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广西百所示范性中学联考2015届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷


广西百所示范性中学联考 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是答合题目要求的. ) 1.已知集合 A={0,1},B={x∈R| A.{0} B.{1} <0},则 A∩B=( C.{0,1} ) D. (0,1) ) D.﹣2

2.已知(1+2i

) (1﹣ai)=5(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A.﹣1 B.1 C .2 3.下列命题中错误的是( ) 2 2 A.命题“?x∈R,x +1≥0”的否定是:?x∈R,x +1<0 B.在△ ABC 中,“sinA>sinB”是“∠A>∠B”的充要条件

C.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 D.若命题 p:?x∈R,tanx=1,命题 q:?x∈R,x ﹣x+1>0,则命题“p∧q”是假命题 4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=﹣1,则输入 y 的值为( )

2

2

A.﹣1

B.0

C .1

D.2 有意义的概率为( D. )

5.在区间[﹣3,2]上随机选取一个数 x,使得函数 y= A. B. C.

6. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且满足 (2a﹣c) cosB=bcosC, 则 B=( A. B. C. D.

)

7.已知直线 l1:3x+4y﹣2=0,l2:mx+2y+1+2m=0,当 l1∥l2 时,两条直线的距离是( A. B.1 C .2
2 2 2 2 2

)

D.

8.等比数列{an},满足 a1+a2+a3+a4+a5=3,a1 +a2 +a3 +a4 +a5 =15,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5 的 值是( )

A.3

B.

C.﹣

D.5

9.函数 f(x)=log4x﹣|x﹣4|的零点的个数为( ) A.0 B.1 C .2

D.3

10.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是( )

A.

B.4

C.

D.3

11.已知 O 为坐标原点,双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点 F,以 OF 为直径作圆

交双曲线的渐近线于异于原点 O 的两点 A、B,若( 为( A.2 ) B.3 C. =

+

)?

=0,则双曲线的离心率 e

D. , = ,若 =﹣ ,则

12.如图,在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2, ? =( )

?

A.﹣

B.

C.﹣

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知 α∈(

,π) ,且 sinα= ,则 tanα 的值为__________.

14.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最小值是__________.

15.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的体积为 积为__________. 16.对于函数 f(x)=4 ﹣m?2 m 的取值范围是__________.
x x+1

,底面边长为 2,则该球的表面

,若存在实数 x0,使得 f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则实数

三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}为等差数列,且 a1=3,{bn}为等比数列,数列{an+bn}的前三项依次为 5, 9,15,求: (1)数列{an},{bn}的通项公式; (2)数列{an+bn}的前 n 项和. 18.某中学 2015 届高三(10)班有女同学 51 名,男同学 17 名,“五四”期间该班班主任按 分层抽样的分法组建了一个由 4 名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组. (Ⅰ)演讲比赛中,该小组决定先选出两名同学演讲,选取方法是:先从小组里选出 1 名演 讲,该同学演讲完后,再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲,求选中的两名同学恰有 一名女同学的概率; (Ⅱ)演讲结束后,5 位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是:69、71、72、73、75 分, 给出第二个演讲同学的成绩分别是:70、71、71、73、75 分,请问哪位同学的演讲成绩更 稳定,并说明理由. 19.在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,DC=2,∠PCD=45°,D,E,F, G 分别为线段 PA,PC,PD,BC 的中点,现将△ PDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD(图 2) . (1)求证:AP∥平面 EFG; (2)求三棱椎 C﹣EFG 的体积.

20.若椭圆

+

=1 的焦点在 x 轴上,过点(

,1)作圆 x +y =

2

2

的切线,切点分别

为 A、B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,问:是 否存在一个定点 M(t,0) ,使得以 PQ 为直径的圆经过点 M.若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由. 21.已知函数 f(x)=e +ax﹣1(a∈R,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若对任意的 x∈[0,+∞) ,均有 f(x)≥f(﹣x) ,求 a 的取值范围.
x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 【[选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,AB 是⊙O 的直径,BE 为⊙O 的切线,点 C 为⊙O 上不同于 A,B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与⊙O 交于 D,与 BE 交于 E,连接 BD,CD. (1)求证:BD 平分∠CBE; (2)求证:AH?BH=AE?HC.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) .在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 o 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=4cosθ. (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣m|﹣2|x﹣1|. (1)当 m=3 时,求 f(x)的最大值; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0.

广西百所示范性中学联考 2015 届高考数学一模试卷(文 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是答合题目要求的. ) 1.已知集合 A={0,1},B={x∈R| A.{0} B.{1} <0},则 A∩B=( C.{0,1} ) D. (0,1)

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求解分式不等式化简集合 B,然后直接利用交集运算得答案. 解答: 解:由 <0,得 0<x<2.

∴B={x|0<x<2}, 又 A={0,1},∴A∩B={1}. 选:B. 点评:本题考查了交集及其运算,考查了分式不等式的解法,是基础题. 2.已知(1+2i) (1﹣ai)=5(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( ) A.﹣1 B.1 C .2 D.﹣2 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部等于 5 且虚部等于 0 求得 a 的值. 解答: 解:∵(1+2i) (1﹣ai)=1+2a+2i﹣ai=5,



,解得:a=2.

故选:C. 点评:本题看出来了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,是基础题. 3.下列命题中错误的是(
2

)
2

A.命题“?x∈R,x +1≥0”的否定是:?x∈R,x +1<0 B.在△ ABC 中,“sinA>sinB”是“∠A>∠B”的充要条件 2 2 C.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 D.若命题 p:?x∈R,tanx=1,命题 q:?x∈R,x ﹣x+1>0,则命题“p∧q”是假命题 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据全称命题的否定是特称命题,正弦定理,大角对大边定理,逆否命题的概念,以 及 ,p∧q 真假和 p,q 真假的关系,即可判断每个选项的正误,从而找到正确选项.

解答: 解:A.根据全称命题的否定是特称命题,容易判断 A 正确; B.根据正弦定理 以及大角对大边定理可知:

sinA>sinB,便得到 a>b,从而∠A>∠B; 而若∠A>∠B,则 a>b,所以得到 sinA>sinB; ∴“sinA>sinB“是“∠A>∠B”的充要条件,所以 B 正确; C.根据逆否命题的定义及求原命题的逆否命题的方法容易判断出 C 正确; D.x= x ﹣x+1=
2

时,tanx=1,∴命题 p 是真命题; ,∴命题 q 是真命题;

∴命题“p∧q”是真命题,所以 D 错误. 故选 D. 点评:考查全称命题的否定是特称命题,正弦定理,大边对大角定理,逆否命题的求法,充 要条件的概念,以及 tan =1,配方的方法,p∧q 的真假和 p,q 真假的关系.

4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=﹣1,则输入 y 的值为(

)

A.﹣1

B.0

C .1

D.2

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图.

分析:模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数 y=

的值,代入 x=

﹣1,即可得解.

解答: 解:模拟程序运行可知程序框图的功能是求分段函数 y=

的值,

代入 x=﹣1,可得 y=0, 故选:B. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法, 模拟程序运行正确得到程序框图的功能是解题的关 键,属于基本知识的考查. 5.在区间[﹣3,2]上随机选取一个数 x,使得函数 y= A. B. C. 有意义的概率为( D. )

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:本题符合几何概型,所以分别求出区域的长度,利用几何概型公式解答. 解答: 解:在区间[﹣3,2]上随机选取一个数 x,区间长度为 5, y= 的定义域为:{x|x≥﹣1},在区间[﹣3,2]上满足条件的区间长度为 3, 由几何概型公式可得,P= ; 故选:C. 点评:本题考查了几何概型概率公式的运用;明确测度,求区间的长度是关键. 6. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且满足 (2a﹣c) cosB=bcosC, 则 B=( A. B. C. D. )

考点:正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题:解三角形. 分析:利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得 cosB 的值,从而求得 B. 解答: 解: 由题意, ∵ (2a﹣c) cosB=bcosC, 由正弦定理得: (2sinA﹣sinC) cosB=sinBcosC. . ∴2sinA?cosB﹣sinC?cosB=sinBcosC 化为:2sinA?cosB=sinC?cosB+sinBcosC ∴2sinA?cosB=sin(B+C) ∵在△ ABC 中,sin(B+C)=sinA

∴2sinA?cosB=sinA,得:cosB= , ∴B= .

故选:B. 点评:本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理的运用,考查两角和公式.考查了学生综 合分析问题和解决问题的能力,属于中档题. 7.已知直线 l1:3x+4y﹣2=0,l2:mx+2y+1+2m=0,当 l1∥l2 时,两条直线的距离是( A. B.1 C .2 D. )

考点:两条平行直线间的距离. 专题:直线与圆. 分析:利用平行线的斜率之间的关系可得 m,再利用平行线之间的距离公式即可得出. 解答: 解:∵l1∥l2 时, ∴直线 l2 的方程为:3x+4y+8=0, ∴d= = =2, ,解得 m= ,

故选:C. 点评:本题考查了平行线的斜率之间的关系、平行线之间的距离公式,考查了计算能力,属 于基础题. 8.等比数列{an},满足 a1+a2+a3+a4+a5=3,a1 +a2 +a3 +a4 +a5 =15,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5 的 值是( ) A.3 B. C.﹣ D.5 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 2 2 2 2 2 分析: 先设等比数列{an}公比为 q, 分别用 a1 和 q 表示出 a1 +a2 +a3 +a4 +a5 , a1+a2+a3+a4+a5 2 2 2 2 2 和 a1﹣a2+a3﹣a4+a5,发现 a1 +a2 +a3 +a4 +a5 除以 a1+a2+a3+a4+a5 正好与 a1﹣a2+a3﹣a4+a5 相等,进而得到答案. 解答: 解:设数列{an}的公比为 q,且 q≠1,则 a1+a2+a3+a4+a5= =3①,
2 2 2 2 2

a1 +a2 +a3 +a4 +a5 =

2

2

2

2

2

=15②

∴②÷①得

÷

=

=5,

∴a1﹣a2+a3﹣a4+a5=

=5.

故选:D. 点评:本题主要考查了等比数列的性质.属基础题.解题时要认真审题,注意等比数列的性 质的灵活运用. 9.函数 f(x)=log4x﹣|x﹣4|的零点的个数为( A.0 B.1 C .2 ) D.3

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:转化函数的零点为两个函数的图象的交点个数,利用函数的图象判断即可. 解答: 解:f(x)=0?log4x=|x﹣4|,画图 y=log4x,y=|x﹣4|,可知,函数的零点有 2 个. 故选:C.

点评:本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数形结合以及零点判定定理的应用. 10.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如 图所示,那么该几何体的体积是( )

A.

B.4

C.

D.3

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 由三视图知几何体是正方体的一半, 已知正方体的棱长为 2, 由此可得几何体的体积. 解答: 解:由三视图知:余下的几何体如图示:

∵E、F 都是侧棱的中点, ∴上、下两部分的体积相等, ∴几何体的体积 V= ×2 =4. 故选 B. 点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状是解答此类问题的关键.
3

11.已知 O 为坐标原点,双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点 F,以 OF 为直径作圆

交双曲线的渐近线于异于原点 O 的两点 A、B,若( 为( ) A.2

+

)? D.

=0,则双曲线的离心率 e

B.3

C.

考点:双曲线的简单性质;平面向量数量积的运算. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先画出图形,如图,设 OF 的中点为 C,则 + = ,由题意得 AC⊥OF,根据

三角形的性质可得 AC=AF,又 AF=OF,从而得出△ AOF 是正三角形,即双曲线的渐近线 的倾斜角为 60°,得出 a,b 的关系式,即可求出双曲线的离心率 e. 解答: 解:如图,设 OF 的中点为 C,则 由题意得, ∴AO=AF, 又 c=OF,OA:y= 所以 A( ,
2

+

=



?

=0,∴AC⊥OF,

,A 的横坐标等于 C 的横坐标 , ,

) ,且 AO=

AO =

,所以 a=b,

则双曲线的离心率 e 为 故选 C.

=



点评:本题给出以双曲线右焦点 F 为圆心的圆过坐标原点,在已知若(

+

)?

=0 的

情况下求双曲线的离心率, 着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、 直线与圆的位置 关系等知识,属于基础题.

12.如图,在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2, ? =( )

=



=

,若

?

=﹣ ,则

A.﹣

B.

C.﹣

D.

考点:向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:判断 D 是 AC 的中点,利用已知条件求出 BA 的长度,求出 cosB,然后求解数量积 的值. 解答: 解: ?
2

=

?D 是 AC 的中点? +
2

= (

+



=﹣ ? (
2

)?( |=

﹣ .

)=﹣



=﹣1?

=5?|

cosB= ? = =2? ? ?

. =( ﹣ ﹣
2

)?

=

?(﹣



﹣ ×5=2﹣

=﹣ .

故选:A. 点评:本题考查向量的几何中的应用,平面向量的数量积的应用,考查计算能力. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知 α∈(

,π) ,且 sinα= ,则 tanα 的值为﹣ .

考点:同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析:由 α 的范围以及 sinα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值,即可确 定出 tanα 的值. 解答: 解:∵α∈( ∴cosα=﹣ 则 tanα= 故答案为:﹣ 点评:此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键. =﹣ . ,π) ,且 sinα= , =﹣ ,

14.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最小值是﹣1.

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出约束条件所对应的可行域,变形目标函数,平移直线 y=x 可知当直线经过点(1, 2)时直线的截距﹣z 最大,代点计算可得最小值. 解答: 解:作出约束条件 所对应的可行域(如图阴影) ,

变形目标函数可得 y=x﹣z, 平移直线 y=x 可知当直线经过点(1,2)时直线的截距﹣z 最大, ∴当 x=1,y=2 时,zmin=﹣1, 故答案为:﹣1

点评:本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.

15.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的体积为 积为 .

,底面边长为 2,则该球的表面

考点:球的体积和表面积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PE 上,求出球的半径,求出球的表面 积. 解答: 解:如图,正四棱锥 P﹣ABCD 中,PE 为正四棱锥的高,根据球的相关知识可知, 正四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上, 延长 PE 交球面于一点 F,连接 AE,AF, 棱锥的体积为 ,底面边长为 2,则棱锥的高为 4,

由球的性质可知△ PAF 为直角三角形且 AE⊥PF,根据平面几何中的射影定理可得 PA =PF?PE,因为 所以侧棱长 PA= =3
2

=



,PF=2R,

所以 18=2R×4,所以 R= , 所以 S=4πR = 故答案为: .
2



点评:本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题. 16.对于函数 f(x)=4 ﹣m?2 m 的取值范围是[ ,+∞) .
x x+1

,若存在实数 x0,使得 f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则实数

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用.

分析:根据已知条件可得到 设 函数 , 带入上式即可得到 m=

﹣2=0,所以可想着 , 而根据单调性的定义即可判断出 . ; ;

在[2,+∞)上是增函数,求其值域从而得到 m

解答: 解:由 f(﹣x0)=﹣f(x0)得: 可整理成 设 ∴t ﹣2mt﹣2=0; ∴ ∴ ; ) . ,根据单调性的定义可知该函数在[2,+∞)上是增函数;
2



∴实数 m 的取值范围是[ 故答案为: .

点评:考查完全平方式的运用,换元解决问题的办法,基本不等式的运用,根据单调性的定 义判断函数的单调性,也可对函数 性求函数的值域. 三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}为等差数列,且 a1=3,{bn}为等比数列,数列{an+bn}的前三项依次为 5, 9,15,求: (1)数列{an},{bn}的通项公式; (2)数列{an+bn}的前 n 项和. 考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)设公差为 d,公比为 q,利用已知条件列出方程,然后求解,即可求出通项公式. (2)利用分组结合等差数列以及等比数列分别求和即可. 解答: 解: (1)设公差为 d,公比为 q, 求导,根据导数的符号判断其单调性,根据单调



解得 b1=2,d=2,q=2,…

∴an=2n+1,bn=2 .… (2)Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)

n

=
2 n+1

+



=n +2 +2n﹣2.… 点评:本题考查数列求和的方法,数列通项公式的求法,考查分析问题解决问题的能力. 18.某中学 2015 届高三(10)班有女同学 51 名,男同学 17 名,“五四”期间该班班主任按 分层抽样的分法组建了一个由 4 名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组. (Ⅰ)演讲比赛中,该小组决定先选出两名同学演讲,选取方法是:先从小组里选出 1 名演 讲,该同学演讲完后,再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲,求选中的两名同学恰有 一名女同学的概率; (Ⅱ)演讲结束后,5 位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是:69、71、72、73、75 分, 给出第二个演讲同学的成绩分别是:70、71、71、73、75 分,请问哪位同学的演讲成绩更 稳定,并说明理由. 考点:极差、方差与标准差;古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意推导出演讲小组中男同学有 1 人,女同学有 3 人.由此能求出选出的两 名同学恰有一名女同学的概率. (Ⅱ)由已知条件分别求出两个演讲的同学的方差,由此能求出哪位同学的成绩更稳定. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知:P= = .

设演讲比赛小组中有 x 名男同学,则 6817=4x, ∴x=1, ∴演讲小组中男同学有 1 人,女同学有 3 人. 把 3 名女生和 1 名男生分别记为 a1,a2,a3,b, 则选取两名同学的基本事件有(a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b) , (a2,a1) , (a2,a3) , (a2,b) , (a3,a1) , (a3,a2) , (a3,b) , (b,a1) , (b,a2) , (b,a3)共 12 种. 其中恰有一名女同学的情况有 6 种, 所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为 P= (Ⅱ)﹣x1=51×(69+71+72+73+75)=72, ﹣x2=51×(70+71+71+73+75)=72, =51×[(69﹣72) +(71﹣72) +(72﹣72) +(73﹣72) +(75﹣72) ]=4, =51×[(70﹣72) +(71﹣72) +(71﹣72) +(73﹣72) +(75﹣72) ]=3.2. 因此第二个演讲的同学成绩更稳定. 点评:本题考查概率的求法,考查哪位同学的成绩更稳定的求法,是中档题,解题时要注意 列举法的合理运用.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

= .

19.在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,DC=2,∠PCD=45°,D,E,F, G 分别为线段 PA,PC,PD,BC 的中点,现将△ PDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD(图 2) . (1)求证:AP∥平面 EFG; (2)求三棱椎 C﹣EFG 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 EF∥平面 PAB,同理 EG∥平面 PAB,从而得到平面 PAB∥平面 EFG,而 PA 在平面 PAB 内,故有 PA∥平面 EFG. (2)以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量 法能求出三棱椎 C﹣EFG 的体积. 解答: (1)证明:∵PE=EC,PF=FD, ∴EF 是△ PDC 的中位线,∴EF∥CD. 又 CD∥AB,∴EF∥AB, ∴EF∥平面 PAB,同理 EG∥平面 PAB. 又∵EF∩EG=E, ∴平面 PAB∥平面 EFG,而 PA 在平面 PAB 内, ∴PA∥平面 EFG. (2)解:∵BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP, 平面 PDC⊥平面 ABCD, ∴AD,DC,DP 两两垂直, 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, ∵DC=2,∠PCD=45°, D,E,F,G 分别为线段 PA,PC,PD,BC 的中点, ∴C(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) , F(0,0,1) ,G(1,2,0) , =(0,1,0) , =(1,1,﹣1) , =(1,2,﹣1) , =(0,2,﹣1) ,

设平面 EFG 的法向量 =(x,y,z) ,



,取 x=1,得 =(1,0,1) ,

点 C 到平面 EFG 的距离 h=

=

=



cos< S△ EFG=

>=

,∴sin< sin<

>= >= =

. = = . ,

∴三棱椎 C﹣EFG 的体积 V=

点评:本题考查证明线面平行的方法,考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要注意 向量法的合理运用.

20.若椭圆

+

=1 的焦点在 x 轴上,过点(

,1)作圆 x +y =

2

2

的切线,切点分别

为 A、B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,问:是 否存在一个定点 M(t,0) ,使得以 PQ 为直径的圆经过点 M.若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1) 设过点 ( 由已知条件求出 A(

, 1) 的圆 x +y = ,0) ,B(

2

2

的切线为 l: y﹣1=k (x﹣

) , 即 kx﹣y﹣

=0,

, ) ,直线 AB 的方程为:y=﹣

,从而得到椭



+

=1 的右焦点为(

,0) ,上项点为(0,3) ,由此能求出椭圆 C 的标准方程.

(2)由

,得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣36=0,由动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有

2

2

2

且只有一个公共点 P(x0,y0) ,得 P(﹣

, ) ,由

,得 Q(4,4k+m) ,由此

能推导出不存在一个定点 M(t,0) ,使得以 PQ 为直径的圆经过点 M. 2 2 解答: 解: (1)设过点( ,1)的圆 x +y = 的切线为 l:y﹣1=k(x﹣ ) ,即 kx﹣ y﹣ =0, 2 2 当直线 l⊥x 轴时,k 不存在,直线方程为 x= ,恰好与圆 x +y = 切于点 A( ,0) , 当直线 l 与 x 轴不垂直时,圆心(0,0)到直线 l 的距离: d= = ,解得 k=﹣ ,

此时直线 l 的方程为 y=﹣

+2,直线 l 与圆切于点 B(

, ) ,

∴kAB=

=﹣

,直线 AB 的方程为:y=﹣



∴直线 AB 与 x 轴交于点 A( ∴椭圆 ∴c= + =1 的右焦点为(
2

,0) ,与 y 轴交于 C(0,3) , ,0) ,上项点为(0,3) ,

,b=3,∴a =3+9=12, .

∴椭圆 C 的标准方程为

(2)由

,消元可得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣36=0,

2

2

2

∵动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0) , ∴m≠0,△ =0, 2 2 2 ∴(8km) ﹣4×(4k +3)×(4m ﹣36)=0, 2 2 ∴12k ﹣m +9=0,① 此时 x0=﹣ =﹣ ,y0= ,

即 P(﹣ 由

, ) ,得 Q(4,4k+m) ,

取 k=0,m=3,此时 P(0,3) ,Q(4,3) , 2 2 以 PQ 为直径的圆为(x﹣2) +(y﹣3) =4,它和 x 轴无交点, 故不存在一个定点 M(t,0) ,使得以 PQ 为直径的圆经过点 M. 点评:本题考查椭圆 C 的标准方程的求法,考查是否存在一个定点 M(t,0) ,使得以 PQ 为直径的圆经过点 M 的判断与求法,解题时要注意函数与方程思想的合理运用. 21.已知函数 f(x)=e +ax﹣1(a∈R,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若对任意的 x∈[0,+∞) ,均有 f(x)≥f(﹣x) ,求 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,得到函数的单调区间; (2)问题等价于 e ﹣e +2ax≥0 恒成立,令 h(x)=e ﹣e +2ax(x≥0) ,通过讨论 a 判断 h (x)的单调性,从而得到答案. x 解答: 解: (1)f′(x)=e +a 当 a≥0 时,f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,由 f′(x)>0 得 x>ln(﹣a) , 所以 f(x)在(ln(﹣a) ,+∞)上单调递增,在(﹣∞,ln(﹣a) )上单调递减, 综上可知,当 a≥0 时,f(x)的单调增区间是(﹣∞,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间是(ln(﹣a) ,+∞) ,f(x)的单调减区间是(﹣∞,ln(﹣ a) ) ; (2)当 x≥0 时,f(x)≥f(﹣x)即 e +ax≥e ﹣ax 恒成立, ﹣x ﹣x x x 等价于 e ﹣e +2ax≥0 恒成立令 h(x)=e ﹣e +2ax(x≥0) , 则 ,当且仅当 x=0 时,等号成立,
x
﹣x

x

x

﹣x

x

﹣x

①当 a>﹣1 时,h′(x)>0,∴h(x)在[0,+∞)上是增函数,故 h(x)≥h(0)=0 恒成 立, ②当 a=﹣1 时,若 x=0,则 h′(x)=0;若 x>0,则 h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+∞)上是增函数故 h(x)≥h(0)=0 恒成立, ③当 a<﹣1 时,方程 h′(x)=0 的正根为 ,此时,若 x∈(0,

x1) , 则 h′(x)<0,故 h(x)在该区间为减函数, 所以当 x∈(0,x1)时,h(x)<h(0)=0,这与 h(x)≥0 恒成立矛盾; 综上可知,满足条件 a 的取值范围是[﹣1,+∞) . 点评:本题考查了函数的单调性,考查了函数恒成立问题,考查转化思想,是一道中档题. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 【[选修 4-1:几何证明选讲】

22.如图,AB 是⊙O 的直径,BE 为⊙O 的切线,点 C 为⊙O 上不同于 A,B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与⊙O 交于 D,与 BE 交于 E,连接 BD,CD. (1)求证:BD 平分∠CBE; (2)求证:AH?BH=AE?HC.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;立体几何. 分析: (1)由 AD 为∠BAC 的平分线得 = ,得出∠DBC=∠BCD,再由弦切角定理得

到∠DBE=∠BCD,可得∠DBE=∠DBC; (2)证明△ ABE∽△ACH,得出 AH?BE=AE?HC 即可. 解答: 证明: (1)∵AD 为∠BAC 的平分线,即∠DAB=∠DAC, ∴ = ,可得∠DBC=∠BCD,

又∵BE 与圆 O 相切于点 B, ∴∠DBE=∠BCD,可得∠DBE=∠DBC, ∴BD 平分∠CBE; (2)由(1)可知 BE=BH, 所以 AH?BH=AH?BE 因为∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE, 所以△ ABE∽△ACH, 所以 ,即 AH?BE=AE?HC,即:AH?BH=AE?HC.

点评:本题给出圆的直径与切线,考查圆的几何性质,弦切角定理,三角形相似,属于中档 题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) .在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 o 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=4cosθ. (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值. 考点:参数方程化成普通方程. 专题:选作题;坐标系和参数方程. 分析: (I)利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可将圆 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ 化为普通方程; (II)据点到直线的距离公式即可求出答案. 解答: 解: (Ⅰ)由 ρ=4cosθ 得 ρ =4ρcosθ,… 2 2 结合极坐标与直角坐标的互化公式得 x +y =4x, 2 2 即(x﹣2) +y =4 … (Ⅱ)由直线 l 的参数方程为 结合圆 C 与直线 l 相切,得 ,化为普通方程,得 x﹣ =2,解得 a=﹣2 或 6.… y﹣a=0.
2

点评:本题考查极坐标方程化为普通方程、直线与圆相切,理解极坐标方程与普通方程的互 化公式和点到直线的距离公式是解决问题的关键. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=|x﹣m|﹣2|x﹣1|. (1)当 m=3 时,求 f(x)的最大值; (2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0. 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用.

分析: (1)当 m=3 时,函数 f(x)=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=

,再根据函数的单

调性求得函数 f(x)的最大值. 2 2 2 2 (2)关于 x 的不等式即 (x﹣m) ≥4(x﹣1) ,化简可得 3x +(2m﹣8)x+4﹣m ≤0.计 2 算△ =16(m﹣1) ≥0,由此求得一元二次不等式的解集.

解答: 解: (1)当 m=3 时,函数 f(x)=|x﹣3|﹣2|x﹣1|=

,故当 x=1

时,函数 f(x)取得最大值为 2. 2 2 (2)关于 x 的不等式 f(x)≥0,即|x﹣m|≥2|x﹣1|,即 (x﹣m) ≥4(x﹣1) ,化简可得 2 2 3x +(2m﹣8)x+4﹣m ≤0. 由于△ =16(m﹣1) ≥0,求得
2

≤x≤



点评:本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属 于基础题.


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