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第1章 命题逻辑-5


?定义1:当且仅当P ? ?

1.5 蕴涵式

Q是一个重言式时, 我们称“P蕴含Q”,并记作P ? Q.

符号→和?的区别与联系类似于?和?的关系。

区别:
→是逻辑联结词,属于对象语言中的符号, 是公式中的符号; ?不是联结词,属于元语言中的符号,表示两个 公式之间的关系,不是两公

式中符号。 A?B成立,其充要条件A→B是永真式。 联系:

原命题

逆换式

反换式

逆反式

P?Q

Q?P

? P?? Q ? Q?? P

? 它们之间具有如下关系: P?Q ? ? Q?? P Q?P ? ? P?? Q

蕴含 式的证明
A?B成立,其充要条件A→B是永真式。

1. 真值表法

2. 等值演算法
原理:

3. 分析(推证)法 若要P ? Q,

则有P ? Q ?T, 或? Q ? ? P ?T 分析:对于P ? Q :

P ?F时,
P ?T时,

对任意的Q, P ? Q ?T;
Q ?T,才有P ? Q ?T;

Q ?F,则有P ? Q ?F;



1).可设P ?T

推出Q?T 有结论P ? Q ?T,则P ? Q。

直接分析法: 前件真,后件必真。

2).由逆反式
可设? Q ?T,

P? Q? ? Q ? ? P 即Q?F, 推出? P ?T 即P?F,

有结论? Q ? ? P ?T , 则? Q ? ? P 。 即P ? Q。 间接分析法: 后件假,前件必假。

? 例: 证明┐Q∧(P→Q)?┐P ? 1) 法1:真值表(略) ? 2) 法2: ┐Q∧(P→Q)→ ┐P ? ? ┐(┐Q∧(P→Q))∨(┐P ) ? ? Q∨┐(┐P∨Q)∨(┐P ) ? ? (┐P∨Q)∨┐(┐P∨Q) ? ?1 ? 即┐Q∧(P→Q)?┐P

? 3) 直接分析法: ? 若 ┐Q∧(P→Q)为真,则 ┐Q,P→Q为真,所以Q为 假,P为假,所以┐P为真。 ? ? 间接分析法: ? 若┐P为假,则P为真,再分二种情况: ? ①若Q为真,则┐Q为假,从而┐Q∧(P→Q) 为假. ? ②若Q为假,则P→Q为假,则┐Q∧(P→Q)为假. ? 根据① ②,所以 ┐Q∧(P→Q)?┐P

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

下面常用的14个蕴含式, 都可以用上述方法加以推 证. 1. P∧Q?P 2. P∧Q?Q 3. P?P∨Q 4. ┐P?P→Q 5. Q?P→Q 6. ┐(P→Q )?P 7. ┐(P→Q )?┐Q 8. P∧(P→Q )?Q 9. ┐Q∧(P→Q )?┐P 10. ┐P∧(P∨Q )?Q 11. (P→Q )∧(Q→R)?P→R 12. (P∨Q )∧(P→R)∧(Q→R)?R 13. (P→Q)∧(R→S)? (P∧R)→(Q∧S ) 14. (P?Q)∧(Q?R)? (P?R) 见P16

下面给出等价式与蕴涵式之间的关系。 定理:

? 设A和B是两命题公式, ? A?B的充要条件是A?B且B?A。
? 蕴含式有下列性质: ? 自反性,即对任意公式A,有A?A。 ? 传递性,即对任意公式A、B和C,若 A?B,B?C,则A?C。

? 小结:本节介绍了命题公式的分类,重言式、 矛盾式与蕴含式的概念及其性质,等价式与蕴 涵式的关系。 ? 重点掌握: ? (1)用等值演算法判别命题公式的类型。 ? (2)重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。 ? (3)等价式与蕴涵式的关系。
?

作业: P16: 2; 4;5.


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