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鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中荆州中学 孝 感高中 襄阳四中 襄阳五中 八校联考

时间:2013-04-21


鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝 感 高 中 襄阳四中 襄阳五中

八校

2013 届高三第二次联考 数学试题(理)
命题学校:孝感高中 命题人:王国涛 考试时间:2013 年 3 月 28 日下午 15:00——1 7:00 审题人:李 冉 蒋志方 试卷满分:150 分 一、选择题:本大 题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
2 1.设 x ? R, 则“ x ? 1 ”是“复数 z ? ? x ?1? ? ? x ? 1? i 为纯虚数”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

2.已知命题 p : m, n 为直线, ? 为平面,若 m // n, n ? ?, 则 m // ? ; 命题 q : 若 a ? b, 则 ac ? bc ,则下列命题为真命题的是( ) A. p 或 q B. ?p 或 q C. ?p 且 q D. p 且 q )
1 (ax 2 ? )6 x 展开式中的第 4 项为(

2 2 3.设 a ? ?1 (3x ? 2 x)dx ,则二项式

A. ?1280x B. ?1280 C. 240 D. ?240 4.左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为
3

A1 , A2 , ? , A14 . 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出

的结果是(



7 8 9 10 11

9 6 3 8 3 9 8 8 4 1 5 3 1 4
?

1

?

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

5.若 2 x ? 3 y ? 5 z ? 29 ,则函数 ? ? 2x ? 1 ? 3 y ? 4 ? 5z ? 6 的最大值为( A. 5 B.2 15 C. 2 30

) D. 30

6.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯 视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1 ,直径为 4 的球 的体积为 V2 ,则 V1 : V2 ? ( ) A. 1: 2 C. 1:1 B. 2 :1 D. 1: 4
4

2
主视图 侧视图

f ? x? ?
7.已知

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , 4 ?2 ? f ? ? x? 为

.
俯视图

f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是( )

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 8.已知双曲线 a b 右支上的一点 P ( x0 , y0 ) 到左焦点距离与到右焦点的距离之差为 2 2 ,
2 且到两条渐近线的距离之积为 3 ,则双曲线的离心率为(



6 D. 2 ? x? ? a x ? 0 f ? x? ? ? ? x ? R, 符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若函数 x 9.已知 有且仅有 3 个零点,则 a 的取 值范围是( ) ? 3 4? ?4 3 ? ?3 4? ?4 3? ? , ??? , ? ? , ??? , ? A. ? 4 5 ? ? 3 2 ? B. ? 4 5 ? ? 3 2 ?

A. 5

B. 6

5 C. 2

? 1 2? ?5 3 ? ? , ??? , ? C. ? 2 3 ? ? 4 2 ?

?1 2? ?5 3? ? , ??? , ? D. ? 2 3 ? ? 4 2 ?

10.定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平 ??? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 面斜坐标系。在平面斜坐标系 xOy 中,若 OP ? xe1 ? ye2 (其中 e1 , e2 分别是斜坐标系 x 轴, y 轴正方向上的 单位向量, x, y ? R, O 为坐标系原点) ,则有序数对 ? x, y ? 称为点 P 的斜坐标。在平面斜坐标系 xOy 中,若
?xOy ? 120? , 点 C 的斜坐标为 ? 2,3? , 则以点 C 为圆心,2 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程是(



A. x ? y ? 4x ? 6 y ? 9 ? 0
2 2

B. x ? y ? 4x ? 6 y ? 9 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 4 y ? xy ? 3 ? 0
2 2

D. .x ? y ? x ? 4 y ? xy ? 3 ? 0
2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 题) 11. 《九章算术》之后,人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题 , 《张丘建算经》卷上第 22 题 为: “今有女善织,日益功疾,且从第 2 天起,每天比前一天多织相同量的布,若第一天织 5 尺布,现 在一月(按 30 天计) ,共织 390 尺布” ,则每天比前一天多织 尺布.(不作近似计算) 12.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验,要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后,2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分列左、右,同侧不能都是同种舰艇,则舰艇分配方案的方法数为 . ?x ? y ? 6 ? 0 ? ?x ? 3 ? 13.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? k ? 0 ,且 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 6. (1)常数 k ? ; .
1

? 3 ? x ? ?? ,3? , y ? ?0,9? , ? 2 ? (2)若实数 则点 P ? x, y ? 落在上述区域内的概率为
* 14.对于 n ? N , 把 n 表示为 n ? a0 ? 2 ? a1 ? 2

k

k ?1

? a2 ? 2

k ?2

? ?? ak ?1 ? 2 ? ak ? 20 , 当 i ? 0 时, ai ? 1;



1 ? i ? k 时 , ai 为 0 或 1. 记 I ? n ? 为 上 述 表 示 中 ai 为 0 的 个 数 ( 例 如 :

1 ? 1? 20 , 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , 故 I ?1? ? 0, I ? 4? ? 2), 若 r, m ? N * , a ? 0, 则
2m ?1

(1) ; (2) n ?1 . (二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15. (选修 4—1:几何证明选讲)如图,割线 PBC 经过圆心 O ,OB ? PB ? 1 ,OB 绕点 O 逆时针旋转 120° 到 OD ,连 PD 交圆 O 于点 E ,则 PE = . 16.(选修 4—4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,过圆 ? ? 6 cos ? 的圆心, 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .

I ? 2r ? ?

?a ? ? ?
I n

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 锐 角 △ ABC 中 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 定 义 向 量 ( ?? ? 2 B m ? ( 2 s i nB , 3 ), ? ( 2 cos ? 1, cos 2 ?? ? n B ), 2 且 m ? n. (1)求 f ( x) ? sin 2 x cos B ?cos 2 xsin B 的单调减区间; (2)如果 b ? 4, 求 ?ABC 面积的最大值.

18. (本小题满分 12 分)某市准备从 7 名报名者(其中男 4 人,女 3 人)中选 3 人参加三个副局长职务竞 选. (1)设所选 3 人中女副局长人数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (2)若选派三个副局长依次到 A、B、C 三个局上任,求 A 局是男副局长的情况下,B 局为女副局长 的概率.

19. (本小题满分 12 分)如左图,四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, DB ? 2, DC ?1, BC ? 5,
AB ? AD ? 2. 将左图沿直线 BD 折起,使得二面角 A ? BD ? C 为 60?, 如右图.

(1)求证: AE ? 平面 BDC; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值.

a 20.(本小题满分 12 分)已知数列 ? n ? 中,
(1)求数列 ?

a1 ? 1, an?1 ?

an , ? n ? N * ?. an ? 3

an ? 的通项公式 an ;
n

bn ? ? 3 b (2)若数列 ? n ? 满足
恒成立,求 ? 的取值范围.

? 1?

n n an , ?1 ? ? Tn 对一切 n ? N * b 2n 数列 ? n ? 的前 n 项和为 Tn , 若不等式 ? ?

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C1 , 抛物线 C2 的焦点均在 y 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O , 从 每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

0
?2 2
[来源:学.科. 网]

?1

2
?2

4 1

1 16

(1)求 C1 , C2 的标准方程 ; (2)设斜率不为 0 的动直线 l 与 C1 有且只有一个公共点 P , 且与 C2 的准线相 交于点 Q , 试探究:在坐标平 面内是否存在定点 M , 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理 由.

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? ⑴求 y ? g (x) 的解析式; ⑵证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; ⑶证明:若 ai ? 0, (1 ? i ? n, n ? N * ), 且

1 1 ) ,且 f (x) 在 x ? 处的切线方程为 y ? g (x) 。 x 2

? ai ? 1, 则 (a1 ?
i ?1

n

1 1 1 n2 ?1 n )(a2 ? ) ? ? ? (an ? ) ? ( ) . a1 a2 an n

八校 2013 届高三第二次联考 数学(理科)参考答案
1—5 CBADC
16 11. 29

6—15 AADAC
1 13.(1)-3;(2) 2
(1) r ; (2)

? a ? 1?
a

m

?1

12.32

14.

3 7 7 15.

16. ? cos ? ? 3

? 2sin B cos B ? 3 cos 2B ? sin 2B ? 3 cos 2 B ? 2sin(2 B ? ) ? 0 3 17.?m ? n ?m ? n = , ? k ? ? ? ? 2B ? ? k ?,? B ? ? ? , k ? Z ,? 0 ? B ? ,? B ? 3 2 6 2 3 .(4 分) ? ? ? 3 f ( x) ? sin(2 x ? ) 2 x ? ?[2k ? ? ,2k ? ? ?] 3 ,由 3 2 2 得 (1) 5 11 [k ? ? ?, k ? ? ?], k ? Z 12 12 单减区间为 (8 分) ? 2 1 6? a 2 ? c 2 ? 2a c c o s ? a ? 2 ? a c? a c c 3 (2)由余弦定理知 ,
? S?ABC ? 1 ? ac sin ? 4 3 2 3

(12 分)
P( X ? 0) ? C1C 2 18 C 4 ? , P( X ? 1) ? 3 3 4 ? C 35 C7 35 ,
3 4 3 7

18. (1) X 可取 0,1,2,3,(2 分)
P( X ? 2) ?

1 C32C4 12 C3 1 ? , P( X ? 3) ? 3 ? 3 3 C7 35 C7 35 , 分) (6 ,故 X 的分布列为

9 ? EX ? 4 18 12 1 7 35 35 35 35 (2)记 D=“A 局是男副局长” ,E=“B 局为女副局长” ,

X

0

1

2

3

P

(8 分)



P( E | D) ?

3? 5 1 ? . 6?5 2

(12 分)
1 AF ? 1, EF ? , ?AFE ? 60? , 2 (2 分) 由余弦定理知 ,

19 . 1 ) 取 BD 中 点 F , 连 结 EF, AF , 则 (
2

1 3 ?1? AE ? 12 ? ? ? ? 2 ?1? cos 60? ? ,? AF 2 ? EF 2 ? AE 2 ,? AE ? EF 2 2 ?2?

,( 4

分 ) , 又 BD ? 平 面
3 1 ), C(?1, ,0) 2 2 ,

AEF , ? BD ? AE , AE ? 平面 BDC ;

(6 分)
A(0,0,

(2)以 E 为原点建立如图示的空间直角坐标系,则 1 1 B(1, ? ,0), D(?1, ? ,0) 2 2 , 分) (8 ,设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ?2 x ? 0 ???? ?n ? DB ? 0 ? ? ? 1 3 ? ? ??? x? y? z?0 n ? DA ? 0 得 ? ? ? 2 2 由? ,取 z ? 3 ,则 y ? ?3,? n ? (0, ?3, 3) .
???? ???? ???? 1 3 n?AC 6 ???? ? ? ? AC ? (?1, , ? ),? cos ? n, AC ?? 2 2 4 | n || AC |

[来源:Zxxk.Com][来源:学+科+网 Z+X+X+K]

(11 分)

10 故直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值为 4 .

(12 分)

?

20.(1)由题知,
? an ? 2 . 3n ? 2

? 1 1? a ?3 3 1 1 1 1 1 ? 1 1? 3n ? n ? ? 1,? ? ? 3 ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? 3n ?1 ? , an ?1 an an an ?1 2 2 ? an 2 ? an ?1 2 ? a1 2 ?

(4 分)
n 2 ?1? ? n ? n?? ? n 2 ? 3 ? 1? ?2?
n ?1

(2)

bn ? ? 3n ? 1? ?
2

n ?1

, T ? 1 ?1 ? 2 ? ? 1 ? ? 3 ? ? 1 ? ? ? ? n ? ? 1 ? n ? ? ? ? ? ? ?2? ?2? ?2?
n

1

2

n ?1

,

1 1 ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2 2 ?2? ?2?

?1? ? n? ? , ?2?
n

两式相减得,

?1? 1? ? ? 1 1 1 1 n n n?2 n?2 2 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? ? ? ? n ? 2 ? n ,? Tn ? 4 ? n ?1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 (8 分) ,
n ?3? ? n ? 2 ? n ?1 ? ?Tn?1 ? Tn ? ? 4 ? n ? ? ? 4 ? n?1 ? ? n ? 0,??Tn ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 为单增数列, ①当 n 为正奇数时,

?? ? Tn 对一切正奇数

??Tn ?m i n? T1 ? 1, ? ? 1, ? ? ? 1; 当 n 为 正 偶 数 时 , ? ? Tn 对 一 切 正 偶 数 成 立 , ?? ? ② ??Tn ?m i n? T2 ? 2 ?? ? 2 ;综合①,②知, ?1 ? ? ? 2. , (12 分)
成立,

y 2 x2 1? ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0), x 2 ? 2 py,? ? ?1, ? 2 b ? 16 ? 21.解析: (1)设 C1 , C2 的标准方程分别为: a
和? 且

? 0, ?2 2 ? 和 ?

4,1? 代入抛物线方程中得到的解相同,? 2 p ? 16, (3 分) ,
2, ?2

? 在椭圆上,代入椭圆方程得 a ? 2

2, b ? 2, 故 C1 , C2 的 标 准 方 程 分 别 为

y 2 x2 ? ? 1, x 2 ? 16 y. 8 4 (6 分) y 2 x2 ? ?1 4 (2)设直线 l 的方程为 x ? my ? n, 将其代入 8 消去 x 并化简整理得

?1 ? 2m ? y
2

2

? 4mny ? 2n 2 ? 8 ? 0,?

?? ? 16m 2 n 2 ? 4 ?1 ? 2m 2 ?? 2n 2 ? 8 ? ? 0,? n 2 ? 4 ?1 ? 2m 2 ? ,

与 C1 相切,

( 8

分 ), 设 切 点

P ? x0 , y0 ? , 则

2mn 8m n 2 ? 8m2 4 ?? , x0 ? my0 ? n ? ? ; 1 ? 2m 2 n n n 又 直 线 l 与 C2 的 准 线 y ? ?4 的 交 点 Q ? n 4 m? ?4 ? PQ 为直径的圆的方程为 ? , , 以 y0 ? ?
4? 8m ? ? ? ? x ? ? ? x ? n ? 4m ? ? ? y ? ? ? y ? 4 ? ? 0, n? n ? ? ? ( 10 分 ) , 化 简 并 整 理 得 4 8m 2 x 2 ? x ? ? 4m ? n ? x ? ? y ? 2? ? ? y ? 2? ? 0 M 0, ?2? 合题意。 n n 恒成立, x ? 0, y ? ?2, 即存在定点 ? 故
(13 分)

22. (1)

? f ?( x) ?

1 6 x 1 x2 ? 1 k ? f ?( ) ? ? (1 ? 2 ) ? 3 2 5, x ?1 x x ? x , ? 切线斜率
2

? f ( x) 在

x?

1 5 6 1 6 3 5 y ? g ? x ? ? ? x ? ? ln . y ? ln ? ? ( x ? ) 5 5 2 2 处的切线方程为 2 5 2 ,即
(x ? 0 )
[来源:学# 科# 网]

(4 分)

1 6 3 5 t ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln(x ? ) ? x ? ? ln x 5 5 2 (2)令

1 ( x ? )(6 x 2 ? 8 x ? 10) x 2 ? 1 6 6 x3 ? 5 x 2 ? 6 x ? 5 2 ? t ?( x) ? 3 ? ? ? x ?x 5 5( x3 ? x) 5( x3 ? x)

1 1 1 x? t ?( x) ? 0,?t ( x)min ? t ( ) ? 0 t ?( x) ? 0 ; 2 时, 2 时, ?当 2 1 6 3 5 ln( x ? ) ? ? x ? ? ln x 5 5 2 .(8 分) 故 t ( x) ? 0, 即

0? x?

1 1 1 n ? n3 ( ,ln(n ? )) f ?( ) ? n 处的切线方程,由(1)知 n 1 ? n2 , (3)先求 f ( x) 在 n
1 1 1 n?n 1 f ( x) 在 ( n ,ln(n ? n )) 处的切线方程为 y ? ln(n ? n ) ? n2 ? 1 ( x ? n ) 故
3

[来源:学科网]



y?

n ? n3 1 ? n2 1 x? ? ln(n ? ) 1 ? n2 1 ? n2 n
3 2

, (10 分),下先证

f ( x) ?

n ? n3 1 ? n2 1 x? ? ln(n ? ) n2 ? 1 1 ? n2 n

1 n?n 1? n 1 h( x) ? ln( x ? ) ? 2 x? ? ln(n ? )( x ? 0) 2 x n ?1 1? n n 令
? h?( x) ? x 2 ? 1 n ? n3 (n3 ? n) x 3 ? (n 2 ? 1) x 2 ? (n 3 ? n) x ? n 2 ? 1 ? ? x3 ? x n 2 ? 1 (n 2 ? 1)( x 3 ? x)

1 ( x ? )[(n3 ? n) x 2 ? 2n 2 x ? n3 ? n] 1 n ? ,? 0 ? x ? ( x3 ? x)(n 2 ? 1) n 时, h?( x ) ? 0 ; 1 1 x? h?( x) ? 0,? h( x) min ? h( ) ? 0 n 时, n 。

? f ( x) ?

n ? n3 1 ? n2 1 x? ? ln(n ? ) n2 ? 1 1 ? n2 n
1 n?n 1? n 1 )? 2 ai ? ? ln(n ? ) 2 ai n ?1 1? n n
3 2

(12 分)

? ai ? 0,? ln(ai ?

? ? ln(ai ?
i ?1

n

1 n ? n3 n n(1 ? n 2 ) 1 1 )? 2 ? ai ? 1 ? n2 ? n ln(n ? n ) ? n ln(n ? n ) ai n ? 1 i ?1 .

?(a1 ?

1 1 1 1 )(a2 ? )?(an ? ) ? (n ? )n a1 a2 an n

(14 分)


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