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浅谈分类讨论思想及其应用


浅谈分类讨论思想及其应用
【摘要】分类讨论思想是对所研究问题可能出现的各种情况进行分类,予以分析 解决。此题型涉及知识面广,突出考察学生思维的严谨性和周密性,对学生分析 问题和解决问题的能力要求都很高。本文主要在于探讨解分类讨论题的突破口, 即为什么要分类,对谁分类,以及怎样正确分类和在分类过程中要注意的事项。 在分类过程中, 要树立一个正确的分类标准, 确保分类结果科

学, 做到不重不漏。 关键词:分类讨论思想 分类的原因 正确分类 分类原则

在数学中,数学思想贯穿于整个数学教学中,是数学教学的核心。一般它可以分 为:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想、极限 思想等诸多思想,而分类讨论思想就是其中最重要的版块之一,在高中数学的教 学中,这种思想对大部分学生而言,碰到题目总是束手无策,下面对分类讨论思 想提出如下九方面的意见,希望在大家碰到这类题时能有所帮助。 (一)分类讨论的原因 1、有数学定义引出的分类讨论题,如:绝对值定义、直线斜率定义、指数函 数对数函数定义、等比数列的前几项和公式等; 2、由数学运算要求引出的分类讨论题,如:对数中的底数和真数的要求、偶 次方根非负、不等两边同乘一个实数对不等号方向的影响等等; 3、由条件或结论不唯一时引出的分类讨论题,如:一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的个数; 4、根据定理或公式的限制所进行的分类讨论,如:等比数列的前几项和公式; 5、由图形位置的变化所引出的分类讨论,如:直线与圆的位置关系及圆与圆 的位置关系等; 6、受参数的影响所引出的分类讨论,判断函数 f(x)=a/nx+x (a∈R)的单调性。 (二)分类讨论一般步骤如下 1、确定分类对象和对象的范围; 2、确定分类标准,正确分类; 3、逐类讨论并解决问题; 4、归纳总结。 (三)分类讨论的原则

1、进行分类对象是确定的,标准是同一个,如:一般三角形有锐角三角形、 直角三角形、钝角三角形三类,而若是分为锐角三角形、等腰三角形、直角三角 形、钝角三角形、不等边三角形就是错误。 2、所进行的分类做到不重不漏,如:高二(16)班在一次春季运动会中,共 有 5 人参加了田径比赛和跳高比赛,其中有 4 人参加田径,有 2 人参加了跳高, 如把 5 人分成了参加田径和跳高两类,就犯了子项相容的逻辑错误,因为须有 1 人既参加了田径,又参加了跳高比赛。 3、 分层次, 逐层讨论, 不越级讨论, 如求方程 ax2+2x+3=0 的根的个数一题中, 先分 a≠0 和 a=0 两类,然后 a≠0 一类中再分△>0,△=0,△<0 三类去分别 求解。 (四)注意事项 1、按主次分类的结果应求并集; 2、按参数分类的结果要分类结出结果; 3、若讨论复杂,能避免则避。 (五)典例透析 例 1:设 A={x︱x2 +4x=0} B={x︱x2+2(a+1)x+a2-1=0},若 B≤A,求 a 的值。 分析:此题中 A={0,-4} ,因为 B≤A,在子集的概念中,这里的 B 集有可能为 三种集合:空集、单元素集、A、B 相等。因此,要分这三种讨论,这就是分类 讨论的原因。 解:A={0,-4} 1、当 B= ? 时,△=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0,解集 a<-1; 2、当 B 为单元素集时,a=-1,此时 B={0}符合题意; 3、当 B=A 时,由根与素数的关系得: -2(a+1)=-4 a2-1=0 综上可知:a≤-1 或 a=1 。 例 2:设函数 f(x)=ax3-3x+1 (x∈R),若对于任意 x∈【-1,1】 ,都有 f(x)≥0,求 实数 a 的值。 分析:对 ? x∈【-1,1】 ,都有 ax3-3x+1≥0 成立,此不等式中含有参数 a,若用分 离参数法解项,则 ax3≥3x-1,此时 x∈【-1,1】 ,需对 x 的取值进行讨论。 解:1)当 x=0 时,不论 a 为何值时,f(x)≥0 显然成立。 , 解得 a=1。

2)当 0<x≤1, f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 设 g(x)= 增,在区间【

3 1 - 3, 2 x x

3 1 3(1 ? 2 x ) 1 - 3 ,则 g(x)= ,所以 g(x)在区间【0, 】上单调递 4 2 x 2 x x

1 1 ,1】上单调递减,因此 g(x)=g( )=4,从而 a≥4。 2 2
3 1 - 3, 2 x x

3)当-1≤x<0 时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤ 设 g(x)=

3 1 3(1 ? 2 x ) - 3 ,则 g(x)= >0,所以 g(x)在【-1,0】单调递增, 2 x4 x x

因此,g(x)=g(-1)=4,从而 a≤4。 综上, ? x∈【-1,1】 ,都有 f(x)≥0,则 a≤4。 例 3:解关于 x 的不等式:a x2-(a+1) x+1<0 (a∈R)

分析:由于这个不等式含有二次项,且二次项素数为常数 a,而 a∈R,a 的不同 取值会对整个不等式产生影响。首先,a=0 时,它就变为一元一次不等式;a≠0 时,它是一元二次不等式,一次不等式与二次不等式的解法是不一样的。 又当 a≠0 时,还要分开口向上和开口向下,其中开口向上中△>0,△=0, △<0 的结论又不一样,同样开口向下也要分为这三种。 因此本题需讨论,且要分多层。 例 4:求和:Sn=(x+
1 2 2 1 1 ) +(x + 2 )2+??+(xn+ n )2 x x x

分析:1、数列求和应从通项入手,通过对通项变形,转化为已知数列公式求和 间项; 2、在用到导比数列求和,一定事先确定公比与 1 的关系。 解:1)当 x=±1 时,Sn=4n;
1 1 1 2)当 x≠±1 时,Sn=(x+ )2+(x2+ 2 )2+??+(xn+ n )2 x x x

=(x2+2+

1 2 4 1 1 ) +(x +2+ 4 )+??+(x2n+2+ 2n ) 2 x x x
1 1 1 + 4 +??+ 2n ) 2 x x x

=( x2+ x4+??+ x2n)+2n+(

=

x 2 ? x 2n ? 1? x2 ?1

+

x ?2 ?1 ? x ?2 ? 1 ? x ?2

+2n

=

?x

2n

x 2n ? x 2 ? 1?

? 1?? x 2n ?2 ? 1?

+2n

4n , ∴ Sn =

(x=±1) (x≠±1)

?x

2n

x 2n ? x 2 ? 1?

? 1?? x 2n ? 2 ? 1?

例 5:已知直线 L:kx-y+2=0,双曲线 C:x2-4y2=4,讨论直线 L 与双曲线的位 置关系。 分析: 因为直线与双曲线的位置, 可以相应的转化为方程联立的解得个数。 因此, 联立方程,解方程组,通过方程的解的个数,分析直线 L 与双曲线的关系。 解:将直线与双曲线方程联立消 y,得 (1-4k2)x2-16kx-20=0 当 1-4k2≠0 时,△=(-16k)2-4(1-4k2)(-20)=16(5-4k2) 1)当 1-4k2≠0,且△<0 时,即 k<5 5 或 k> 时,L 与 C 无交点; 2 2

1 2)当 1-4k2=0,即 k=± 时,显然方程(1-4k2)x2-16kx-20=0 只有一解,此时相 2

交只有一交点;当△=0 时,即 k=± 解,相切。 3)当 1-4k2≠0,且△>0 时,即C 有两个交点。 例 6:已知函数 f(x)=/nx-ax 1)求函数 f(x)的单调区间, (a∈R)

5 时,方程(1-4k2)x2-16kx-20=0 只有一 2

1 5 5 <k< ,且 k≠± 时方程有两解,L 与 2 2 2

2)当 a△>0 时,求函数 f(x)在【1,2】上的最小值。 分析: 1)知函数解析式,求单调区间,实质上是求 f(x) >0,f(x) <0 的解区间,并 注意定义域; 2)先研究 f(x)在【1,2】上的单调性,再确定值是端点值还是极值; 3)由于解析式中含有参数 a,要对参数 a 进行分类讨论。

解:1)f(x)=

1 -a x

(x>0)
1 -a>0 ,即函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞) x

① 当 a≤0 时, )f(x)= ②当 a>0 时,令 f(x)=

1 1 -a=0,可得 x= , x x

1 1 ? ax 当 0<x< 时,f(x)= >0, a x 1 1 ? ax 当 x> 时,f(x)= <0, a x

故函数 f(x)的单调递增区间为【0,

1 1 】 ,单调减区间为【 ,+∞】 。 a a

1 2)①当 ≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间【1, 2】上是减函数,∴f(x)的最 a

小值是 f(2)=/n2-2a;
1 1 ②当 ≥2,即 0<a≤ 时,函数 f(x)在区间【1, 2】上是增函数,∴f(x)的最小 a 2

值是 f(1)=-a;
1 1 1 1 ③当 1< <2,即 <a<1 时,函数 f(x)在【1, 】上是增函数,在【 ,2】 a 2 a a

上是减函数,又 f(2)-f(1)=/n2-2,
1 ∴当 <a</n2 时,最小值是 f(1)=-a, 2

当/R≤a<1 时,最小值为 f(2)=/n2-2a。 综上可知,当 0<a</n2 时,函数 f(x)的最小值是 f(x)=-a; 当 a≥/n2 时,函数 f(x)的最小值是 f(x)= /n2-2a。 以上就是我对分类讨论思想的见解, 分类讨论思想的教学是高中数学教学中 很重要的一部分。它涉及中学数学的每一部分,只有把握住分类讨论思想的实质 —即为什么要分类讨论、 不分类会产生什么错误的结果??才能更好地利用它来 解决数学及生活中的问题,俗话说: “授人以鱼,不如授人以渔。 ”方法的掌握, 思想的形成,才能使学生受益终生。


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