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定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用学案


定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用
一.复习要点: 1.定积分的实质 如果在区间 [ a , b] 上函数连续且有 f ( x) ? 0 , 那么定积分

y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的曲边梯形的面积。

?

b

a

(a? b ) , f

( x)dx 表示由直线 x ? a , x ? b

如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 函 数 连 续 且 有 f ( x) ? 0 , 那 么 定 积 分

(a? b ) , y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的曲边梯形的面积的相反数。 如果在区间 [ a , b] 上函数连续且 f ( x ) 有正有负时,那么定积分 ( a ? b )之间 x 轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。
b a

?

b

a

f ( x)dx 表 示 由 直 线 x ? a , x ? b

?

b

a

f ( x)dx 表示介于 x ? a , x ? b

? ? f ( x)dx ? 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)
2.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2 性质 3

? 1dx ? b ? a
a

b

? kf ( x)dx ? k ?
a

b

b

a

f ( x)dx (其中 k 是不为 0 的常数) (定积分的线性性质)
b 1 a

? [f
a

b

1

(x ? )

2

f (x ) d ] ?x ?
b

f ( x? )? dx
a

b

2

(定积分的线性性质)性质 4 f ( )x d x

?
a

b

f ( x) d x ?

?
a

c

f ( x ) d ? x?
c

(f ) x 其中 d( x

? a ? c) b

(定积分对积分区间的可加性)
y

性质 1
y=1

y A

性质 4
C

B

O

a

b

x

M O a P b

N x

3.微积分基本定理 一般的,如果 f ( x ) 是闭区间 [ a , b] 上的连续函数,并且 F ?( x) ? f ( x) ,那么 可以把

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 。

?

a

?a

b f ( x)dx ? 2? f ( x)dx ? 0 F (b) ? F (a) 记作 F ( x) |b a ,即 ? f ( x)dx ? F ( x) |a ? F (b) ? F (a) 。
0

a

b

a

4.定积分的求法 (1)微积分基本定理 (2)几何意义法:例如

?

1

?1

1 ? x 2 dx

(3)利用奇偶函数的性质求:若 f ( x ) 是[-a,a]上的奇函数,则

?

a

?a

f ( x)dx ? 0 ;

1

若 f ( x ) 是[-a,a]上的偶函数,则 二、例题 例 1 计算下列定积分 1.

?

a

?a

f ( x)dx ? 2? f ( x)dx 。
0

a

?

5

0

(2 x ? 4)dx

2.

?

2

1

1 dx ; 3. x

?

3

1

(2 x ?

1 ) dx 。 x2

例 2.计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x2 所围成的图形的面积.

一、选择题 1. a=?2xdx,b=?2exdx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是( ? ? ?
0 0 0

)

A.a<c<b

B.a<b<c

C.c<b<a )

D.c<a<b

2.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 1 B. 4 1 C. 3 7 D. 12

3.由三条直线 x=0、x=2、y=0 和曲线 y=x3 所围成的图形的面积为( A.4 4 B. 3 18 C. 5 ) C.2+2cos1 ) D.6

)

4. ?1-1(sinx+1)dx 的值为( ? A.0 B.2

D.2-2cos1

5.曲线 y=cosx(0≤x≤2π)与直线 y=1 所围成的图形面积是( A.2π B.3π 3π C. 2 ) D.π

6.函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上(

?0

A.有最大值 0,无最小值 32 C.有最小值- ,无最大值 3

32 B.有最大值 0 和最小值- 3 D.既无最大值也无最小值

7.抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. 4 8.抛物线 y2=ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 ,若直线 l 与抛物线相切且平行于直线 3 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. 9.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数 1 图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为________. 12

2

10.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定 t 的值,使图中阴影部分的面积 S1 +S2 最小.

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