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高三数学总复习知能达标训练第十章第六节


高三数学总复习知能达标训练第十章第六节
(时间 40 分钟,满分 80 分) 一、选择题(6×5 分=30 分)

几何概型

1.(2011· 福建)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取 自△ABE 内部的概率等于

1 A.4 1 C.

2

1 B.3 2 D.3 1 |AB|· |AD| 2· 1 这是一道几何概型的概率问题,点 Q 取自△ABE 内部的概率为 = |AB|· = |AD| 2.故选 C. S矩形ABCD S△ABE C

解析 答案

2.函数 f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任取一点 x0∈[-5,5],使 f(x0)≤0 的概率是 A.1 3 C.10 解析 答案 2 B.3 2 D.5 将问题转化为与长度有关的几何概型求解,当 x0∈[-1,2]时,f(x0)≤0.则所求概率 P= C 2-?-1? 3 = . 5-?-5? 10

3.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边长为 6 的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷 800 个点, 已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是

A.12 C.8 解析 答案

B.9 D.6 200 正方形面积为 36,阴影部分面积为800×36=9. B

πx 1 2 4.在区间[-1,1]上随机取一个数 x,则 sin 4 的值介于-2与 2 之间的概率为 1 A.4 1 B.3

2 C.3 解析

5 D.6 πx 1 2 π πx π 2 在区间[-1,1]上随机取一个数 x,要使 sin 4 的值介于-2与 2 之间,需使-6≤ 4 ≤4,即-3≤x≤1,其

5 3 5 5 区间长度为3,由几何概型公式知所求概率为2=6,故选 D. 答案 D

x y 5.(2012· 枣庄模拟)在集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}内任取一个元素,能使不等式5+2-1≤0 成立的概率为 1 A.4 C. 1 3 3 B.4 D. 2 3

解析

集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线 x=0,x=5,y=0,y=4 所围成

x y 的长为 5、宽为 4 的矩形,而不等式5+2-1≤0 和集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}表示区域的公共部分是以 5 为底、2 1 2×5×2 1 为高的一个直角三角形,由几何概型公式可以求得概率为 =4. 5×4 答案 A

6.在可行域内任取一点,规则如流程图所示,则能输出数对(x,y)的概率为

π A.4 1 C.4

π B.2 1 D.8

解析 答案

?- 2≤x+y≤ 2 π 依题意可行域? 围成的区域面积为 4,而 x2+y2≤1 围成的区域面积为 π,故 P=4. ?- 2≤x-y≤ 2 A

二、填空题(3×4 分=12 分) 7.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角 界),则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________. 解析 3 2 3 设正三角形边长为 a,则外接圆半径 r= 2 a· 3= 3 a. 形边界及圆的边

3 2 4a 3 3 ∴概率 P= = 4π . ? 3 ? π? a?2 ?3 ? 答案 3 3 4π

8. 如图, 平面上一长 12 cm, 宽 10 cm 的矩形 ABCD 内有一半径为 1 cm 的圆 O(圆心 O 在矩形对角线交点处). 把 一枚半径 1 cm 硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内),则硬币不与圆 O 相碰的概率为________.

解析 答案

?12-2??10-2?-π·22 π P= =1-20. ?12-2??10-2? π 1-20
1 0

9.设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分 ? f ( x) d x .先产 生两组(每组 N 个)区间[0,1]的均匀随机数 x1、x2,?,xN 和 y1,y2,?yN,由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1,2,?,N), 再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1,2,?,N)的点数 N1,那么由随机模拟方法可得积分 ? f ( x) d x 的近似值为________.
0 1

解析

如图所示.

?

1

0

f ( x) d x

S正方形OABC

1 N1 N1 = N ,则 ? f ( x) d x = N . 0

答案

N1 N

三、解答题(38 分) 10.(12 分)某同学到公共汽车站等车上学,可乘坐 8 路、23 路,8 路车 10 分钟一班,23 路车 15 分钟一班,求 这位同学等车不超过 8 分钟的概率. 解析 如图,记“8 分钟内乘坐 8 路车或 23 路车”为事件 A,则 A 所占 区域面积为 式,得 P(A)=

8×10+7×8=136,整个区域的面积为 10×15=150,由几何概型的概率公 136 68 68 150=75.即这位同学等车不超过 8 分钟的概率为75.

11.(12 分)两人约定在 20∶00 到 21∶00 之间相见,并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去,如果两人出发 是各自独立的,在 20∶00 到 21∶00 各时刻相见的可能性是相等的, 求两人在约定时间内相见的概率. 解析 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点,要使两人能在约定时间范围内相见,

2 2 当且仅当-3≤x-y≤3. 两人到达约见地点所有时刻(x,y)的各种可能结果可用图中的单位正方形 的点来表示,两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻 (x,y)的各种可能结 阴影部分(包括边界)来表示. 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相 大小,也就是所求的概率为 S阴影 S单位正方形 ?1? 1-?3?2 ? ? 8 = 12 =9. 遇的可能性的 内(包括边界) 果可用图中的

P=

12.(14 分)已知关于 x 的二次函数 f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合 P={-1,1,2,3,4,5}和 Q={-2,-1,1,2,3,4},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;

?x+y-8≤0 (2)设点(a,b)是区域?x>0 ?y>0
解析

内的随机点,求函数 y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.

2b (1)∵函数 f(x)=ax2-4bx+1 的图象的对称轴为 x= a ,要使函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为

2b 增函数,当且仅当 a>0 且 a ≤1,即 2b≤a. 若 a=1,则 b=-2,-1; 若 a=2,则 b=-2,-1,1; 若 a=3,则 b=-2,-1,1; 若 a=4,则 b=-2,-1,1,2; 若 a=5,则 b=-2,-1,1,2; ∴所求事件包含基本事件的个数是 2+3+3+4+4=16.

16 4 ∴所求事件的概率为36=9. (2)由(1)知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数,依条件可知试验的 全部结果所构成的区域为

? ??a+b-8≤0 ? ?a>0 ??a,b?? ? ? ??b>0 ?
a+b-8=0 ? ? 由? a b= ? ? 2

? ? ?, ? ?

构成所求事件的区域为如图阴影部分. ?16 8? .得交点坐标为? 3 ,3?, ? ?

1 8 2×8×3 1 ∴所求事件的概率为 P=1 =3. × 8 × 8 2


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