 生对基础知识的综合运用. 18.已知{an}是递减的等差数列,a2,a3 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.
2

考点:数列的求和;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析: (1)方程 x ﹣5x+6=0 的两根为 2,3.由题意得 a2=3,a3=2.再利用等差数列的通项公 式即可得出; (2)利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)方程 x ﹣5x+6=0 的两根为 2,3. 由题意得 a2=3,a3=2. 设数列{an}的公差为 d,则 a3﹣a2=d, 故 d=﹣1,从而得 a1=4. ∴{an}的通项公式为 an=﹣n+5. (2)设 的前 n 项和为 Sn,由(1)知 ,
2







两式相减得











点评:本题考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式、一元二次 方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.某校 2015 届高三年级有男生 105 人,女生 126 人,教师 42 人,用分层抽样的方法从中 抽取 13 人,进行问卷调查.设其中某项问题的选择支为“同意”,“不同意”两种,且每人都做 了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.

(Ⅰ)请完成此统计表; (Ⅱ)试估计 2015 届高三年级学生“同意”的人数; (Ⅲ)从被调查的女生中选取 2 人进行访谈,求选到的两名学生中,恰有一人“同意”一人“不 同意的概率.” 考点:古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题:计算题;应用题. 分析: (I)根据所给的男生 105 人,女生 126 人,教师 42 人,用分层抽样的方法从中抽取 13 人,得到女生男生和教师共需抽取的人数,根据表中所填写的人数,得到空着的部分. (II)根据由表格可以看出女生同意的概率是 ,男生同意的概率是 ,用男女生同意的概率 乘以人数,得到同意的结果数. (III)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,可以通过 列举得到结果,然后根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解: (I)被调查人答卷情况统计表:

(II)∵由表格可以看出女生同意的概率是 ,男生同意的概率是 , 用男女生同意的概率乘以人数,得到同意的结果数 (人) (III)设“同意”的两名学生编号为 1,2,

“不同意”的四名学生分别编号为 3,4,5,6, 选出两人则有(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,5) , (4,6) , (5,6)共 15 种方法; 其中(1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,8 种满足题意, 则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为 .

点评:本题考查古典概型,考查分层抽样,考查用列举法得到事件数,是一个综合题目,但是 题目应用的原理并不复杂,是一个送分题目. 20.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E, F 分别是 A1C1,BC 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ABE⊥B1BCC1; (Ⅱ)求证:C1F∥平面 ABE; (Ⅲ)求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

考点:平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离;空间角;立体几何. 分析: (Ⅰ)证明 AB⊥B1BCC1,可得平面 ABE⊥B1BCC1; (Ⅱ)证明 C1F∥平面 ABE,只需证明四边形 FGEC1 为平行四边形,可得 C1F∥EG; (Ⅲ)利用 VE﹣ABC= ,可求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

解答: (Ⅰ)证明:∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱垂直于底面, ∴BB1⊥AB, ∵AB⊥BC,BB1∩BC=B, ∴AB⊥平面 B1BCC1, ∵AB?平面 ABE, ∴平面 ABE⊥B1BCC1; (Ⅱ)证明:取 AB 中点 G,连接 EG,FG,则, ∵F 是 BC 的中点, ∴FG∥AC,FG= AC, ∵E 是 A1C1 的中点,

∴FG∥EC1,FG=EC1, ∴四边形 FGEC1 为平行四边形, ∴C1F∥EG, ∵C1F?平面 ABE,EG?平面 ABE, ∴C1F∥平面 ABE; (Ⅲ)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, ∴AB= , ∴VE﹣ABC= = = .

点评:本题考查线面平行、垂直的证明,考查三棱锥 E﹣ABC 的体积的计算,正确运用线面 平行、垂直的判定定理是关键.

21.设椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,右顶点为 A,上顶点为 B.已

知|AB|=

|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率; (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1,经过原点 O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:向量与圆锥曲线. 分析: (1)由题意设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0) ,结合|AB|= 再结合隐含条件 2 2 2 b =a ﹣c 得到 a,c 的关系式,则椭圆的离心率可求; (2)由题意设出椭圆方程为 , .设 P(x0,y0) .由 F1(﹣c,0) ,B(0,c) ,求得 |F1F2|,可得 a +b =3c ,
2 2 2

的坐标,利用

=0 得到(x0+c)c+y0c=0,从而得到 x0+y0+c=0.再由点 P 在椭圆上,

得到 一步得到 y0= ,

.两式联立得到 3x 0+4cx0=0.根据点 P 不是椭圆的顶点得到 x0=﹣ c.进

2

再设圆的圆心为 T(x1,y1) ,则 x1= l 与圆相切列式求得 k 的值.

=﹣ c,y1=

= c,求出圆的半径 r 再由直线

解答: 解: (1)设椭圆右焦点 F2 的坐标为(c,0) . 由|AB|=
2 2

|F1F2|,可得 a +b =3c .
2 2 2

2

2

2

又 b =a ﹣c ,则 2a =4c ,



∴椭圆的离心率 e=
2


2 2 2

(2)由(1)知 a =2c ,b =c .故椭圆方程为 设 P(x0,y0) .由 F1(﹣c,0) ,B(0,c) , 得 =(x0+c,y0) , =(c,c) .



由已知,有

=0,即(x0+c)c+y0c=0.

又 c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又∵点 P 在椭圆上, ∴ .②
2

由①和②可得 3x 0+4cx0=0. 而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=﹣ c.代入①得 y0= , 即点 P 的坐标为(﹣ , ) .

设圆的圆心为 T(x1,y1) ,则 x1= 进而圆的半径 r=

=﹣ c,y1=

= c, = c.

设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx.

由 l 与圆相切,可得

,即

,整理得 k ﹣8k+1=0,解得 k=4±

2



∴直线 l 的斜率为 4+ 或 4﹣ . 点评:本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用,考查了向量在解题中的应用,圆锥 曲线的特点是计算量比较大,要求考生具备较强的运算推理能力和逻辑思维能力,是压轴题. 22.已知函数 f(x)=e ﹣ax ﹣bx﹣1,其中 a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e﹣2<a<1. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围得出函数的单调区间,从而求出函 数的最值; (2)设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,通过讨论 a 的范围,得出 a 的取值. x 2 x 解答: 解: (1)由 f(x)=e ﹣ax ﹣bx﹣1,得 g(x)=f′(x)=e ﹣2ax﹣b,所以 g′(x) x =e ﹣2a. 当 x∈时,g′(x)∈. 当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在上单调递增, 因此 g(x)在上的最小值是 g(0)=1﹣b; 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在上单调递减, 因此 g(x)在上的最小值是 g(1)=e﹣2a﹣b; 当 <a< 时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1) , 所以函数 g(x)在区间上单调递减,在区间(ln(2a) ,1]上单调递增, 于是,g(x)在上的最小值是 g(ln(2a) )=2a﹣2aln(2a)﹣b. 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在上的最小值是 g(0)=1﹣b; 当 <a< 时,g(x)在上的最小值是 g(ln(2a) )=2a﹣2aln(2a)﹣b; 当 a≥ 时,g(x)在上的最小值是 g(1)=e﹣2a﹣b.… (2)证明:设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知, f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点,
x 2

由(1)知,当 a≤ 时,g(x)在递增,故 g(x)在(0,1)内至多有 1 个零点, 当 a≥ 时,g(x)在递减,故 g(x)在(0,1)内至多有 1 个零点,都不合题意, 所以 <a< , 此时,g(x)在区间递减,在区间(ln(2a) ,1)递增, 因此 x1∈(0,ln(2a) ) ,x2∈(ln(2a) ,1) ,必有:g(0)=1﹣b>0,g(1)=e﹣2a﹣b>0, 由 f(1)=0,得 a+b=e﹣1<2,有 g(0)=a﹣e+2>0,g(1)=1﹣a>0,解得:e﹣2<a<1, 所以函数 f(x)在区间(0,1)内有零点时,e﹣2<a<1. 点评:本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,考查分类讨论思想,是 一道综合题.


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