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河南省郑州市、长葛市2014届高中毕业班第三次质量预测(三模)数学文试题(word版)

时间:2014-05-15


2014 届高中毕业班第三次质量预测(三模)

数学(文)试题
本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.考生应 首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效·交卷时只交答题卡.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要 求. 1.设集合 U={1,2,3,4,5) ,M={l,3,5) ,则 CUM= A.{1,2,4) B.{1,3,5) C.{2,4) D.U 2.复数 z ?

2 ? 4i (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是 1? i

A. (3,3) B. (一 1,3) C(3,一 1) D. (2,4) 3.通过随机询总裁 110 名性别不同的学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 4.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是

5.

10.设函数 f ( x ) )定义为如下数表,且对任意自然数 n 均有 xn+1= f ( xn ), 若x0 ? 6, 则x2014 的值为

A.1 B.2 C.4 D.5 11.利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则 打印的点在圆 x2+y2=10 内的共有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5 12.设函数 f ( x ) 是定义在(一 ? ,0)上的可导函数,其导函数

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13—21 题为必考题。每个试题考生都必须作答。第 22—24 题为 选考题。考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分. 13.已知等差数列{ an }满足 a3 ? a9 ? 12 ,则其前 n 项之和 S11= .

14.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛,成 绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为: [20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100].若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是



15.等边三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 问的距离为 2 ,此时四面体 ABCD 外接球体积为 .

16.已知圆 P: x2 ? y2 ? 4 y及抛物线S : x2 ? 8 y ,过圆心 P 作直线 l,此直线与上述两曲线的四个交点, 自左向右顺次记为 A,B,C,D,如果线段 AB,BC,CD 的长按此顺序构成一个等差数列,则直线 Z 的斜率为 . 三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知在数列{ an }中, a1 ? 3, an?1 ? 4an ? 3. (I)求证:数列{ an ? 1 }是等比数列,并求出数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设数列{ an }的前竹项和为 Sn,求 Sn.

18. (本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 z 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据:

若广告费支出 z 与销售额 y 回归直线方程为多一 6.5z+n(n∈R) . (I)试预测当广告费支出为 12 万元时,销售额是多少? (Ⅱ)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率.

19. (本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O, 且恰好与直线 l1 : x ? 2 y ? 3 5 ? 0 相切, 点 A 为圆上一动点, AM ? x

轴于点 M,且动点 N 满

,设动点 N 的轨迹为曲线 C.

(I)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)直线 l 与直线 l1 垂直且与曲线 C 交于 B、D 两点,求△OBD 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分)

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在△ABC 中,CD 是∠ACB 的角平分线,△ADC 的外 接圆交 BC 于点 E,AB=2AC (I)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

(I)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (II)设直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,定点 P(—2,—3) ,求|PA|·|PB|的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 3a |,(a ? R) (I)当 a=1 时,解不等式 f ( x) ? 5? | 2 x ? 1|; (II)若存在 x0 R, 使f ( x0 ) ? x0 ? 6, 成立,求 a 的取值范围.

2014 年高中毕业年级第三次质量预测 文科数学
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 A 5 D 6 C 7 C 8 B 9 D 10 D 11 B 12 C

参考答案

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.66 14. 50 15.

5 5? 6

16. ?

2 2

三、解答题:本大题共 6 道题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (Ⅰ)

an?1 ? 1 4an ? 3 ? 1 ? ?4, an ? 1 an ? 1

所以数列 ?an ? 1? 是以 2 为首项,以 4 为公比的等比数列,………………………4 分 则 an ? 1 ? 2 ? 4 n?1 ;
2

所以 an ? 2 ? 4n?1 ? 1. ………………………………6 分

(Ⅱ) Sn ? 2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 18.【解】 (Ⅰ) x ?

? 2 ? 4n?1 ? n ?

2 ? (1 ? 4n ) 2 ? n ? ? (4n ? 1) ? n. .………12 分 1? 4 3

2?4?5?6?8 30 ? 40 ? 50 ? 60 ? 70 ? 5, y ? ? 50, 5 5

因为点(5,50)在回归直线上,代入回归直线方程求得 a ? 17.5 ,

? ? 6.5x ? 17.5 ………………………………3 分 所求回归直线方程为: y ? ? 6.5 ? 12 ? 17.5 ? 95.5 .………………5 分 当广告支出为 12 时,销售额 y
(Ⅱ)实际值和预测值对应表为

在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事件: (30,40) , (30,60) , (30,50) , (30,70) , (40,60) , (40,50) , (40,70) , (60,50) , (60,70) , (50,70)共 10 个,………………………………10 分 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5 的有(60,50) , 所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为

P ? 1?

1 9 ? . 10 10

………………………………12 分

19.【解】 (Ⅰ)取 AB 的中点为 M ,连接 EF, EM , CM ,

? E 是 A1B 的中点, F 是棱 CC1 中点,

? EM ∥ AA 1 , EM ? FC ? 1 , FC // AA

1 AA1 , 2

则四边形 EMCF 是平行四边形,? EF // CM , 又因为 ?ABC 为正三角形,侧面 AA1C1C 是正方形,

? AA 1 ? AB ,所以 AE ? A 1 B , CM ? AB ,
因为侧棱 AA 1, 1 ⊥平面 ABC ,所以 CM ? AA

? CM ? 平面A1 AB ,? EF ? 平面A1 AB ,所以 EF ? AE ,
又因为 AE ? A1 B , A1 B ? EF ? E ,所以 AE ? 平面 A1 FB .…6 分 (Ⅱ)设正方形 AA 1C1C 的边长为 x 由于 E 是 A1B 的中点,△EAB 的面积为定值。 M

CC1 ∥平面 AA1B ,? 点 F 到平面 EAB 的距离为定值
即为点 C 到平面平面 AA1B 的距离 又 VE ? ABF ? VF ? ABE ,且 VF ? ABE ? 即 ?

1 S ?ABE ? h = 9 3. 3

1 1 x 3 3 ? x? ? x ? 9 3 ,? x3 ? 216,? x ? 6. 所以正方形的边长为 6.…………………12 分 3 2 2 2 3

20.(Ⅰ)设动点 N ( x, y) , A( x0 , y0 ), 因为 AM ? x 轴于 M ,所以 M ( x0 ,0) , 设圆 C1 的方程为 x ? y ? r ,
2 2 2

由题意得 r ?

3 5 1? 4

? 3,

所以圆 C1 的程为 x 2 ? y 2 ? 9 .………………………………2 分

由题意, ON ?

3 3 3 3 OA ? (1 ? )OM ,所以 ( x, y) ? ( x0 , y0 ) ? (1 ? )(x0 ,0) , 3 3 3 3

? x ? x0 , ? ? x0 ? x, ? 所以 ? 即 ? 3 y0 , ? ? y0 ? 3 y. ?y ? 3 ?
x2 y2 ? ? 1 ,………………………………5 分 9 3

将 A( x, 3 y) 代入 x ? y ? 9 ,得动点 N 的轨迹方程
2 2

x2 y2 (Ⅱ )由题意可设直线 l : 2 x ? y ? m ? 0 ,设直线 l 与椭圆 ? ? 1 交于 B( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) , 9 3
联立方程 ?

? y ? ?2 x ? m,
2 2 ?x ? 3y ? 9

得 13x ? 12mx ? 3m ? 9 ? 0 ,
2 2

? ? 144m2 ? 13? 4(3m2 ? 9) ? 0 ,解得 m 2 ? 39 ,
x1, 2 ? ? 12m ? 468? 12m2 ? 6m ? 117 ? 3m2 ,………………………7 分 ? 26 13

又因为点

到直线 的距离 d ?

m 5

, BD ? 5 ? x1 ? x2 ? 5 ?

2 117 ? 3m2 , 13

m2 (117 ? 3m2 ) 3m2 (39 ? m2 ) 3 3 1 m 2 117 ? 3m2 .(当且仅当 ? S?OBD ? ? ? 5? ? ? 2 2 5 13 13 13
m 2 ? 39 ? m 2 即 m 2 ?
39 时取到最大值) 2

? ?OBD 面积的最大值为

3 3 .………………………………12 分 2

2 21.(Ⅰ ) f ?( x) ? 1 ? 1 x ? 1 ? ? x ? x ? 2 , ( x ? 0) 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1(?2舍去) , x 2 2 2x

根据 x, f ?( x), f ( x) 的变化情况列出表格:

x
f ?( x) f ( x)

(0,1) + 递增

1 0 极大值 ?

(1,??)
_

3 4

递减

由上表可知函数 f ( x ) 的单调增区间为(0,1) ,递减区间为 (1,??) ,

3 ,无极小值..………………………………5 分 4 1 2 1 2 (Ⅱ ) g ( x) ? x( f ( x) ? x ? 1) ? x ln x ? x ? x , g ?( x) ? ln x ? 1 ? x ? 1 ? ln x ? x ? 2 , 4 2 1 1? x ? h?( x) ? ? 1 ? 令 h( x) ? ln x ? x ? 2 , , x x
在 x ? 1 处取得极大值 ? 因为 x ? 1,? h?( x) ? 0 恒成立,所以 h( x) 在 (1,??) 为单调递减函数, 因为 h(1) ? 1 ? 0, h(2) ? ln 2 ? 0, h(3) ? ln 3 ? 1 ? 0, h(4) ? ln 4 ? 2 ? 0.

所以 h( x) 在区间 (3,4) 上有零点 x0 ,且函数 g ( x) 在区间 (3, x0) 和

( x0 , 4) 上单调性相反,
因此,当 n ? 3 时, g ( x) 在区间 (n, n ? 1) 内存在极值.所以 n ? 3 .…12 分 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分. 22. (Ⅰ ) 连接 DE ,因为 ACED 是圆内接四边形, 所以 ?BDE ? ?BCA, 又 ?DBE ? ?CBA,

? ?DBE ∽?CBA ,即有

BE DE ? , BA CA

又因为 AB ? 2 AC ,可得 BE ? 2DE, 因为 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD ;………………………………5 分 (Ⅱ )由条件知 AB ? 2 AC ? 6 ,设 AD ? t ,则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 6 ,
2 根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? (2t ? 6), 即 2t ? 9t ? 18 ? 0 ,解得 t ?

3 或? 6 2

(舍去) ,则 AD ?

3 . ……10 分 2

23.(Ⅰ ) ? ? 4 2 sin(? ?

?

4

) ? 4 sin ? ? 4 cos ? ,
所以 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 ,即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ;

所以 ? 2 ? 4? sin ? ? 4? cos? ,

直线 l 的普通方程为: 3x ? y ? 2 3 ? 3 ? 0 ;………………………………5 分 (Ⅱ )把直线 l 的参数方程带入到圆 C : x ? y ? 4x ? 4 y ? 0 ,
2 2

得 t 2 ? (4 ? 5 3)t ? 33 ? 0 ,

?t1 ,2 ?

4 ? 5 3 ? 40 3 ? 41 ,?t1t2 ? 33. 2

因为点 P(?2,?3) 显然在直线 l 上,由直线标准参数方程下 t 的几何意义知 所以

PA PB = t1t2 ? 33,

PA PB ? 33 .………………………………10 分
1 1 时,不等式即 3 ? x ? 1 ? 2 x ? 5,? x ? ? , 2 3

24. (Ⅰ )当 a ? 1 时,不等式 f ?x ? ? 5 ? 2x ? 1 可化为 x ? 3 ? 2x ? 1 ? 5 , 当x? 当

1 ? x ? 3 时,不等式即 3 ? x ? 2 x ? 1 ? 5,? x ? 3, 2

所以 x ? ? ,当 x ? 3 时,不等式即 x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 5,? x ? 3 ,

综上所述不等式的解集为 ? x x ? ? 或x ? 3? ;………………………………5 分

? ?

1 3

? ?

(Ⅱ )令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? 3a ? x ? ? 所以函数 g ( x) ? f ( x) ? x 最小值为 3a ,

?2 x ? 3a, x ? 3a , ?3a, x ? 3a

根据题意可得 3a ? 6 ,即 a ? 2 ,所以 a 的取值范围为 (??,2) .………………………………10 分


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