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2017年哈三中二模--理数学

时间:2017-04-23


2017 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试 数学试卷(理工类)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.) 1. 已知复数 z ? A.z 的模为 2

2 ,则 ?1 ? i B.z 的虚部为-1 C.z 的实部为 1

D.z 的共轭复数为 1+i

2. 已知集合 A ? {0, 2, 4,6}, B ? {n ? N | 2n ? 8} ,则集合 A ? B 的子集个数为 A.8 B.7 C.6 D.4 3. 对于平面 ? 和不重合的两条直线 m、n,下列选项中正确的是 A.如果 m ? ? , n ? ? ,m、n 共面,那么 m ? n B.如果 m ? ? ,n 与 ? 相交,那么 m、n 是异面直线 C.如果 m ? ?, n ? ? ,m、n 是异面直线,那么 n ? ? D.如果 m ? ? , n ? m ,那么 n ? ? 4. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, ? 2 , P ?? ? 4? ? 0.84 ,则 P ?? ? 0? ? A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84

?

?

2 2 ? 5. 在区间 ? ? ? 2, 2 ? 中随机取一个实数 k,则事件“直线 y=kx 与圆 ? x ? 3? ? y ? 1 相交发生的概率为

1 1 1 1 B. C. D. 2 4 6 8 6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自 倍,松竹何日而长等。右图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a、b 分别为 5、2,则输出的 n=
A.

A.2 B.3 C.4 D.5 7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.10 B.20 C.40 D.60 ? 1 ? ? ? ? ? 8. 已知 sin ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? 2? ? ? ?3 ? 3 ?6 ? A. ?

7 9

B.

7 9

C. ?

7 9

D. ?
1

2 9

?1,x为有理数 9. 德国著名数学家狄克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f ? x ? ? ? ,提前为狄克雷 ? 0, x为无理数

函数,则关于函数 f ? x ? 有以下四个命题: ① f ? f ? x ?? ? 1 ; ②函数 f ? x ? 是偶函数; ③对于任意一个非零有理数 T, f ? x ? T ? ? f ? x ? 对任意 x ? R 恒成立; ④存在三个点 A? x1 , f ? x1 ?? , B ? x2 , f ? x2 ?? , C ? x3 , f ? x3 ?? ,使得 ?ABC 为等边三角形。其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1

10. “关于 x 的方程 x 2 ? mx ? n ? 0 有两个正根”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 的曲线是椭圆”的 A.充分不必要条件
2 2

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

x y ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,焦距为 2c ? c ? 0 ? ,抛物线 y 2 ? 2cx 的 2 a b 准线交双曲线左支于 A,B 两点,且 ?AOB ? 120? ,其中 O 为原点,则双曲线的离心率为
11. 已知双曲线 A.2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 3
x

D. 1 ? 5

? ?1 ? ? ? 1 ?2 12. 已知函数 f ? x ? ? kx ? x ? ? , e ? ? , g ? x ? ? ? ? ,若 f ? x ? , g ? x ? 图像上分别存在点 M,N。使得 M,N 关 ?e ? ? ?e? ?
于直线 y=x 对称,则实数 k 的取值范围为 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? A. ? ? , e ? B. ? ? , 2e ? C. ? ? ,3e ? ? e ? ? e ? ? e ?
? 2 ? D. ? ? , 2e ? ? e ? 第Ⅱ卷(非选择题 ,共 90 分) 二、填空题(共 4 小题,每小分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上.)

?x ? y ? 4 n 2 ? ? ? 13. 已知 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z=x+2y 的最大值为 n,则 ? x ? ? 展开式的常数项为______。 x? ? ? x?0 ?
sin B ? sin 14. 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 c=2,若 sin 2 A ?sin 2 B ?sin A a+b 的取值范围是______。
2

C ,则

? 2 ? 1 ? x2 , x ? ? ?1,1? 15. 已知 f ? x ? ? ? 2 ,则 ? f ? x ? dx ? ? 1 ? ? x ? 1, x ? ?1,2 ?
16. 已知函数 f ? x ? 的定义域为 R, 若存在常数 k, 使得 f ? x ? ? 为“期望函数”,给出下列函数: ① f ? x ? ? x2 ② f ? x ? ? xe x ③ f ? x? ?



k 则称函数 f ? x ? x 对所有实数 x 均成立, 2017
④ f ? x? ?

x x ? x ?1
2

x e ?1
x

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,已知 a1 ? 3, an?1 ? 2Sn ? 3(n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? ? 2n ? 1? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题。空气质量指数 (Air Quality Index, 简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照 AQI 大小分为六级,0~50 为优;51~100 为良; 101~150 为轻度污染;151~200 为中度污染;201~300 为重度污染;大于 300 为严重污染。环保部门记录了 2017 年某月哈尔滨市 10 天的 AQI 的茎叶图如下. (Ⅰ)利用该样本估计该地本月空气质量优良 ? AQI ? 100? 的天数; (按这个月总共 30 天计算) (Ⅱ)现工作人员从这 10 天中空气质量为优良的日子里随机抽取 2 天进行某项研究,求抽取的 2 天中至 少有一天空气质量是优的概率; (Ⅲ)将频率现为概率,从本月中随机抽取 3 天,记空气质量优良的天数为 ? ,求 ? 的概率分布列和数学 期望.

19. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 底面为正方形,已知 PD ? 平面 ABCD,PD=AD,点 M 为线段 PA 上任意一点(不含端点) ,点 N 在线段 BD 上,且 PM=DN. (Ⅰ)求证:直线 MN ? 平面 PCD; (Ⅱ)若 M 为线段 PA 中点,求直线 PB 与平面 AMN 所成的角的余弦值.

3

20. (本小题满分 12 分)已知圆 O: x2 ? y 2 ? 4 与 x 轴交于 A、B 两点,点 M 为圆 O 上异于 A、B 的任意 一点,圆 O 在点 M 处的切线与圆 O 在点 A、B 处的切线分别交于点 C、D,直线 AD 和 BC 交鱼点 P,设 P 点的轨迹为曲线 E. (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)由线 E 与 y 轴正半轴交点为 H,则曲线 E 是否存在直角顶点为 H 的内接等腰直角三角形 Rt ?GHK , 若存在,求出所有满足条件的 Rt ?GHK 的两条直角边所在直线的方程,若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)定义:设 f ? x ? 为(a,b)上的可导函数,若 f ' ? x ? 为增函数,则称 f ? x ? 为(a, b)上的凸函数.

1 (Ⅰ)判断函数 y ? x 3 与 y ? lg 是否为凸函数; x
( Ⅱ ) 设 f ? x ? 为 ( a , b ) 上 的 凸 函 数 , 求 证 : 若 ?1 ? ? 2 ? …… ? ?n ? 1,? 1? 0 2, , n? , 则 ?i ? 1,…
?xi ?? a , b … , ?,n ,恒有 ?1 f ? x1 ? ? ?2 f ? x2 ? ? …+?n f ? xn ? ? f ? ?1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn ? 成立; ?? i?1 , 2

(Ⅲ)设 a, b, c ? 0, n ? N *, n ? b ,求证: a n ? bn ? c n ? a n ?5b3c 2 ? bn ?5c3a 2 ? c n ?5 a3b 2 .

22. (本小题满分 12 分) 圆锥曲线 C 的极坐标方程为: ? 2 1 ? sin 2 ? ? 2 . (Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系,求曲线 C 的直角坐标方程,并求曲线 C 在直角坐标系下的焦点坐标及在极坐标下的焦点坐标; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程为 ? ? 角坐标和极坐标均可). 23. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知对于任意非零实数 a 和 b,不等式 3a ? b ? a ? b ? a ? x ? 1 ? x ? 1 ? 恒成立,试求实数 x 的取值 范围; (Ⅱ)已知不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集为 M,若 a, b ? M ,试比较

?

?

?
3

? ? ? R ? ,若曲线 C 上的点 M 到直线 l 的距离最大,求点 M 的坐标(直

1 1 1 ? 1 与 ? 的大小.(并说明理由). ab a b

4

1——6:BDAABC 13.240 14 ? 2, 4?

数学试卷(理工类) 7——12:BAADCB 15.

?
2

?4/3

16.③④

17.解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,由 an ?1 ? 2Sn ? 3 ,得 an ? 2sn ?1 ? 3 , (1 分) 两式相减,得 an ?1 ? an ? 2sn ? 2sn ?1 ? 2an ,? an ?1 ? 3an ,? 当 n=1 时, a1 ? 3, a2 ? 2s1 ? 3 ? 2a1 ? 3 ? 9 ,则
a2 ?3. a1

an ?1 ? 3 (3 分) am

? 数列 {an } 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列(5 分)
? an ? 3 ? 3n ?1 ? 3n (6 分)

(Ⅱ)由(1)得 bn ? ? 2n ? 1? an ? ? 2n ? a ? ? 3n

?Tn ? 1? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? … ? ? 2n ? 1? ? 3n 3Tn ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? … ? ? 2n ? 1? ? 3n ?1
错位相减得??2Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? … ? 2 ? 3n ? ? 2n ? 1? ? 3n?1 ? ?6 ? ? 2n ? 2? ? 3n?1

Tn ? ? n ? 1? ? 3n?1 ? 3

(12分)

18. 解: (Ⅰ)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2,空气质量的天数为 4,故该样本中空气 质量优良的频率为 (2)3/5

6 3 3 ? ,从而估计该月空气质量优良的天数为 30 ? ? 18 10 5 5

3 (3)由(1)估计某天空气质量优良的概率为 , ? 的所有可能取值为 0,1,2,3. 5
8 36 ?2? ? 3 ? 2 54 1 3? 2? F ?? ? 0 ? ? ? ? ? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 2 ? ? C32 ? ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? 125 ? 5 ? 125 ? 5 ? 5 125 27 ? 3? P ? ? ? 3? ? ? ? ? 5 125 ? ?
3 3 2 2

?
P 故 ? 的分布列为:

0

1

2

3

8 125

36 125

54 125

27 125

3 ? 3? 显然 ? ? B ? 3, ? , E? ? 3 ? ? 1.8 5 ? 5?

19.





AN





CD





G











A N

N ? G

?

B N

N A M , D M P

MN ? 平面PCD, PG ? 平面PCD,则直线MN ? 平面PCD ;

(Ⅱ)由于 DA ? DC ? DP ,以 DA,DC,DP 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 A(1,0,0) ,则 B
5

? 1 1 ? 11 ? 0 , , ? N ,0 ,? (1,1,0)C(0,1,0) ,P(0,0,1) ,M ? , ? 2 2 ? 22 ? ?? m ? ?1,1,1? .

? ? ??? ? 则 PB ? ?1,1, ?1? ,平面 AMN 的法向量为 ?

??? ? ?? 2 2 1 则向量 PB 与 m 的夹角为 ? ,则 cos? ? ,则 PB 与平面 AMN 夹角的余弦值为 . 3 3

? 4 ? 2 x0 ? ? 4 ? 2 x0 ? 20. (Ⅰ)设 M ? x0 , y0 ? ,则 M 处的切线为 x0 y ? y0 y ? 4 ,则 C ? ?2, (6 分)则 ? , D ? 2, ?, y0 ? ? y0 ? ?
4 ? 2 x0 ? ? y ? 4 y ? x ? 2? x2 ? 0 P:? ,则 E : ? y 2 ? 1? y ? 0? . 4 ? y ? 4 ? 2 x0 ? x ? 2 ? ? ?4 y0 ?

? x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 1 (Ⅱ)由于直线 GH 不与坐标轴平行或垂直,可设 lGH : y ? kx ? 1 ,则 lKH : y ? ? x ? 1? ,得 k ? y ? kx ? 1

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8kx ? 0 , 则 于 ? ? 0 恒 成 立 , 设 两 个 根 为 x1 , x2 , 则 GH ? 1 ? k 2
1 ? k 2 8k k k2 ? 4

?8 k ,同理, 1 ? 4k 2

HK ?

8 k 1?

4 k2

?

由 GH=HK 知: k k 2 ? 4 ? 4k 2 ? 1 ,得: (1)k>0 时,得 ? k ? 1? k 2 ? 3k ? 1 ? 0 得:k=1 或 k ?

?

?

?

?

3? 5 2 ?3 ? 5 2

(2)k<0 时,得 ? k ? 1? k 2 ? 3k ? 1 ? 0 得:k=-1 或 k ? 综上,共分三种情况 (1)两条直角边所在直线方程为: y ? ? x ? 1 ; (2)两条直角边所在直线方程为: y ? (3)两条直角边所在直线方程为: y ?
5 ?3 x ?1 2

?

?

? 5 ?3 x ? 1 (12 分) 2

? 1 ? 1 ? 2m 1 ? 1 ? 2m ? ? 1 ? 1 ? 2m ? 1 ? 1 ? 1 ? 2m ? 21. (Ⅰ) (1)0 ? m ? , ? 单调递增,? 单调递减,? 0, , , ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? ? ?
单调递增;

? 1 ? 1 ? 2m ? ? 1 ? 1 ? 2m ? (2) m ? 0, ? 单调递减, 0, , ?? ? ? ? ? ? ? ? 单调递增; 2 2 ? ? ? ?

1 (3) m ? , ? 0, ??? 单调递增(6 分) 2
(Ⅱ) ?e
? 1 4

(12 分)
6

22.(Ⅰ)曲线 C 直角坐标方程: 焦点极坐标: F1 ?1, ? ? , F2 ?1,0 ?

x2 ? y 2 ? 1 ,焦点直角坐标: F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0 ? 2

? 2 21 ? 2 21 7 ? 7? (Ⅱ) M ? ? 7 ,? 7 ? ? 或M ? ? ? 7 ,7 ? ? ? ? ? ?
23. (Ⅰ) 3a ? b ? a ? b ? 3a ? b ? a ? b ? 4 a ,当且仅当 ? 3a ? b ?? a ? b ? ? 0 时取等号. 只需: 4 a ? a ? x ? 1 ? x ? 1 ? ,由于 a ? 0 ,只需 x ? 1 ? x ? 1 ? 4 , 故 x 的取值范围为: ? ?2,2? (Ⅱ)解得:M ? ? 0,1? , a ? M , b ? M 知:
1 1 1 ab ? 1 ? a ? b ? a ? 1?? b ? 1? 1 1 1 ?1? ? ? ? ? 0 ,即 ? 1? ? . ab a b ab ab a b a b

7


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