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甘肃省兰州一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

时间:2014-01-19


说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 100 分,考试时 间 100 分钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡) 第 I 卷(选择题) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分,将答案写在答题卡上 ) ......... 1.若动点 M 到定点 F1 (0, ? 1) 、 F2 (0, 1) 的距离之和为 2,则点 M 的轨迹为 A.

椭圆
2

B. 直线 F1 F2
2

C. 线段 F1 F2

D. 直线 F1 F2 的垂直平分线

2.双曲线 2 x ? y ? 8 的实轴长是 A.2 B.2 2 C.4 D.4 2

3.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 A. y ? sin x B. y ? xe
2

C. y ? x ? x
3

D. y ? ln x ? x

4.已知函数 y ? x ln x ,则其在点 x=e 处的切线方程是 A.y=2x-e
2

B.y=e

C.y=x-e

D.y=x+e

5.过抛物线 y ? 4 x 的焦点且斜率为 1 的直线截抛物线所得的弦长为 A. 8 B. 6
2 2

C. 4

D. 10

6.直线 y=kx+2 与双曲线 x ? y ? 2 有且只有一个交点,那么实数 k 的值是 A. k ? ?1 7. 已知椭圆 C1 : 的渐近线为 A. x ? ? B. k ? ? 3 C. k ? ?1 或 k ? ? 3 D. k ? ? 2

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1 有公共的焦点, C 与双曲线 : 那么双曲线 C 2 2 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2

15 y 2

B. y ? ?

15 x 2

C. x ? ?
2

3 y 4
2

D. y ? ?

3 x 4

8.若 a ? b 且 ab ? 0 ,则曲线 bx ? y ? a ? 0 和 ax ? by ? ab 的形状大致是下图中的

1

9.已知 O 是坐标原点,点 A(2, 0) , ?AOC 的顶点 C 在曲线 y ? 4( x ? 1) 上,
2

那么 ?AOC 的重心 G 的轨迹方程是 A. 3 y ? 4( x ? 1)
2

B. 3 y ? 4( x ? 1) ( y ? 0)
2

C. y 2 ? 12( x ? 1)

D. y 2 ? 12( x ? 1) ( y ? 0)

2 10.过抛物线 y ? 2 px (p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且 AF ? 3 BF ,

那么直线 l 的斜率为 A. ?

2

B. ? 1

C. ?

3 3

D. ? 3

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,将答案写在答题卡上 ) ......... 11.双曲线

y2 x2 ? ? 1 上一点 P 到其一个焦点的距离是 10,那么点 P 到另一个焦点的距 16 9

离是____________________.

12.设 F1 、 F2 是椭圆 C:

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0) 的左右焦点,P 为直线 x ? a 上 2 2 a b

一点, ?PF1 F2 是底角为 30? 的等腰三角形,则椭圆 C 的离心率为__________. 13.若函数 f ( x) ? ax ? x 在实数域上有极值,则实数 a 的取值范围是_____________.
3 2 14.已知点 P(a, 0) ,若抛物线 y ? 4 x 上任一点 Q 都满足 PQ ? a ,则实数 a 的取值范

围是_____________________.
2

三、解答题(本题共 5 小题,共 54 分) 15. (8 分)已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 2) x ? bx ? c ,设曲线 y ? f ( x) 在与 x 轴交点处的
3 2

切线为 y ? x ? 1 , 函数 f ( x) 的导数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称, 求函数 f ( x) 的解析式.

16. (10 分)设抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,准线为 l ,点 A 在抛物线上,已知以 F 为圆心、
2

FA 为半径的圆交 l 于 B、D 两点.
(1)若 ?BFD ? 90 ,求 ?ABD 的面积;
0

(2)若 A、B、F 三点在同一条直线 m 上,求直线 m 的方程.

17.(12 分) 已知函数 f ? x ? ?

3 2 x ? 2 x ? 2 ? ln x. 8

(1)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间;
?2 ? ? ? 上零点的个数,并说明理由. (2)判断函数 y ? f ? x ? 在 ? ?e ,

18.(12 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ? 3a x ? 2a ? 25
3 2 2

(1)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递减,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 0 ,当 0 ? x ? 3 时 f ( x) ? x ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

3

4

参考答案
第 I 卷(选择题)

三、解答题(本题共 5 小题,共 54 分)

5

17.(12 分) 已知函数 f ? x ? ?

3 2 x ? 2 x ? 2 ? ln x. 8

(1)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间;
?2 ? ? ? 上零点的个数,并说明理由. (2)判断函数 y ? f ? x ? 在 ? ?e ,

3 1 3x 2 ? 8 x ? 4 解: (1) f ( x) ? x ? 2 ? ? 4 x 4x ? 2? ?2 ? 则增区间为? 0, ? , ? ? ? 减区间为? , 2? ? 2, ? 3? ?3 ? 1 2 3 3 (2) e ?2 ? 2 ? , 且 f (e ?2 ) ? e ?4 ? 2e ?2 ? e ?2 ( e ?2 ? 2) ? 0 e 3 8 8 1 而 f ( x)极小值 =f (2) ? ? ? ln2 ? 0 , 2 2 f ( x)极大值 =f ( ) ? f (2) ? 0, 3 ?2 则函数y ? f ( x)在 ? ? ? ? 有且只有一个零点 ?e ,
'

6

19.(12 分)已知椭圆 M:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0) ,过椭圆右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 a2 b2

椭圆于 A、B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 . 2

(1) 求椭圆 M 的方程; (2) 若 C、D 为椭圆 M 上两点,四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积 的最大值. 解:(1)设 A(x1,y1),B (x2,y2),P(x0,y0), 则

x12 y12 x2 2 y2 2 y ?y ? =1 , ? 2 =1 , 2 1 = ? 1 , 2 2 2 a b x2 ? x1 a b

b 2 ? x2 ? x1 ? y ?y ? ? 2 1 =1 . 2 a ? y2 ? y1 ? x2 ? x1 y 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 0 ? ,所以 a2=2b2. x0 2
由此可得 又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3.所以 M 的方程为

x2 y2 ? =1 . 6 3

7


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