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2015届高考数学(新课标) 题型全归纳 等比数列的通项与求和典型例题剖析

时间:2015-04-17


等比数列的通项与求和
一、知识导学 1. 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通 常用字母q表示. 2. 等比中项:若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.

3.等比数列的前 n 项和公式:

?n ? a1 ? S n ? ? a 1 (1 ? q n ) a 1 ?a n ? q ? 1? q ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不为 0. 2.对于公比 q,要注意它是每一项与它前一项的比,防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第 2 项起”是因为首项没有“前一项”,同时应注意如果一个数列不是从第 2 项起,而是从 第 3 项或第 4 项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,此数列不是等比数列,这时可以 说此数列从. 第 2 项或第 3 项起是一个等比数列. 4.在已知等比数列的 a1 和 q 的前提下,利用通项公式 an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项. 5.在已知等比数列中任意两项的前提下,使用 an=amqn-m 可求等比数列中任意一项.

an ?
6.等比数列{an}的通项公式 an=a1qn-1 可改写为

a1 n ?q q .当 q>0,且 q1 时,y=qx 是一个

y?
指数函数,而

a1 x ?q q 是一个不为 0 的常数与指数函数的积,因此等比数列{an}的图象

y?
是函数

a1 x ?q q 的图象上的一群孤立的点.

7.在解决等比数列问题时,如已知,a1,an,d, 三、经典例题导讲 [例 1] 已知数列

S n ,n 中任意三个,可求其余两个。

?an ?的前 n 项之和 Sn=aqn( a ? 0, q ? 1, q 为非零常数) ?a ? ,则 n 为(

) 。

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列,也不是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列 错解:

? a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? aq n ?1 ? aq n ? aq n (q ? 1)

? a n ? S n ? S n ?1 ? aq n ?1 (q ? 1)

?

a n ?1 ?q an (常数)

-1-

?an ?为等比数列,即 B。
错因:忽略了

? a n ? S n ? S n ?1 中隐含条件 n>1.

正解:当 n=1 时,a1=S1=aq; 当 n>1 时,

? a n ? S n ? S n ?1 ? aq n ?1 (q ? 1)

?

a n ?1 ?q an (常数) ? a2 ? q ?1 ? q a1



?an ?既不是等差数列,也不是等比数列,选 C。
[例 2] 已知等比数列

?an ?的前 n 项和记为 Sn,S10=10

,S30=70,则 S40 等于.

错解:S30= S10· q 2. q 2=7,q= ? 7 , S40= S30· q = ? 70 7 . 错因:是将等比数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等比数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等比数 列.

正解:由题意:

? a1 (1 ? q 10 ) ? 10 ? ? 1? q ? 30 ? a1 (1 ? q ) ? 70 ? ? 1? q

? a1 ? ?10 ? ?1 ? q ?q 10 ? 2或q 10 ? ?3(舍去) 得? ,

a1 ( 1 ? q 40) ? 200 1 ? q S40= .
[例 3] 求和:a+a2+a3+…+an.

错解:

1? an a+a2+a3+…+an= 1 ? a .

错因:是(1)数列{an}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前 n 项和公式(2)用 等比数列前 n 项和公式应讨论 q 是否等于 1. 正解:当 a=0 时,a+a2+a3+…+an=0; 当 a=1 时,a+a2+a3+…+an=n;

当 a1 时,

1? an a+a2+a3+…+an= 1 ? a .

[例 4]设 a, b, c, d 均为非零实数, a ? b d ? 2b?a ? c ?d ? b ? c ? 0 ,
2 2 2 2 2

?

?

求证: a, b, c 成等比数列且公比为 d 。

-2-

证明: 证法一:关于 d 的二次方程 a ? b d ? 2b?a ? c ?d ? b ? c ? 0 有实根,
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 ∴ ? ? 4b ?a ? c ? ? 4 a ? b (b ? c ) ? 0 ,∴ ? b ? ac 2

?

?

?

?

?

2

?

2

?0

则必有: b ? ac ? 0 ,即 b ? ac ,∴非零实数 a, b, c 成等比数列
2 2

设公比为,则 b ? aq , c ? aq 代入
2

?a

2

? a 2 q 2 d 2 ? 2aq a ? aq 2 d ? a 2 q 2 ? a 2 q 4 ? 0
2

?
2

?

?

∵ q ? 1 a ? 0 ,即 d ? 2qd ? q ? 0 ,即 d ? q ? 0 。
2 2

?

?
2

证法二:∵ a ? b d ? 2b?a ? c ?d ? b ? c ? 0
2 2 2 2 2

?

?

∴ a d ? 2abd ? b
2
2

?

2

? ? ?b d
2
2

2

? 2bcd ? c 2 ? 0

?

∴ ?ad ? b ? ? ?bd ? c ? ? 0 ,∴ ad ? b ,且 bd ? c

b c ? ?d ∵ a, b, c, d 非零,∴ a b 。
[例 5]在等比数列 解:
2

?bn ?中, b4 ? 3 ,求该数列前 7 项之积。

b1b2 b3 b4 b5 b6 b7 ? ?b1b7 ??b2 b6 ??b3 b5 ?b4
3



b4 ? b1b7 ? b2 b6 ? b3 b5 ,∴前七项之积 ?3 2 ? ? 3 ? 37 ? 2187
{n ? 1 } 2 n 前 n 项和

[例 6]求数列

解:

S n ? 1?

1 1 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? ???? ? n ? n 2 4 8 2 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? (n ? 1) ? n ? n ? n ?1 4 8 16 2 2



1 Sn ? 2

1?



1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 2 ? n S n ? ? ? ? ?? ? n ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 4 8 2 2 2 n ?1 1? 2 两式相减:
? S n ? 2(1 ? 1 n 1 n ? n ?1 ) ? 2 ? n ?1 ? n n 2 2 2 2
-3-

[例 7]从盛有质量分数为 20%的盐水 2kg 的容器中倒出 1kg 盐水,然后加入 1kg 水,以后每次 都倒出 1kg 盐水,然后再加入 1kg 水, 问:(1)第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐多 kg? (2)经 6 次倒出后,一共倒出多少 kg 盐?此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多 少? 解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:

a1= 0.2 (kg),

1 a2= 2 ×0.2(kg),

1 a3= ( 2 )2×0.2(kg) 1 a5= ( 2 1 q= 2 1 2 )4×0.2=0.0125(kg) 。

1 由此可见:an= ( 2

(kg),

(2)由(1)得{an}是等比数列

a1=0.2 ,

a (1 ? q 6 ) ? S6 ? 1 ? 1? q

1 ) 2 6 ? 0.39375(kg ) 1 1? 2 0.4 ? 0.39375 ? 0.00625(kg ) 0.2(1 ? 0.00625 ? 2 ? 0.003125(kg )

答:第 5 次倒出的的 1kg 盐水中含盐 0.0125kg;6 次倒出后,一共倒出 0.39375kg 盐,此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.003125。 四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式: a1=5, 且

a n ?1 n ? a n ?1 a1=5, 且 n
2.在等比数列

?a n ?,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100 ,求 a18 .
0 5 1 5 2 5 n ?1 5

3.已知无穷数列 10 ,10 ,10 , ??10 , ?? , 求证: (1)这个数列成等比数列

1 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 ,
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列

?a n ?为1,2 x,3x 2 ,4 x 3 ?? nx n?1 ? ?x ? 0? 求此数列前项的和。

5.已知数列{an}中, 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 6.是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同?
-4-

7.在等比数列

?a n ?中, a1a3 ? 36, a 2 ? a 4 ? 60, S n

? 400 ,求的范围。

-5-


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