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《指数函数》4


引例1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个, 2个分裂成4个,……. 一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是 什么? 分裂次数:1,2,3, 4,… ,x

细胞个数:2,4,8,16,… ,y 由上面的对应关系可知,函数关系是 y ? 2x

引例2:某种商品的价格从今年起每年降低15%,
设原来

的价格为1,x年后的价格为y,则y与x的 函数关系式为 y ? 0.85
x

在 y ? 2 ,y ? 0.85 中指数x是自变量, 底数是一个大于0且不等于1的常量.
x x

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一 个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数. 指数函数的定义: 函数

y ? a (a ? 0且a ? 1)
x

叫做指数函数,其中x是自变量,

定义域是R。

a ? 0且a ? 1 x 探讨:若不满足上述条件 y ? a 会怎么样? (1)若 a ? 0
探究:为什么要规定

则当x > 0时, a

x

当x≤0时, a 无意义. (2)若 a ? 0 则对于x的某些数值,可使 x a 无意义. 如 (?2) x ,这时对于
1 x?1 , x ? 2 4 ……等等,

x

?0

在实数范围内函数值不存在.

(3)若

a ? 1 则对于任何 x ? R x a ? 1 是一个常量,没有研究的必要性

在同一坐标系中分别作出如下函数的图像: x ?x 1 x y ? 2 与 y ? (2) y?2
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …

2x 2? x

… 0.13 0.25
… 8 4

0.5
2

0.71
1.4

1
1

1.4

2

4

8



0.71 0.5 0.25 0.13 …

y ?3
x … … … -2.5 0.06 15.6

x


-2 0.1 9

y?( )
-1 0.3 3 -0.5 0.6 1.7

1 x 3
0 1 1 0.5 1.7 0.6 1 3

y ?3
2 9

x

2.5 … 15.6 …

3x ?x 3

0.3 0.1 0.06 …

y?( )

y
8 7 6 5

1 x 10 1 x 3 1 x 2

y ? 10

x

y?( )

y ?3
y?2
x

x

y?( )

4 3 2 1
-4 -3 -2 -1 0

y ? 10

x

x 1

2

3

4

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质:
a ?1
y

0 ? a ?1
y

图 象

1

1
x

0

0

x

1.定义域: R 性 2.值域: (0, ??) 质 3.恒过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1

4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数

指数函数图象与性质的应用:
例1、指数函数

y ?a ,y ?b ,y ?c ,y ?d
x x x

x

的图象如下图所示,则底数

a, b, c, d

与正整数 1

共五个数,从大到小的顺序是 : 0 ? b ? a ? 1 ? d ? c .
y

y ?b

x x
1

y?c y ? dx

x

y?a

x 0

指数函数图象与性质的应用: 例2 、比较下列各题中两个值的大小: ①

1.7

2.5

, 1.7

3

3 解① :利用指数函数单调性 1.7 2.5 , 1.7

的底数是1.7,它们可以看成函数 y ? 1.7 当x=2.5和3时的函数值;
x y ? 1.7 因为1.7>1,所以函数

x

y

在R上是增函数,而2.5<3, 所以,

1

1.7

2.5

? 1.7

3
x
0

指数函数图象与性质的应用: ②

0.8

?0.1

, 0.8

?0.2 ?0.1

解① :利用指数函数单调性0.8 当x=-0.1和-0.2时的函数值;
x y ? 1.7 因为0<0.8<1,所以函数

0.8 ,

?0.2

x 的底数是0.8,它们可以看成函数 y ? 0.8

在R上是增函数,而-0.2<-0.1, 所以,

y

0.8

?0.1

? 0.8

?0.2
1 x

0

指数函数图象与性质的应用: ③ ④

3

?0.9

? ?

.

0.8

?0.9

( )

1 0.5 6

.

( )

1 0.5 2

y

y ? 0.8

x

y ?3
1

x

x ? ?0.9

x 0

指数函数图象与性质的应用: ⑤

1.7

0.3
.

0.9

3.1

根据指数函数的性质知

1.7

0.3

? 1.7 ? 1
0

0.9 ? 0.9 ? 1
3.1 0



1.7

0.3
0.3

? 1, 0.9 ? 1
3.1

?1.7

? 0.9

3.1

指数函数图象与性质的应用: 例3、解不等式 x2 ? x

2

?2

? x ?3

解:由指数函数的单调性可得:

x ? x ? ?x ? 3
2

整理得:x 解得:

2

? 2x ? 3 ? 0
x ? 1}

?3 ? x ? 1

?

原不等式的解集为:{x | ?3 ?

指数函数图象与性质的应用:

例4、求满足下列不等式的正数

a 的范围
.

a ?a
a ?a
5

2 3

6 5
6 5

正数

a 的范围 (1, ??) a 的范围 (0,1)

正数

.

分析:应用指数函数的单调性

练习: 一、判断大小

4

0.3

? ? ? ? ?

4

?0.4

0.1

0.3

0.1?0.4 3
0.3 0.3

( )
4
4

4 0.3 3
0.3

3

?0.3

0.3

?0.4

练习: 二、解下列不等式 ①


2

x2 ? x

?( )

1 x ?2 4

0.3

(3 x ?1)(2 x ?1)

?1

练习: ①

2
2

x2 ? x

?( )
?2

1 x ?2 4

解:原不等式等价于:
x2 ? x ?2 x ? 4

由指数函数的单调性可得:

x ? x ? ?2 x ? 4 2 整理得: x ? 3x ? 4 ? 0 解之得: ?4 ? x ? 1
2

?

原不等式的解集为:{x | ?4 ?

x ? 1}

练习: ②

0.3

(3 x ?1)(2 x ?1)

?1
0

解:原不等式等价于:

0.3

(3 x ?1)(2 x ?1)

? 0.3

由指数函数的单调性可得:

(3x ? 1)(2 x ? 1) ? 0
解之得:

? ?x?
1 2

1 3

?

{x | ? 1 原不等式的解集为: 2

?x? 1 3}

y 8 7 6 5 4 3 2 1

-4

-3 -2

-1 0

x 1 2 3

4

y

y ?b

x

y?c
1

x

y ? ax

y?d

x

x 0

x



-3

-2

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0 1 1

0.5 1.4

1 2

2 4

3 8

… …

… 0.13 0.25 … 8 4

0.71 0.5 0.25 0.13 …

x



-3

-2

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0 1 1

0.5 1.4

1 2

2 4

3 8

… …

… 0.13 0.25 … 8 4

0.71 0.5 0.25 0.13 …


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