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广东省11大市2013届高三数学(理)一模试题分类汇编13:圆锥曲线


广东省 11 大市 2013 届高三数学(理)一模试题分类汇编
圆锥曲线
一、填空、选择题 1、(广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一))直线 x ?
3 y ? 0 截圆

?x

? 2?

2

? y

2

/>? 4 所得劣弧所对的圆心角是

A.

?
6

B.

?
3 2? 3

C.

?
2

D.

答案:D 2、江门市 2013 届高三 2 月高考模拟) ( 在平面直角坐标系 Oxy 中, 若双曲线 的焦距为 8 ,则 m ? 答案:3 .
x
2

? m

y
2

2

m

? 4

?1

3、 (揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)已知圆 C 经过直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与坐标轴的两 个交点,且经过抛物线 y ? 8 x 的焦点,则圆 C 的方程为
2


1 1 5 2

答案: 易得圆心坐标为 ( , ) , 半径为 r ?
2 2

1 1

5 2

, 故所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?
2 2

【或 x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 . 】
2 2

4、(梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检)已知双曲线
?
3

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的两条近

线的夹角为

学科网 ,则双曲线的离心率为___

答案: 5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)已知动点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么使得点 P 到定点 Q(2,,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和最小的点 P 的坐标为___ 答案: ( ,?1)
4 1

6、(韶关市 2013 届高三调研考试)若方程 范围是( ) A、-1<k<1 答案:A

x

2

1? k

?

y

2

1? k

? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值

B、k>0

C、k≤0

D、k>1 或 k<-1

7、 (深圳市2013届高三2月第一次调研考试) 双曲线 x ? my ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,
2 2

则m ?? A.
1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

答案:D 【解析】 1=2
1 m , m ? 4.
1 4

8、(肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试)若圆 x 2 ? y 2 ? mx ? 切,其圆心在 y 轴的左侧,则 m=__▲__. 答案: 3

? 0 与直线 y ? ?1 相

9、(佛山市 2013 届高三教学质量检测(一))已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的
2

距离是 5 ,则点 P 的横坐标是_____. 答案: ? 4 10、(茂名市 2013 届高三第一次高考模拟考试)已知双曲线 x ? k y ? 1 的一个焦点是
2 2

0 ( 5, ),则其渐近线方程为

.

答案: y ? ? 2 x 11、(湛江市 2013 届高三高考测试(一))已知点 A 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)与双 曲线 C2:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的交点,若点 A 到抛物线 C1 的准线的距

离为 p,则双曲线的离心率等于____ 答案: 5 解析:

二、解答题 1、(广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一))已知椭圆 C1 的中心在坐标原点, 两个焦点分别为 F1 (?2, 0) , F2 ? 2,0 ? ,点 A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物 线 C2 : x 2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1 ,l2 ,且 l1 与 l2 交于 点P. (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不 必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

(1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为
?2 3 ? 2 ? 2 ? 1, 依题意: ? a b ? a 2 ? b 2 ? 4. ?
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0? ,

解得: ?

? a ? 16, ?
2

?b ? 12. ?
2

……………2 分

∴ 椭圆 C1 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

…………3 分

16

12 x a
2 2

解法 2:设椭圆 C1 的方程为

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0? ,

根据椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 , ∵ c ? 2 , ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 .
x
2

…………1 分 ……………2 分

∴ 椭圆 C1 的方程为

?

y

2

? 1.

……………3 分

16

12

(2)解法 1:设点 B ( x1 ,
BA ? ( 2 ? x1 ,3 ?

1 4 1 4

x1 ) , C ( x 2 , x1 ) ,
2

2

1 4

x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 ,
2

1 4

( x 2 ? x1 )) ,
2 2

∵ A, B, C 三点共线,
??? ? ??? ?

∴ BC // BA . ∴ ? x2 ? x1 ? ? 3 ?
? ? 1 1 2 ? 2 2 x1 ? ? x2 ? x1 4 4 ?

……………4 分

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: 2 x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 12 . ( 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?
1 4 x ,得 y? ?
2


1 2 1 4

……………5 分

x.

…………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x1 ?
2

x1 2 x2 2

( x ? x1 ) , y ? 即

x1 2

x?

1 4

x1 . ②

2

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

x?

1 4

x2 .

2

③………8 分

设点 P ( x, y ) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?
1 4 1 2

x1 2

x?

1 4

x1 ?
2

x2 2

x?

1 4

x2 ,

2

( x1 ? x 2 ) .

……………9 分 ……………10 分

x1 x 2 ,

则 2 x ? x1 ? x 2 , 4 y ? x1 x 2 代 入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 , 即 点 P 的 轨 迹 方 程 为
y ? x ? 3 .……………11 分

若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, ………12 分

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个. ……………13 分 …………14 分

解法 2:设点 B ( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) ,

由 x 2 ? 4 y ,即 y ?

1 4

x ,得 y? ?
2

1 2

x.

……………4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

x1 2

( x ? x1 ) ,

即y?

x1 2

x ? y1 ?

1 2

x1 .

2

……………5 分

∵ y1 ?

1 4

x1 , ∴ y ?
2

x1 2

x ? y1 .

∵点 P ( x 0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

∴ y0 ?

x1 2

x 0 ? y1 .



…………6 分

同理, y 0 ?

x2 2

x0 ? y 2 .



……………7 分
x 2

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?
x 2 x0 ? y ,

x 0 ? y .……8 分

……………9 分 ……………10 分 ……………11 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . 若 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

∴ y 0 ? x0 ? 3 .

,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,…12 分

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 的点 P 有两个. ……………13 分 ……………14分

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ? 3 , 由?
? y ? k ? ?x ?
2

?x

? 2 ? ? 3,

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

………4分

? 4 y,

设 B ? x1 , y1 ? ,C ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 8k ? 12 .

……………5分

由 x 2 ? 4 y ,即 y ?

1 4

x ,得 y? ?
2

1 2

x.

……………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ? 分 ∵ y1 ?
1 4 x1 , ∴ y ?
2

x1 2

( x ? x1 ) ,即 y ?

x1 2

x ? y1 ?

1 2

x1 .…7

2

x1 2

x ?

1 4

x1 .

2

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

x2 2

x ?

1 4

x2 .

2

……………8 分

? ? x1 x1 ? x2 1 2 x ? x1 , ? 2k , ?y ? ?x ? ? ? 2 4 2 由? 解得 ? x2 xx 1 2 ? ? y ? x ? x2 , y ? 1 2 ? 2k ? 3. ? ? ? 2 4 ? 4

∴ P ? 2k , 2k ? 3 ? . ∵ PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2 ,
x
2

……………10 分

∴点 P 在椭圆 C1 :

?

y

2

? 1 上.

……………11 分

16
2

12



? 2k ?
16

2

?

? 2k

? 3? 12

? 1.

化简得 7 k

2

? 12k ? 3 ? 0 .(*)

……………12 分 ……………13 分

由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ? ?3? ? 228 ? 0 ,

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ……………14 分
3 2

2、(江门市 2013 届高三 2 月高考模拟)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心率 e ? 焦点为 F ( 3 , 0 ) . ⑴求椭圆 C 的方程;

,右

⑵设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得向量 OP ? OA 与 FA 共线? 若存在,求直线 AP 的方程;若不存在,简要说明理由. 解:⑴设椭圆 C 的方程为
x a
2 2 2 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0 ) ,

1分

? 椭圆 C 的离心率 e ?

3 2

,右焦点为 F ( 3 , 0 ) ,

?

c a
2

?
2

3 2

,c ?
2

3 ,

? a ?b ?c ,

?

a ? 2 , b ? 1, c ?
x
2

3,
? y ? 1.
2

3分 4分 5分

故椭圆 C 的方程为

4

⑵假设椭圆 C 上是存在点 P ( x 0 , y 0 ),使得向量 OP ? OA 与 FA 共线,
??? ??? ? ? ??? ? ? O P ? O A ? ( x 0 , y 0 ? 1) , F A ? ( ?
3 ,1) ,

?

x0 ? 3

?

y0 ? 1 1

,即 x 0 ? ? 3 ( y 0 ? 1) ,(1)
x
2

6分
2

又? 点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆

? y ? 1 上,?
2

x0 4

4

? y0 ? 1
2

(2)

7分

? 8 3 ? x0 ? ? x0 ? 0 ? ? 7 , 由⑴、⑵组成方程组解得 ? ,或 ? y0 ? ?1 ? ?y ? 1 ? 0 7 ?

9分

?

P (0 , ? 1) ,或 P ( ?

8 3 1 , ), 7 7

10 分

当点 P 的坐标为 (0, ? 1) 时,直线 AP 的方程为 y ? 0 , 当点 P 的坐标为 P ( ?
8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7

故直线 AP 的方程为 y ? 0 或 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 .

12 分

3、(揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟)如图(6),设点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别 y 是椭圆 C :
x a
2 2

?y

2

? 1( a ? 1)

的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF1 ? PF2 最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l1 , l2 均与椭圆 C 相切,且 l1 // l2 ,试探究在 x 轴上是 否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点 B 坐标;
图(6) x F1 o F2

uuu uuu r r

若不存在,请说明理由.

解:(1)设 P ( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y ) , F2 P ? ( x ? c, y ) -------------1 分
a uuu uuu r r 由 PF1 ? PF2 最小值为 0 得 1 ? c 2 ? 0 ? c ? 1 ? a 2 ? 2 ,-------------------3 分 PF1 ? PF2 ? x ? y ? c ?
2 2 2

a ?1
2 2

x ? 1 ? c , x ? ?? a, a ? -----------------2 分
2 2

∴椭圆 C 的方程为

x

2

?y

2

? 1 .---------------------------------------------4 分

2

(2)①当直线 l1 , l2 斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m, y ? kx ? n --------------------5 分 把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0
2 2 2

∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m ? 1 ? 2k -------------------------------------------------------------------------------------7 分
2 2

同理, n 2 ? 1 ? 2k 2 -----------------------------------------------------------------------------8 分 ∴ m 2 ? n 2 ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意,∴ m ? ? n -----------------------9 分 设在 x 轴上存在点 B (t , 0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则
| kt ? m | | kt ? m | 2 2 2 2 ? ? 1 ,即 | k t ? m |? k ? 1 ,--------------------------------------10 分 2 2 k ?1 k ?1

把 1 ? 2k 2 ? m 2 代入并去绝对值整理,
k (t ? 3) ? 2 或者 k (t ? 1) ? 0
2 2 2 2

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ;----------------------------------------------------------------------12 分 ②当直线 l1 , l2 斜率不存在时,其方程为 x ?
2 和 x ? ? 2 ,---------------------------13 分

定点 (?1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ; 定点 (1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ; 综上所述,满足题意的定点 B 为 (?1, 0) 或 (1, 0) --------------------------------------------14 分

4、 (梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检) 已知 F1, 2 分别是椭圆 C: F

y

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0)

a

的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 C1: x ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交
2

点,且 | MF1 |?

5 3



(1)求椭圆 C1 的方程; (2)已知 A(b,0),B(0,a),直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆 C1 相交于点 E,F 两点,求四边形 AEBF 面积的最大值。

5、(汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评)如图.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的长

轴为 AB, 过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直, 椭圆的离心率 e ?

3 2

, 为椭圆的左焦点且 AF1 ?F1 B F

???? ????

=1 。 (I)求椭圆的标准方程; (II)设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长 HP 到点 Q 使得 HP=PQ。连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M。N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直 径的圆 O 的位置关系. 解 : ( Ⅰ ) 易 知 A
( ? a,0)

,

B

(a,0)

F1 ( ?c,0) ………………………………(1 分)

? AF1 ? F1 B ? ( a ? c,0) ? ( a ? c ) ? 1 ……………

……………(2 分)
?a ? c ? b ?1
2 2 2

…………………………(3 分)
c a
2 2

又e ?

3 2

?e ?
2

?

a ?1
2

a

2

?

3 4

,解得 a 2 ? 4

x 2 ? 所求椭圆方程为: ? y ? 1 …………………………(5 分) 4

2

(Ⅱ)设 P ( x 0 , y 0 ) 则 Q ( x 0 ,2 y 0 ) ( x ? ?2及x ? 2) ? k AQ ?

2 y0 x0 ? 2

…………(6 分)

所以直线 AQ 方程 : y ?

2 y0 x0 ? 2

( x ? 2) ………………………………………(7 分)

? M ( 2,

8 y0 x0 ? 2
4 y0

)

? N ( 2,

4 y0 x0 ? 2

) ………………………………………(8 分)

? k QN ?

x0 ? 2

? 2 y0 ?

2 x0 y 0 x0 ? 4
2 2
2

2 ? x0

2

又点 P 的坐标满足椭圆方程得到: x 0 ? 4 y 0 ? 4 ,所以 x 0

? 4 ? ?4 y 0

2

? k QN ?

2 x0 y 0 x0 ? 4
2

?

2 x0 y 0 ? 4 y0
2

??

x0 2 y0

…………………………………………(10 分)

? 直线 QN 的方程: y ? 2 y 0 ? ?

x0 2 y0

( x ? x 0 ) ………………………………(11 分)

化简整理得到: x 0 x ? 2 y 0 y ? x 0 ? 4 y 0 ? 4 即 x 0 x ? 2 y 0 y ? 4 ………(12 分) 所以 点 O 到直线 QN 的距离 d ?
2

2

2

4 x0 ? 4 y 0
2

?2

? 直线 QN 与 AB 为直径的圆 O 相切…………………………………….(14 分)

6、(韶关市 2013 届高三调研考试)椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 5

,两焦点

分别为 F1 ? F2 , M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 上一点, ?F1 F2 M 的周长为 16 , 点 且 设线段 MO( O 为坐标原点)与圆 O ? x ? y ? r 交于点 N ,且线段 MN 长度的最小值为
2 2 2

15 4

.

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2) 当点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 系.
M y

与圆 O 的位置关

N O x

解: (1) 设椭圆 C 的半焦距为 c ,则
c a ? 3 5

,即 c ?

3 5

a ①



………………1 分 ② , ……………2 分
2

又 | MF1 | ? | MF2 | ? | F1 F2 |? 2a ? 2c ? 16 联立①②,解得 a ? 5 , c ? 3 ,所以 b ? 所以椭圆 C 的方程为
x
2

a ?c ? 4 ,
2

…………… 4 分

?

y

2

?1 ;

………………6 分

25

16

而椭圆 C 上点 M ( x0 , y0 ) 与椭圆中心 O 的距离为
MO ? x0 ? y0 ?
2 2

x0 ? 16 ?
2

16 25

x0 ?
2

9 25

x0 ? 16 ? 4 ,等号在 x0 ? 0 时成立,……7 分
2

而 MN ? MO ? r ,则 MN 的最小值为 4 ? r ,从而 r ? 则圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ?
1 16

1 4





……………………8 分
x0
2

(2)因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动,所以
2 即 y0 ? 16 ?

?

y0

2

?1,

25

16

16 25

x0

2



…………………9 分
1 x0 ? y0
2 2

圆心 O 到直线 l ? x0 x ? y0 y ? 1 的距离 d ?
1 16 1 4

?
9 25

1 x0 ? 16
2



……10 分

当 x0 ? 0 , y0 ? ?4 , d ? 当 x0 ? 0 时, d ?
1 16 ? 1 4

?

? r ,则直线与圆 O 相切.

…… 12 分

? r ,则直线与圆 O 相交.

…………14 分

7、 (深圳市 2013 届高三 2 月第一次调研考试) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) , P 在以 F1 、 点
F2 为焦点的椭圆 C 上,且 PF1 、 F1 F2 、 PF2 构成等差数列.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅 有一个公共点, M , N 是直线上的两点, F1 M ? l , 点 且
F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

y l M N F1 O F2

x

【解析】(1)依题意,设椭圆 C 的方程为
x a
2 2

图7

?

y b

2 2

? 1.

F PF ? PF1 、 1 F 2 、 2 构成等差数列,
? 2a ? PF1 ? PF

2

? 2 F1 F2 ? 4 , a ? 2 .

又? c ? 1 ,? b 2 ? 3 .

? 椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 . ……………………………………………………4 分

4

3
2 2

(2) 将 直 线 的 方 程 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 3 x ? 4 y ? 12 中 , 得
( 4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .
2 2 2
2 2 2

…………………………5 分
2

由直线与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0 , 化简得: m 2 ? 4k 2 ? 3 . 设 d1 ? F1M ?
?k ? m k ?1
2

…………………………7 分
k ?m k ?1
2

, d 2 ? F2 M ?



y …………………………9 分 l M H N O F2

(法一)当 k ? 0 时,设直线的倾斜角为 ? , 则 d1 ? d 2 ? MN ? tan ? , F1
? MN ? d1 ? d 2 k

x



S?

1 d1 ? d 2 2 k

( d1 ? d 2 ) ?

d1 ? d 2
2

2

?

2m k ?1
2

?

2m m ?3
2

? ?1

8 m ? 1 m

, ………11 分

2k

4
? m ? 4k ? 3 , 当 k ? 0 时, m ? ?
2 2

3 ,m ?

1 m

?

3?

1 3

?

4 3

3 ,S ? 2 3 .

当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d1 ? d 2 ? (
2 2

……………………………13 分 ………………………………14 分
2( m ? k )
2 2

?k ? m k ?1
2

) ?(
2

k ?m k ?1
2

) ?
2

k ?1
2

?

2(5k ? 3)
2

k ?1
2



d1d 2 ?

?k ? m k ?1
2

?

k ?m k ?1
2

?

m ?k
2 2

2

k ?1
2

?

3k ? 3
2

k ?1
2

? 3.

? MN ?

F1 F2 ? (d1 ? d 2 )
2

?

4 ? ( d1 ? d 2 ? 2d1d 2 ) ?
2 2

2 k ?1
2



四边形 F1MNF2 的面积 S ?

1 2

MN ( d1 ? d 2 ) ?

1 k ?1
2

(d1 ? d 2 ) ,

…………11 分

S

2

?

1 k ?1
2

( d 1 ? d 2 ? 2d 1 d 2 ) ?
1 k ?1
2

2

2

16k ? 12
2

( k ? 1)
2

2

? 16 ? 4(

? 2) ? 12 .
2

………………………………………………13 分

当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 S max ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 . …………………………14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知 识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结 合、化归与转化思想.

8、 (肇庆市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试)已知椭圆 C1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心

率为 e ?

3 3

,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 ,且垂直于椭圆的长轴, 动直线 l2 垂直于 l1 ,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的 方程; (3) C2 与 x 轴交于点 Q, 设 不同的两点 R、 在 C2 上, S 且满足 QR ? RS ? 0 , | QS | 求 的取值范围.
??? ?

解:(1)由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x ? y ? b 相切,得
2 2 2

|0?0?2| 2

? b ,即 b ?

2 . (2

分) 由e ?
3 3

,得

b a

2 2

? 1? e ?
2

2 3

,所以 a ? 3 ,

(3 分)

所以椭圆的方程是 C1 :

x

2

?

y

2

? 1.

(4 分)

3

2

(2) 由条件, | MF2 |?| MP | , 知 即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距离, 由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x .
2

(7 分)

(3)由(2),知 Q (0, 0) ,设 R ?
??? ? ? y1
2

? y1

? ?y ? , y1 ? , S ? 2 , y2 ? , ? 4 ? ? 4 ?
2 2

∴ QR ? ?

2 2 ? ? ??? ? y ? y1 ? , y1 ? , RS ? ? 2 , y2 ? y1 ? 4 ? 4 ? ? ?

(8 分)

由 QR ? RS ? 0 ,得

y1

2

?y

2 2

? y1

2

?

16

? y1 ? y2 ? y1 ? ? 0

(9 分)

∵ y1 ? y2 ,∴ y2 ? ? ? y1 ?
?

?

16 ? ?, y1 ?
2

∴ y2 ? y1 ?
2 2

256 y1
2

? 32 ? 2 y1 ?

256 y1
2

? 32 ? 64 ,当且仅当 y1 ?
2

256 y1
2

,即 y1 ? ?4 时等号成

立. (11 分)
??? ? 又 | QS |? ? y2 ? 1 2 ? ? ? y2 ? 4 ? 4 ?
2 2

?y

2 2

? 8 ? ? 64
2

(12 分)
??? ?

2 2 ∵ y2 ? 64 ,∴当 y2 ? 64 ,即 y2 ? ?8 时, | QS |min ? 8 5

(13 分) (14 分)

故 | QS | 的取值范围是 ?8 5, ?? .
?

??? ?

?

9、(佛山市 2013 届高三教学质量检测(一))设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左右顶点

分别为 A ( ? 2, 0 ), B ( 2, 0 ) ,离心率 e ?

3 2



过该椭圆上任一点 P 作 P Q ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 Q P 的延长线上,且 | Q P |? | P C | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 A C ( C 点不同于 A , B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 R B 的中点, 试判断直线 C D 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论. 解析:(1)由题意可得 a ? 2 , e ?
c a ? 3 2

,∴ c ?

3,

-----------------2 分

∴b ? a ? c ? 1,
2 2 2

所以椭圆的方程为

x

2

? y ? 1.
2

-----------------4 分

4

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x , y ) , P ( x 0 , y 0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , ? y ? 2 y0 ? y0 ? x ? 2
x0 4
2

-----------------6 分



? y 0 ? 1 ,代入得
2

x

2

?(

1 2
2

y ) ? 1 ,即 x ? y ? 4 .
2
2 2

4

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4 .
2

-----------------8 分

(3)设 C ( m , n ) ,点 R 的坐标为 ( 2 , t ) , ∵ A , C , R 三点共线,∴ A C // A R , 而 A C ? ( m ? 2, n ) , A R ? ( 4 , t ) ,则 4 n ? t ( m ? 2 ) ,∴ t ? ∴点 R 的坐标为 ( 2 ,
4n m ?2 ) ,点 D 的坐标为 ( 2 , 2n m ?2 ),
???? ??? ?

????

??? ?

4n m ?2

, -----------------10 分

n?

2n

∴直线 C D 的斜率为 k ?

m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? m n , 2 2 m ?2 m ?4 m ?4
2

而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ? n ,
2 2 2

∴k ?

mn ?n
2

? ?

m n


m n

-----------------12 分

∴直线 C D 的方程为 y ? n ? ?

( x ? m ) ,化简得 m x ? n y ? 4 ? 0 ,

∴圆心 O 到直线 C D 的距离 d ? 所以直线 C D 与圆 O 相切.

4 m ?n
2 2

?

4 4

? 2 ? r,

-----------------14 分
x a
2 2

10、(茂名市 2013 届高三第一次高考模拟考试)已知椭圆 C 1 : 的离心率为
3 3

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0 )

,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 2 6 .

(1)求椭圆 C 1 的方程; (2)设椭圆 C 1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F 2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l 2 垂直 l1 于点 P ,线段 P F 2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C 2 的方程; (3)设 O 为坐标原点,取 C 2 上不同于 O 的点 S,以 OS 为直径作圆与 C 2 相交另外一点 R,

求该圆面积的最小值时点 S 的坐标. 解:(1)解:由 e ? 由题意可知
3 3

,得 a ? 3 c ,再由 c ? a ? b ,解得 a ?
2 2 2 2 2

6 2

b …………1 分

1 2

? 2 a ? 2 b ? 2 6 ,即 a ? b ?

6

…………………………2 分

? 6 b ?a ? 解方程组 ? 得a ? 2 ? ?ab ? 6

3,b ?

2

………………………………3 分

所以椭圆 C1 的方程是

x

2

?

y

2

? 1 ……………………………………3 分

3

2

(2)因为 M P ? M F 2 ,所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ? 1 的距离等于它到定点 F 2 (1, 0)的距离,所以动点 M 的轨迹 C 2 是以 l1 为准线, F 2 为焦点的抛物线,…6 分 所以点 M 的轨迹 C 2 的方程为 y ? 4 x ……………………………………7 分
2

(3)因为以 O S 为直径的圆与 C 2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90°,即 O R ? S R ? 0 …………………………………………………………………………8 分 设 S ( x1 , y 1 ) R( x 2 , y 2 ) S R =( x 2 - x1 , y 2 - y 1 ) O R =( x 2 , y 2 ) , , , 所以 O R ? S R ? x 2 ( x 2 ? x1 ) ? y 2 ( y 2 ? y 1 ) ?
? ?
??? ??? ? y 2 ( y 2 ? y1 )
2 2 2

??? ??? ?

???

??? ?

16

? y 2 ( y 2 ? y1 ) ? 0

因为 y 1 ? y 2 , y 2 ? 0 ,化简得 y 1 ? ? ? y 2 ? 所以 y 1 ? y 2 ?
2 2

16 ? ? ……………………10 分 y2 ?

256 y2
2

2

? 32 ? 2

y2 ?
2

256 y2
2

? 32 ? 64 ,

当且仅当 y 2 ?
2

256 y2

即 y 2 =16,y2=±4 时等号成立. ………………12 分
2

圆的直径|OS|= x1 ? y 1 ?
2 2
2 2

y1

4

16

? y1 ?
2

1 4

y1 ? 1 6 y1 ?
4 2

1 4

( y1 ? 8 ) ? 6 4
2 2

因为 y 1 ≥64,所以当 y 1 =64 即 y 1 =±8 时, O S

m in

? 8 5 , ………13 分

所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,±8)……………14 分

11、 (湛江市 2013 届高三高考测试(一))如图,已知点 M0(x0,y0)是椭圆 C:

y

2

? x

2

2

=1 上的动点,以 M0 为切点的切线 l0 与直线 y=2 相交于点 P。 (1)过点 M0 且 l0 与垂直的直线为 l1,求 l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围; (2)在 y 轴上是否存在定点 T,使得以 PM0 为直径的圆恒过点 T?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,说明理由。

解:(1)由椭圆得: y ? 切线的斜率为:k=
? 2 x0

2 (1 ? x ) , y ' ? ? 2 x ( 2 ? 2 x )
2

2

?

1 2

2 ? 2 x0

2

,所以,直线 l1 的方程为: y ? y 0 ?

2 ? 2 x0 2 x0

2

( x ? x0 ) ,

与 y 轴交点纵坐标为:y= 2 ? 2 x 0 -
2
2

2 ? 2 x0 2

2


2

2 ? 2 x0 2

2

因为 ? 1 ? x 0 ? 1 ,所以, 0 ? x 0 ? 1 , 0 ? 2 ? 2 x 0 ? 2 ,所以,当切点在第一、二象限时
2 2 2 2

l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围为: 0 ? y ?

,则对称性可知

l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围为: ?

2 2

? y ?



(2)依题意,可得∠PTM0=90°,设存在 T(0,t),M0(x0,y0) 由(1)得点 P 的坐标(
2 y0 ? y0 ? 2 x0
2 2

2 x0

,2),由 P T ?M 0 T ? 0 可求得 t=1

??? ????? ?

所以存在点 T(0,1)满足条件。


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