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导数的四则运算法则


1.2.3 导数的四则运算法则

一.函数和(或差)的求导法则 设f(x),g(x)是可导的,则(f(x)±g(x))’=

f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(或差). 即 (u ? v)' ? u '?v'

证明:令y=f(x)

+g(x),则
?y ? f ( x ? ?x) ? g ( x ? ?x) ? [ f ( x) ? g ( x)]
? [ f ( x ? ?x) ? f ( x)] ? [ g ( x ? ?x) ? g ( x)] ? ?f ? ?g

?y ?f ?g ? ? ?x ?x ?x
?y ?f ?g ? ?f ?g ? lim ? lim ? ? ? lim ? lim ? ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ? ?x?0 ?x ?x?0 ?x ?

即 y ' ? ( f ? g ) ' ? f '? g '

同理可证 y ' ? ( f ? g ) ' ? f '? g ' 这个法则可以推广到任意有限个函数, 即 ( f1 ? f2 ?

? fn )' ? f1 '? f2 '?

? fn '

二.函数积的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数,则
[ f ( x) g ( x)]' ? f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x)

两个函数的积的导数,等于第一个函 数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,

即 (uv)' ? u' v ? uv'
证:
y ? f ( x ) ? u( x )v( x ),

?y ? u( x ? ?x )v( x ? ?x ) ? u( x )v( x ) ? u( x ? ?x )v( x ? ?x ) ? u( x )v( x ? ?x ) ? u( x )v( x ? ?x ) ? u( x )v( x ),
?y u( x ? ?x ) ? u( x ) v ( x ? ?x ) ? v ( x ) ? v ( x ? ?x ) ? u( x ) . ?x ?x ?x

因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:
?y u( x ? ?x ) ? u( x ) lim ? lim v ( x ? ?x ) ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x v ( x ? ?x ) ? v ( x ) ? u( x ) l i m ? u?( x )v ( x ) ? u( x )v ?( x ); ?x ? 0 ?x

推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函 数的导数, 即: (Cu)? ? Cu?. 三.函数的商的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数,g(x)≠0, 两个函数的商的导数,等于分子的导数与 分母的积,减去分母的导数与分子的积, 再除以分母的平方,



f ( x) f '( x) g ( x) ? f ( x) g '( x) [ ]' ? g ( x) g 2 ( x)

例1.求多项式函数
f(x)= a0 x ? a1x
n n?1

?

? an?1x ? an 的导数。
n?1

解:f ’(x)= (a0 x ? a1x
n

?

? an?1x ? an )'
n ?2

? a0nx

n?1

? a1 (n ?1) x

?

? an?1

例2.求y=xsinx的导数。

解:y’=(x· sinx)’
=x’·sinx+x· (sinx)’

=sinx+xcosx.

例3.求y=sin2x的导数。 解:y’=(2sinxcosx)’ =2(cosx· cosx-sinx· sinx)
=2cos2x. 例4.求y=tanx的导数。
sin x )' 解:y’= ( cos x cos x cos x ? sin x sin x 1 ? ? 2 2 cos x cos x

1 例5.求y= · cosx的导数. x 1 解法一:y’=( x ·cosx)′ 1 1 =( )’cosx+ (cosx)′ x x
1 1 ?3 1 2 ? ( x )? cos x ? sin x ? ? x cos x ? sin x 2 x x cos x 1 cos x ? 2 x sin x ?? ? sin x ? ? 3 x 2x x 2 x
? 1 2

1 cos x 解法二:y’=( ·cosx)’=( )′ x x
1 ?1 2 ? sin x ? x ? cos x ? ? x (cos x)? x ? cos x( x )? 2 ? ? x ( x )2
2 x ?? x cos x ? 2 x sin x ?? 2x x x sin x ? 1 cos x 2 x sin x ? cos x ?? 2x x

1? x 例6.求y= 的导数. 3? x
2 2 ? ? 1 ? x (1 ? x ) (3 ? x ) ? (1 ? x )(3 ? x ) 解: y ' ? ( )' ? 3? x (3 ? x 2 )2

3 ? x ? (1 ? x)(?2 x) x ? 2 x ? 3 ? ? 2 2 2 2 (3 ? x ) (3 ? x )
2 2

练习题
1.函数y=sin2x的导数为( B ) (A)y’=cos2x (B)y’=2cos2x (C)y’=2(sin2x-cos2x)

(D)y’=-sin2x

2.下列曲线在点x=0处没有切线的是 (D)

(A)y=x3+sinx
(B)y=x2-cosx

(C)y=x

3

x +1

(D)y= x ? cos x

3.若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导
函数,且f(x),g(x)满足f ’(x)=g’(x),则f(x) 与g(x)满足( B ) (A)f(x)=g(x) (B)f(x)-g(x)为常数函数

(C)f(x)=g(x)=0
(D)f(x)+g(x)为常数函数

4.曲线y=x3+x2+l在点P(-1,1)处的切 线方程为 y=x+2 .

? 2 5.曲线y=sinx在点P( , )处的切线的 4 2 2 倾斜角为 . arctan 2

6.函数 y=sinx(cosx+1)的导数为

y’=cos2x+cosx

.

7.已知抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处与 直线y=x+1相切,求b,c的值.
?b ? ?1 ? ?c?2

8.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相 切,试求k的值. 解: ∵ y=x3-3x2+2x,

∴ y’=3x2-6x+2,y’|x=0=2,
又∵直线与曲线均过原点, ∴ 当直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相

切于原点时,k=2.

若直线与曲线切于点(x0,y0)(x0≠0).
y0 则 k= x0

又点(x0,y0)也在曲线y=x3-3x2+2x上,



y0=x03-3x02+2x0,

y0 2 ? x0 ? 3x0 ? 2 x0

又∵ y’=3x2-6x+2, ∴ k=3x02-6x0+2,

∴ x02-3x0+2=3x02-6x0+2,

∴ 2x02-3x0=0. ∵ x0≠0, ∴ x0= k=3x0
2-6x

3 2

1 0+2=- 4



1 综上所述,k=2或k=- 4


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