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2014高中数学(预习自测+课内练习+巩固提高)3.2.2 函数模型及其应用(2)新人教A版必修1

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3.2.2 函数模型及其应用(2)
【自学目标】 1.学会分析问题,准确地选择函数模型; 2. 学会解决常见的函数问题,如增长率问题、最佳效益问题; 3. 培养分析问题、解决问题的能力. 【知识要点】 1.用已知函数模型解决实际问题 数学应用题一般文字叙述较长,反映的时间背景新颖,知识涉及广, 这就要求 有 较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力. 2.增长率问题 在实际问题中,常常遇到平均增长率问题,如果原来产值的基础数为 N,平均增长率 x 为 P,则对于时间 x 的总产值为 y,用公式 y=N(1+P) 表示,解决平均增长率,要用这个公 式. 3.最佳效益问题 实际问题中中的最佳效益问题,即函数的最值问题.求函数最值的方法 较多. 【预习自测】 例 1.某丁在甲、乙俩地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台,现销售给 A 地 10 台,B 地 8 台,已知从甲地调运一台至 A 地、B 地的费用分别为 400 元和 800 元,从乙地调运一台 到 A 地、B 地的运费分别是 300 元和 500 元 (1) 若从乙地要调运 x 台至 A 地,求总运费 y(元)与 x 之间的函数关系式 (2) 若总运费不得超过 9000 元,问共有几种调运方案 (3) 求出总运费最低的调运方案及最低的运费

例 2.渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大 养殖量,必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量 y 吨与空闲率和实际增长量 x 的乘 积成正比,比例系数为 k(k>0)(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值) 。 (1) 写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2) 求鱼群年增长量的最大值; (3) 当鱼群的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围.

1

例 3.在某服装批发市场,季节性服装当季节来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定 价为 10 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的 价格平稳销售;10 周后当 季节即将过去时,平均每天削价 2 元,直到 16 周末,该服装已不再销售。 (1) 试建立价格 p(元)与周次 t 之间的函数关系; (2) 若此服装每周进价 q(元)与周次 t 之间的关系式为

q ? ?0.125 (t ? 8) 2 ? 12, t ? [0,16], t ? N ,试问该服装第几周 每件销售利润最大?

例 4.某城市现有人口数为 100 万人,如果年增长率为 1.2%,试解答以下问题: (1) 写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x (年)的函数关系式; (2) 计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人) ; (3) 计算大约多少年以后,该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年) (4) 如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人,年自然增长率应该控制在多少?

【课内练习】 1.某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表: x y 1 1 2 3 3 8 …… …… )

下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( A. y ? 2 x ? 1 C. y ? 2 ? 1
x

B. y ? x ? 1
2

D. y ? 1.5 x ? 2.5 x ? 2
2

2.已知 A、B 两地相距 150km,某人开车以 60km/h 的速度从 A 到达 B 地,在 B 地停留 1 小时 后,再以 50km/h 的速度返回 A 地,汽车离开 A 地的距离 x 随时间变化的关系式是
2

3.某厂年生产化肥 8000 吨,计划 5 年后把产量提高到 14000 吨, 则平均每年增长的百分数是(精确到 0.1%) 参考数据:

lg 1.4 ? 0.1461, lg 1.75 ? 0.2430 , lg 1119 ? 3.0486 , 5 1.75 ? 1.119 , 6 1.75 ? 1.098

1. 设距地面高度 x(km)的气温为 y(℃) ,在距地面高度不超过 11km 时,y 随着 x 的增加而降低,且每升高 1km,大气温度降低 6℃;高度超过 11km 时,气温可 视为不变。设地面气温为 22℃,试写出 y ? f (x) 的解析式,并分别求高度为 3.5km 和 12km 的气温。

【归纳反思】 就一般的数学建模来说,是离不开假设的,如果在问题的原始状态下不作任 何假设, 将所有的变化因素全部考虑进去,对于稍微 复杂一点的问题就无法下手了. 【巩固提高】 1.(一次函数模型)某公司 市场营销的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其 图象如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是( ) A310 元 B300 元 C290 元 D280 元 收入 (元 )

1300 800 0 1
销售量 (万件 )

2

x

2.(二次函数模型)将进货单价为 8 元的某商品按 10 元一个售出时,能卖出 200 个,已知 这种商品每涨价 1 元,其销售量减少 20 个,为了获得最大利润,售价应定为( ) A11 元 B12 元 C13 元 D14 元 3.一家旅社有 100 间相同的客房, 经过一段时间的经营实践, 旅社经理发现每间客房每天的 价格与住房率之间的关系如下: 每间每天定价/元 住房率 20 65℅ 18 75℅ 16 85℅ ) D14 元 14 95℅

要使每天收入达到最高,每天定价应为( A20 元 B18 元 C16 元

3

4.(分段函数模型)电讯费调整后, 市话费标准为:通话时间不超过 3 分钟,收费 0.2 元; 超过 3 分钟,每增加 1 分钟收费 0.1 元,不足 1 分钟按 1 分钟计算,则通话费 S(元)与通 话时间 t(分钟)的函数图象(如下图)可表示为( )

S
0.6 0.4 0.2

S
0.6 0.4 0.2

O

3 6 (A)

t

O

3 6 (B)

t

S
0.6 0.4 0.2

S
0.6 0.4 0.2

O

3 6 (C)

t

O

3 6 (D)

t

5.某种菌类生长很快, 长度每天增长 1 倍, 20 天长成 4 米, 在 那么长成 0.25 米要 ( ) A1.25 天 B5 天 C16 天 D12 天 6.有一批材料可以建成长 200 米的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场 地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图) 则围成矩形的最大面积 , 是 .

7.十六大提出全面建设小康社会,国际上常用恩格尔系数(记 作 n)来衡量一个国家和地区 人民生活水平的状况,它的计算公式是: n ? 如下表所示: 家庭类 型 n ℅ n>60 50℅<n ≤60℅ <n ℅ 根据某地区家庭抽样调查统计预测 1998 年至 2005 年间每户家庭支出总额每年平均增加 1000 元,其中食品消费支出总额 每年平均增加 300 元。 (1)若 1998 年该地区家庭刚达到温饱,且该年度消费支出总额为 10000 元,问 2003 年能 40 ℅ ≤ 50 30℅<n≤40℅ ℅ n ≤ 30 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕

食品消费水平总额 ? 100 % ,各种家庭的 n 消费支出总额

4

否达到小康?请说明理由。 (2)若 2003 年比 1 998 年的消费支出总额增加 40%,而其中食品消费支出总额增加 20%, 问 2005 年能否达到小康?请说明理由。

8.某城市自来水厂向全市供应生产与生活用水,蓄水池现有水 9 前吨,水厂每小时向池中注 入 2 千吨 水,同时向全市供水, x 小时内供水总量为 8 x ,问: (1)多少小时 时池内水量最少? (2)当蓄水池水量少于 3 千吨时,供水就会出现紧张现象,那么出现这种紧张情况有多长 时间? (3)为了保证生产,生活的需要,决定扩大生产每小时向池内注水 3 千吨,能否消除供水 紧张现象?为什么?

9.假设国家收购某种农产品的价格是 120 元/担,其中征税标准为每 100 元征收 8 元(收税 率为 8 个百分点,即 8%) ,计划可收购 m 万担,为减轻农民的负担,决定税率降低 x 个百分 点,这样收购量预计可增加 2 x 个百分点。 (1)写出税收 y (万元)与 x 的函数关系式; (2)当 x 不低于 2 个百分点时,求税率调节后的税收金额比税率调节前的税收金额最少要 减少多少个百分点?

5

函数的模型及应用(2) 【预习自测】 例 1.(1) y ? ?200 x ? 10600 (4 ? x ? 10, x ? N ) (2)有 3 种 (3) x ? 10, y min ? 8600 例 2. ( 1 ) y ?

k ( m ? m0 ) 2 k (3) (m ? m0 ? x) x, (0 ? x ? m ? m0 ) ( 2 ) y max ? 4m m
?10 ? 2t (1 ? t ? 5, t ? N ) ? 例 3.(1) P ? ?20 (6 ? t ? 10, t ? N ) (2)第 5 周,利润最 ?20 ? 2(t ? 10 )(1 ? t ? 16, t ? N ) ?
x

4m 0?k ? m ? m0

大 例 4(1) y ? 100 (1 ? 1.2%)

(2)112.7 万 (3)15 (4) 0.09%

【课内训练】

? 60t ,0 ? t ? 2.5 ?22 ? 6 x,0 ? x ? 11 ? 1.B 2. y ? ? 150 ,2.5 ? t ? 3.5 .3. 11.8% .4. y ? ? 当 x ? 3.5 时, ?? 44, x ? 11 ?360 ? 60t ,3.5 ? t ? 6 ?

y ? 1 当 x ? 12 时 y ? ?44 .
【巩固提高】 1. B 小时 2. D 3. C

4.B

5.C

6.2500 m 2

7.略

8.(1)4 小时(2)8

9.(1) y ?

3 m(50 ? x)(8 ? x) (2)22 125

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