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芝罘区数学解析几何专题1椭圆方程知识点及椭圆标准方程


【烟台芝罘区】明老师

一中十中校区:南山路 9 号(进德小区)

椭圆知识点
一、椭圆的定义: (1)第一定义:平面内与两定点 F1、F2 距离和等于常数 ?2 a ? (大于 F 1F2 )的点的轨迹叫做椭圆. (2)第二定义:平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e ,当 0 ? e ? 1 时,点的轨 迹是椭圆.

椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.
M ? P PF1 ? PF2 ? 2a, ?2a ? F1 F2 ? 0 ? . 椭圆定义的表达式: PF 1 ? PF 2 ? 2a?2a ? F 1F 2 ? 0?;

?

?

二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程: 焦点在 x 轴:
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? ; a 2 b2

焦点在 y 轴:

y2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? . a 2 b2

a 是长半轴长, b 是短半轴长,即焦点在长轴所在的数轴上,且满足 a 2 ? b 2 ? c 2 .

2. Ax2 ? By2 ? C?A、B、C均不为零,且 A ? B? 表示椭圆的条件为:
Ax2 By 2 x2 y 2 ? ? 1, ? ?1. C C C C A B

所以只有 A、B、C 同号,且 A ? B 时,方程表示椭圆;

C C ? 时,椭圆的焦点在 x 轴上; A B C C 当 ? 时,椭圆的焦点在 y 轴上. A B
当 三、椭圆的几何性质(以
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 为例) a 2 b2

1. 有限性: x ? a, y ? b 说明椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形里(封闭曲线).该性 质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、 x 轴、 y 轴对称。 3. 顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个: A1 ?? a,0?、A2 ?a,0?、B1 ?0,?b?、B2 ?0, b?.

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4. 长轴、短轴、焦距:
A1 A2 叫椭圆的长轴, A1 A2 ? 2a, a 是长半轴长; B1B2 叫椭圆的短轴, B1B2 ? 2b, b 是短半轴长.

F1 F2 叫椭圆的焦距;为 ?2c ? .

5. 离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比 e ?
2

c a
2 2

(2) Rt?OB2 F2 , B2 F2 ? OB2 ? OF2 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 .这是椭圆的特征三角形,并且
cos?OF2 B2 的值是椭圆的离心率.

(3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关.当 e 接近于 1 时, c 越 接近于 a , 从而 b ? a 2 ? c 2 越小, 椭圆越扁; 当 e 接近于 0 时,c 越接近于 0, 从而 b ? a 2 ? c 2 越大,椭圆越接近圆。 6.通径(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦) ,
2b 2 . a

7.设 F1、F2 为椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,当 P、F1、F2 三点不在同一直线上时,
P、F1、F2 构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知: PF 1 ? PF 2 ? 2a, F 1F 2 ? 2c .

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求椭圆解析式典例
一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方 程。 例 1:已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、

椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 4 16

三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出, 求椭圆的标准方程。 例.求过点 ( - 3,2) 且与椭圆 有相同焦点的椭圆的标准方程. 解:因为 c2=9-4=5,所以设所求椭

F2(0,1),P 是椭圆上一点,并且 PF1+PF2=
2F1F2,求椭圆的标准方程。 解:由 PF1+PF2=2F1F2=2×2=4, 得 2a=4.又 c=1,所以 b2=3. 所以椭圆的标准方程是 + =1. 4 3 练:已知椭圆两个焦点为 F1( - 1,0) ,

x2
9



y2
4

=1

y2 x2

x2 y2 圆的标准方程为 2+ 2 =1. a a -5
9 4 由点(-3,2)在椭圆上知 2+ 2 =1, a a -5 所以 a2=15. 所以所求椭圆的标准方程为 1. 四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方 程。 例: 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的 椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M为

F2(1,0),且 2a=10,求椭圆标准方程.答: x2
25 +

y2
24

=1.

x2
15



y2
10



二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方 程。 例: 1. 椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长 轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 解: (1)当 A?2, 0? 为长轴端点时, a ? 2 ,
b ? 1,

AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴
x2 y2 ? ?1; 4 1

椭圆的标准方程为:

长为 2,求椭圆的方程.
x2 解:由题意,设椭圆方程为 2 ? y 2 ? 1 , a

0? 为短轴端点时, b ? 2 , ( 2 )当 A?2,
a ? 4,

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 由 ? x2 ,得 ?1 ? a? x2 ? 2a2 x ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?a
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∴ xM ?

x1 ? x2 1 ? a 2 ? 2 , 2 a
1 , 1? a2

顶点 C 的轨迹为椭圆, 并且 2a=10,所以 a=5, 2c=8,所以 c=4, 所以 b2=a2-c2=9, 故顶点 C 的轨迹方程为

y M ? 1 ? xM ?

? k OM
2

y 1 1 ? M ? 2 ? ,∴ a 2 ? 4 , xM a 4

x2
25



x ? y 2 ? 1 为所求. 4

+ =1. 9

y2

又 A、B、C 三点构成三角形,所以 y≠0.所 以顶点 C 的轨迹方程为

五、求椭圆的离心率问题。 例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三 等分,求椭圆的离心率. 解:? 2c ?
a2 1 ? 2? c 3

x2
25

+ =1(y≠0) 9

y2

x2 y2 练: 已知椭圆的标准方程是 2+ =1(a>5), a 25
它的两焦点分别是 F1,F2,且 F1F2=8,弦

∴ 3c 2 ? a 2 ,

AB 过点 F1,求△ABF2 的周长.
答:4a=4 41. 练:设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点, 9 4

1 3 ∴e ? . ? 3 3
练:已知椭圆 求 k 值.
1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? , 2 k ?8 9

x2 y2

P 是椭圆上的点,且 PF1∶PF2=2∶1,求△ PF1F2 的面积.
1 1 答:△PF1F2 的面积为 PF1〃PF2= ×2×4 2 2 =4. 七、直线与椭圆的位置问题
x2 ?1 1? 例 已知椭圆 ? y 2 ? 1 , 求过点 P? , ? 2 ? 2 2?

5 答: k ? 4 或 k ? ? . 4

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的 问题 例: 若△ABC 的两个 顶点坐标 A( - 4,0) ,

B(4,0),△ABC 的周
长为 18,求顶点 C 的轨迹方程。 解:顶点 C 到两个定点 A,B 的距离之 和为定值 10,且大于两定点间的距离,因此

且被 P 平分的弦所在的直线方程. 解法一: 设所求直线的斜率为 k , 则直线

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方程为 y ? 理得

1 1? ? 代入椭圆方程, 并整 ? k? x ? ? . 2 2? ?

例 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 16 12

A 1,3 ,点 M 在椭圆上,当 AM ? 2 MF 为

? ?

?1 ? 2k ?x ? ?2k
2 2

2

1 3 ? 2k x ? k 2 ? k ? ? 0 . 2 2

?

最小值时,求点 M 的坐标. 解:由已知: a ? 4 , c ? 2 . 所以 e ?
1 ,右准线 l:x ? 8 . 2

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 2k . 1 ? 2k 2

∵ P 是 弦 中 点 , ∴ x1 ? x2 ? 1 . 故 得
1 k?? . 2

过 A 作 AQ ? l , 垂足为 Q , 交椭圆于 M , 故 MQ ? 2 MF . 显然 AM ? 2 MF 的最小值为 AQ , 即 M 为所求点,因此 yM ? 3 ,且 M 在 椭圆上. 故 xM ? 2 3 .所以 M 2 3,3 .

所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .
?1 1? 解法二(点差法) :设过 P? , ? 的直线 ? 2 2?

与椭圆交于 A?x1,y1 ? 、 B?x2,y2 ? ,则由题意 得
? x12 2 ? ? y1 ? 1, ① ?2 ? x22 2 ? ? y2 ? 1, ② ?2 ? x1 ? x2 ? 1, ③ ? ? y1 ? y2 ? 1. ④

?

?

①

②得

2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ?0. ⑤ 2

将③、④代入⑤得

y1 ? y2 1 ?? , x1 ? x2 2

1 即直线的斜率为 ? . 2

所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 八、椭圆中的最值问题

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课后练习 1、椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍,则 此椭圆的离心率 e 等于( A. ) D.
2 4

6、 已知椭圆的中心在原点, 且经过点 P?3, 0? ,
a ? 3b ,求椭圆的标准方程.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

2、椭圆的两个焦点是 F1 (0,?3) 和 F2 (0,3) ,一 条准线方程是 y ? ? ( A. )
x2 y2 ? ?1 16 9
16 ,则此椭圆方程是 3

B.

x2 y2 ? ?1 16 7

7、 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上, 点 P 到两焦点的距离分别为
4 5 2 5 和 ,过 3 3

x2 y2 ? ?1 C. 9 16

x2 y2 ? ?1 D. 7 16

3、 由椭圆

x2 y2 ? ? 1 的四个顶点组成的菱形 9 16

P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的
一个焦点,求椭圆方程.

的高等于:



4、不论 k 为何实数值,直线 y=kx+1 和焦点 在 x 轴的椭圆
x2 y2 ? ? 1 总有公共点,则 ? 5 ?

的取值范围是:



5、已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为 (0,2)求 m 的值. 8、求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过

A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点的椭圆方程.
分析:可设其方程为 mx2 ? ny2 ? 1 ( m ? 0 ,
n ? 0 ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,

直接可求出方程.
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答案: 1、 ( A )2、 ( 3、
24 5

D



4、 1 ? ? ? 5 。
y2 x2 ? ?1. 81 9

5、故 m ? 5 .6、

7、

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5 x2 y2 ? ?1. 15 5

8、

7


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