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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练49 椭圆 文 北师大版


计时双基练四十九
A 组 基础必做 1.椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 C.4 或 8 解析 当焦点在 x 轴上时,10-m>m-2>0, 10-m-(m-2)=4,∴m=4。 B.8

椭圆

x2

y2

)

D

.12

当焦点在 y 轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4,∴m=8。 答案 C 1 2.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆的方 3 程是( A. C. ) + =1 144 128 + =1 32 36

x2

y2

B. D.

+ =1 36 20 + =1 36 32

x2 x2

y2 y2

x2

y2

c 1 2 解析 由题意知 2a=12, = ,即 a=6,c=2,故 b =36-4=32。 a 3
答案 D 3.如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A.(0,1) C.(0,2) 解析 由 x +ky =2,得 + =1。 2 2
2 2 2 2

)

B.(1,2) D.(0,1]

x2 y2 k

2 1 ∵椭圆的焦点在 y 轴上,∴ >2,即 -1>0,

k

k



1-k >0?k(k-1)<0。∴0<k<1。

k

答案 A 4.设 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3, 49 24 则△PF1F2 的面积为( A.30 C.24 ) B.25 D.40

x2

y2

1

解析 ∵|PF1|+|PF2|=14, 又|PF1|∶|PF2|=4∶3,∴|PF1|=8,|PF2|=6。 ∵|F1F2|=10,∴PF1⊥PF2。 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1|·|PF2|= ×8×6=24。 2 2 答案 C 5.(2015·浙江金丽衢十二校二联)若椭圆 C: + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 9 2 上,且|PF1|=4,则∠F1PF2=( A. C. π 6 2π 3 ) B. D. π 3 5π 6

x2 y2

解析 由题意得 a=3,c= 7,则|PF2|=2。 在△F2PF1 中,由余弦定理可得 4 +2 -?2 7? 1 cos ∠F2PF1= =- 。 2×4×2 2 2π 又∵∠F2PF1∈(0,π ),∴∠F2PF1= 。 3 答案 C 6.从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离 心率是( A. C. 2 4 2 2 ) B. D. 1 2 3 2
2 2 2

x2 y2 a b

解析 由题意可设 P(-c,y0)(c 为半焦距),

y0 b kOP=- ,kAB=- ,由于 OP∥AB, c a
∴- =- ,y0= ,

y0 c

b a

bc a

?bc?2 ?a? 2 bc ?- c ? ? ? ? ? 把 P?-c, ?代入椭圆方程得 + 2 =1, 2 a? a b ?
c 2 ?c?2 1 而? ? = ,∴e= = 。选 C。 a 2 ?a? 2
2

答案 C 7.过点( 3,- 5),且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方程为________。 25 9 解析 解法一:椭圆 + =1 的焦点为(0,-4),(0,4),即 c=4。由椭圆的定义知, 25 9 2a= ? 3-0? +?- 5+4? + ? 3-0? +?- 5-4? , 解得 a=2 5。 由 c =a -b 可得 b =4。 所以所求椭圆的标准方程为 + =1。 20 4
2 2 2 2 2 2 2 2

y2

x2

y2

x2

y2

x2

解法二:因为所求椭圆与椭圆 + =1 的焦点相同,所以其焦点在 y 轴上,且 c =25 25 9 -9=16。 设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0)。 因为 c =16,且 c =a -b ,故 a -b =16。① 又点( 3,- 5)在所求椭圆上, ?- 5? ? 3? 5 3 所以 + =1,即 2+ 2=1。② 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

y2

x2

2

y2 x2 a b

a

b

a

b

由①②得 b =4,a =20, 所以所求椭圆的标准方程为 答案 + =1 20 4 + =1。 20 4

2

2

y2

x2

y2

x2

8.若椭圆

y 1 + =1 的离心率 e= ,则 k 的值为________。 k+8 9 2

x2

2

解析 (1)若焦点在 x 轴上, 即 k+8>9>0 时,a =k+8,b =9,e = 2= (2)若焦点在 y 轴上,即 0<k+8<9 时,
2 2 2

c2 a2-b2 k-1 1 = = ,解得 k=4。 a a2 k+8 4

a2=9,b2=k+8, c2 a2-b2 1-k 1 5 e2= 2= 2 = = ,解得 k=- 。 a a 9 4 4
5 综上,k=4 或 k=- 。 4 5 答案 k=4 或 k=- 4

3

9.已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3) +y =1 和圆(x-3) +y 25 16 =4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________。

x2

y2

2

2

2

2

解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而 |PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7。 答案 7 10.(2015·安徽卷)设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐 标为(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 5 。 10 (1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB。 解

x2 y2 a b

?2 1 ? (1)由题设条件知,点 M 的坐标为? a, b?, ?3 3 ?
5 b 5 ,从而 = 。 10 2a 10

又 kOM=

c 2 5 2 2 进而 a= 5b,c= a -b =2b,故 e= = 。 a 5 b? → ?a 5b? ?a (2)证明:由 N 是 AC 的中点知,点 N 的坐标为? ,- ?,可得NM=? , ?。 2 2 ? ? ?6 6 ?
→ 又AB=(-a,b),从而有 →

AB·NM=- a2+ b2= (5b2-a2)。
→ → 2 2 由(1)的计算结果可知 a =5b ,所以AB·NM=0, 故 MN⊥AB。



1 6

5 6

1 6

x2 y2 11.(2015·山东卷)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 a b
为 1? 3 ? ,且点? 3, ?在椭圆 C 上。 2? 2 ? (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (2)设椭圆 E: 2+ 2=1,P 点为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 4a 4b E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q。
|OQ| ①求 的值; |OP|

4

②求△ABQ 面积的最大值。 解 又 3 1 (1)由题意知 2+ 2=1, a 4b

a2-b2 3 2 2 = ,解得 a =4,b =1, a 2 x2
2

所以椭圆 C 的方程为 +y =1。 4 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为 + =1。 16 4 |OQ| x0 2 ①设 P(x0,y0), =λ ,由题意知 Q(-λ x0,-λ y0)。因为 +y0=1, |OP| 4 ?-λ x0? ?-λ y0? λ ?x0 2? 又 + =1,即 ? +y0?=1, 16 4 4 ?4 ? |OQ| 所以 λ =2,即 =2。 |OP| ②设 A(x1,y1),B(x2,y2), 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程, 可得(1+4k )x +8kmx+4m -16=0, 由 Δ >0,可得 m <4+16k 。① 8km 4m -16 则有 x1+x2=- 2,x1x2= 2 。 1+4k 1+4k 4 16k +4-m 所以|x1-x2|= 。 2 1+4k 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m), 1 所以△OAB 的面积 S= |m||x1-x2| 2 = 2 16k +4-m |m| 2 ?16k +4-m ?m = 2 2 1+4k 1+4k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

=2 设

?4- m 2? m 。 ? 1+4k ?1+4k2 ? ?
m2
2

2

2

1+4k

=t。

将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 可得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0, 由 Δ ≥0,可得 m ≤1+4k 。② 由①②可知 0<t≤1, 因此 S=2 ?4-t?t=2 -t +4t。
2 2 2 2 2 2

5

故 S≤2 3, 当且仅当 t=1,即 m =1+4k 时取得最大值 2 3。 由①知,△ABQ 面积为 3S, 所以△ABQ 面积的最大值为 6 3。 B 组 培优演练 1 1.(2015·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 ,E 的右焦点与抛 2 物线 C:y =8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( A.3 C.9
2 2 2 2

)

B.6 D.12

解析 ∵抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2,0),∴E 的右焦点的坐标为(2,0)。 设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),∴c=2。

x2 y2 a b

c 1 2 2 2 ∵ = ,∴a=4。∴b =a -c =12, a 2
于是椭圆方程为 + =1。 16 12 ∵抛物线的准线方程为 x=-2, 将其代入椭圆方程可得 A(-2,3), B(-2, -3), ∴|AB| =6。 答案 B 2.已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合。若 M 关于 C 的焦点的对称点分别 9 4 为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________。 解析 如图,设 MN 的中点为 P,则由 F1 是 AM 的中点,可知|AN|=2|PF1|。

x2

y2

x2 y2

同理可知|BN|=2|PF2|。 ∴|AN|+|BN| =2(|PF1|+|PF2|)=4a=12。 答案 12 3.(2015·乌鲁木齐诊断)如图,椭圆 的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1,

B2,焦点分别为 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为钝角,则此椭圆的离心率的
取值范围为________。
6

x2 y2 → → 解析 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),∠B1PA2 为钝角可转化为B2A2,F2B1所夹的角为 a b
钝角,则(a,-b)·(-c, -b)<0, 得 b <ac,即 a -c <ac,故? ? + -1>0,即 e +e-1>0,
2 2 2 2

?c?2 c ?a? a

e>

5-1 - 5-1 5-1 或 e< ,又 0<e<1,∴ <e<1。 2 2 2 答案 ?

? 5-1 ? ,1? ? 2 ?
2

4.(2015·湖南卷)已知抛物线 C1:x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 2+ 2=1(a>b>0)的 一个焦点。C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6。过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交 → → 于 C,D 两点,且AC与BD同向。 (1)若 C2 的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率。 解 (1)由 C1:x =4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1)。
2 2 2

y2 x2 a b

因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以 a -b =1。① 又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x =4y,由此 3? 9 6 ? 易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为?± 6, ?,所以 2+ 2=1。② 2 4 a b ? ? 联立①②得 a =9,b =8 ,故 C2 的方程为 + =1。 9 8 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。 → → → → 因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4, 于是(x1+x2) -4x1x2=(x3+x4) -4x3x4,③
2 2 2 2 2

y2 x2

设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1。

7

由?

?y=kx+1, ? ?x =4y, ?
2

得 x -4kx-4=0,而 x1,x2 是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,

2

x1x2=-4。④ y=kx+1, ? ? 2 2 由?x y + =1 ? ?8 9

得(9+8k )x +16kx-64=0,而 x3,x4 是这个方程的两根,

2

2

16k 64 所以 x3+x4=- 2,x3x4=- 2。⑤ 9+8k 9+8k 16 k 4×64 2 将④,⑤代入③,得 16(k +1)= 2 2+ 2, ?9+8k ? 9+8k 16 ×9?k +1? 6 2 2 即 16(k +1)= ,所以(9+8k ) =16×9,解得 k=± ,即直线 l 的 2 2 ?9+8k ? 4
2 2 2 2 2

斜率为±

6 。 4

8


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