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2015届高考数学大一轮复习 导数的应用精品试题 理(含2014模拟试题)


2015 届高考数学大一轮复习 导数的应用精品试题 理(含 2014 模拟 试题)

1.(2014 重庆一中高三下学期第一次月考,7)已知函数 恰好有三个不同的公共点,则实数 的取值范围是( )

的图像与 轴

(A)

(B)

(C)

(D)

>
[解析] 1. 时, , 所以函数

, 当 的极小值为



时, 可得 , 极大值为

; 当

, 由题意可得

, 解得

.

2. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,8) 下图可 能是下列哪个函数的图象( )

[解析] 2.

因为当

时, 函数 y=2 和函数 y=-x -1 都为增函数, 可知函数 y=2 -x

x

2

x

2

-1 在

上为增函数, 故可排除选项 A; 因为函数 y =

为偶函

数, 故可排除选项 B; 因为 应只有一个极值点, 故可排除选项 D, 故选 C.

, 只有一个实数根, 所以函数

1

3. (2014 福州高中毕业班质量检测, 10) 已知函数

为常数),

当 ( )

时取得极大值, 当

时取极小值, 则

的取值范围是

A.

B.

C.

D.

[解析] 3.因为 小值,

,又因为当

时取得极大值, 当

时取极

所以

,即

,作出不等式组表示的平面区域,如图中

解方程组

可得



由图知,点

到直线

的距离的平方是

的最小值,







的最大值,



的取值范围是

.

2

4. (2014 福州高中毕业班质量检测, 9) 若定义在 , 且当 在区间 ( A. 5 ) B. 4 C. 3

上的函数

满足

,

时, 其图象是四分之一圆(如图所示), 则函数 上的零点个数为

D. 2

[解析] 4.

因为定义在

上的函数

满足

,

,

所以函数

是偶函数,且关于

对称,

又因为函数

的定义域是

, 所以

,令





极小值 由表中数据可知 的单调减区间为 ,单调增区间为 ,

3



时,函数

的极小值为



所以



时取得极大值

,且函数



上是增函数,

所以当

时由 3 个交点;

时只有一个交点,

故函数

在区间

上的零点个数为 4.

5. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),10) 定义在区间[0, 1]上的函数 的图象如右图所示,以 面积记为函数 , 则函数 、 的导函数 、 的大致图象为( 为顶点的 ) 的

4

[解析] 5.: 如图, 当 时, 时, 单调递减, 单调递减,

时, ; 当 ;且

的面积 时,

单调递增, 单调递增,

; 当 ; 当

. 所以选 D.

6. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试,10) 已知函数



,若至少存在一个 ( )

,使得

成立,则实数 的取值范围是

A. D.

B.

C.

[解析] 6.







所以

,若

,则

,所以



上是减函数,在

的最

5

大值为

,此时不存在

,使得

,即使得

成立;



,则由

,总存在

使得

成立.

故实数 的范围为

.

7. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,8) 若函数 小值,则实数 的取值范围是( )



上有最

A. [解析] 7. , 因为

B. ,令 上单调递增;在

C. ,所以

D. ,所以函数 在 在

上单调递减,要函数

上有最小值,所以

,解得

,故实数 的取值范围是

.

8.(2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,7)设随机变量 服从正态

分布 ( )

,若

,则函数

没有极值点的概率是

A.0.2

B.0.3

C.0.7

D.0.8

[解析] 8.

,由题意可得 且随机变量 的正态曲线关于 对称,所以

,解得

,又因为

9.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,7)已知函数 有零点的实数 的取值范围是( )

,则使函数

6

A.

B.

C.

D.

[解析] 9.

令 , 所以函数 在 (0, + .

,当 为增函数, 所以



;当 . 所以欲使



有零点,只需使

10. (2014 广西桂林中学高三 2 月月考,12) 已知函数

的定义为

,且函数

的图像关于直线

对称,当

时,



其中



的导函数,若 )

,则



大小关系是(

(A)

(B)

(C)

(D)

[解析] 10.





,所以





,所以当

时,

,则



上是减函数,

因为函数

的图象关于直线

对称,则函数

是偶函数,

又因为

,而





7

所以





.

11.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 12) 对于 函数 与 ,若存在区间[m,n](m< n),使得 与 与 在区间[m,n]上的值域 为等值函数,

相等,则称 f(x) 与 g(x) 为等值函数,若 则 a 的取值范围为( )

(A) (D)

(B)

(C)

[解析] 11.

由题意,因为



互为反函数,故其图像关于直线

对称且在 图像知, 与

上为增函数,若满足题意中等值函数的要求,结合指、对数函数的 在直线 上有两个共同的交点,交点的横坐标

分别为



对其两边取对数得

所以

又因为令

,则

易知



上为增,

为减,故

,所以

,故

,又

,故

.

12.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试, 12) 设函数 的可导函数,其导函数为 ,且有 的解集为( )

是定义在



,则不等式

A.

B.

C.

D.

8

[解析] 12.

由 ,令



得: 时, , ,即 ,

,即 在 是

,则当

减函数, ,

在 故选

是减函数, 所以由

得,

, 即



13. (2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 10) 已知函数 数 ,函数 都是其定义域上的增函数,则函数

,若对于任意的正 可能是( )

A.

B.

C.

D.

[解析] 13.

对于 A,







是其定

义域上的增函数,即 A 正确;

对 B, 函数





在其定义域上单调递减,故 B 错误;

对 C, 故 C 错误;

为开口向上的二次函数, 故在其对称轴两侧单调性不同,

对 D,







在其定义域上单调递减,故 D 错误. 综上所述,A 正确. 14. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 9) 定义域为 的连续函数 ,对任意 都有

9

,且其导函数 A. [解析] 14. 意 都有 B.

满足 C.

,则当 D.

时,有(



, 当 ,则函数

时, 的图象关于

,即 时函数 对称,

是增函数,又对任 ,





.

15. (2014 湖北黄冈高三期末考试) “ 上单调递增” 的( A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

” 是“函数

在区间

[解析] 15.当

时, , 若函数 在

,在

上单调递增;令 或

, 在

上单调递增, 则

上恒成立,







上恒成立,



.

故“

” 是函数



上单调递增的充要条件.

16. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试,16) 定义在 当 ________________. 时, < , 则不等式

上的函数 +≥

满足: + 的解集为

[解析] 16.



,则



所以

是奇函数,又当

时,

,

10

所以



单调递减,从而



上是减函数.



,可化为

,即



从而

,故解集为

.

17. (2014 北京东城高三第二学期教学检测,11) 若函数 值范围为_______.

有零点,则 的取

[解析] 17.

由已知

,所以

不是零点。从而函数

有零点等价于方程

有解. 设

,故 的范围是函数

的值域.



易得



单调递减,

单调递减,

单调递增.

又当

时,

,当

时,

为最小值,所以

.



的值域是

,从而



18.(2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测,13) 设 , 是函数 极值点,若 ,则实数 的 取值范围是 .

的两个

[解析] 18.

,令

,即

或 ,

要函数

有两个极值点, .

,则





故实数 的取值范围是

11

19. (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 8) 对于 上可导的任意函数 则必有( A . C. ) B. D.

,若满足



[解析] 19. ,则函数

, 当

时,

, 则函数 在



上单调递减; 当 处取得最小值 ,

时,

在 上单调递增. 即函数 ,两式相加得 .

20. (2014 重庆一中高三下学期第一次月考, 17) 设 曲线 (1) 在点 确定 的值; 处的切线与直线 : 平行。

, 其中



(2) [解析] 20.

求函数 解析

的单调区间。 (1) 由题 ,故

。因直线 的斜率为

,故

,从而



(2) 得 。故 的单增区间为

,由 和





,由 。

,单减区间为

21. (2014 天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,21) 已知函数

图象上斜率为

3 的两条切线间的距离为

,函数



(1)若函数



处有极值,求

的解析式;

(2) 若函数

在区间

上为增函数, 且

在区间

上都成立,

12

求实数

的取值范围.

[解析] 21.∵

, ∴由



, 即切点坐标为



∴切线方程为

,或

整理得



????????4 分



,解得

,∴





????????6 分

(1)∵





处有极值,∴





,解得

,∴

????????8 分

(2) ∵函数

在区间

上为增函数, ∴

在区间

上恒成立,



,又∵

在区间

上恒成立,∴





,∴



上恒成立,∴



的取值范围是

????14 分

22. (2014 天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试,20) 已知函数

(Ⅰ) 若

在区间

上为减函数,求 的取值范围;

13

(Ⅱ) 讨论



内的极值点的个数。

[解析] 22.解:(Ⅰ) ∵



????????????(2 分)



在区间

上为减函数



≤O 在区间

上恒成立

??????????(3 分)



是开口向上的抛物线

∴存在

,使得



在区间

内有且只有一个极小值点

?????(8 分)

14



≤ ≤

时,由(Ⅰ) 可知

在区间

上为减函数



在区间

内没有极值点.

综上可知,当

时,

在区间

内的极值点个数为



≤ ≤

时,

在区间

内的极值点个数为

???(12 分)

23. (2014 山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考,21) 设函

数 (1)判断函数 f(x) 在(0, +∞) 上的单调性; (2)证明:对任意正数 a,存在正数 x,使不等式 f(x) -1< a 成立.

[解析] 23.

(1) 由题意知:
x x

?????2 分

令 h(x) =(x-1) e +1, 则 h?(x) =x e > 0, ∴h(x) 在(0,+∞)上是增函数, 又 h(0) =0,∴h(x) > 0, 则 f?(x) > 0, ∴f(x) 在(0, +∞) 上是单调增函数.
x

?????3 分

?????5 分

(2) f(x) -1=, 不等式 f(x) -1< a 可化为 e -(a+1) x-1< 0,

15

令 G(x) = e -(a+1) x-1, G?(x) =e -(a+1), 由 G?(x) =0 得:x=ln(a+1), 当 0< x< (ln(a+1) 时,G?(x) < 0, 当 x> ln(a+1) 时,G?(x) > 0, ∴当 x=ln(a+1) 时,G(x)
min

x

x

?????7 分

=a-(a+1) ln(a+1),

?????9 分

即当 x=ln(a+1) 时,G(x)

min

=a-(a+1) ln(a+1) < 0.

?????11 分 ?????12 分

故存在正数 x=ln(a+1) ,使不等式 F(x) -1< a 成立.

24. (2014 山西太原高三模拟考试(一),21) 已知函数



.

(I)若函数

在区间(0,

)无零点,求实数 的最小值;

(Ⅱ)若对任意给定的 实根,求实数 的取值范围. [解析] 24.

,在

上方程

总存在两个不等的

16

17

25. (2014 山东青岛高三第一次模拟考试, 20) 已知函数

.

(Ⅰ)求

的最小值;

(Ⅱ) 当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时, 这样的区间称为函数的保 值区间. 设 ,试问函数 在 上是否存在保值区间?若

存在,请求出一个保值区间;若不存在,请说明理由.

[解析] 25.(Ⅰ)求导数,得

.



,解得

.



时,

,所以



上是减函数;



时,

,所以



上是增函数.





处取得最小值

. (6 分)

(Ⅱ)函数



上不存在保值区间, 证明如下:

假设函数

存在保值区间

,

18



得:



时,

,所以

为增函数,所以

即方程

有两个大于 的相异实根 ,(9 分)









,所以



上单增,

所以

在区间

上至多有一个零点,

这与方程

有两个大于 的相异实根矛盾

所以假设不成立,即函数



上不存在保值区间. (13 分)

26. (2014 福州高中毕业班质量检测, 20) 已知函数 .

,其中



(Ⅰ)讨论

的单调区间;

(Ⅱ)若直线

的图像恒在函数

图像的上方,求 的取值范围;

(Ⅲ)若存在



,使得

,求证:

.

19

[解析] 26.(Ⅰ)

的定义域为

.

其导数



①当

时,

, 函数在

上是增函数,

②当

时, 在区间

上,

; 在区间(0, +∞) 上,



所以



是增函数, 在(0, +∞) 是减函数. (4 分)

(Ⅱ)当

时, 取





, 不合题意.



时,令

, 则

,(6 分)

问题化为求

恒成立时 的取值范围.

由于



在区间

上,

; 在区间

上,

.

20

的最小值为

, 所以只需



,

,

,(9 分)

(Ⅲ) 由于当

时函数在

上是增函数, 不满足题意, 所以



构造函数:

(

)





所以函数

在区间

上为减函数.

, 则

,

于是 减函数可知 . 即

, 又 .

, (14 分)

, 由



上为

27.(2014 安徽合肥高三第二次质量检测,21) 已知函数



).

(Ⅰ)当

时,求曲线

在点

处的切线方程;

(Ⅱ)若函数

存在最大值

,求

的最小值.

[解析] 27.

(Ⅰ)当

时,

,所以



21

所以

,又



所以所求的切线方程为

,即

. (5 分)

(Ⅱ)由



①当 无极大值.

时,



,所以

,所以



上是增函数,

②当

时,设方程

的根为 ,则

,即



所以



上为增函数,

上为减函数,(9 分)

所以

的极大值为

,即



因为

,所以





,则

,令

,则



所以



上为减函数,在

上为增函数,

所以

的最小值为

,即

的最小值为

,此时

.

(13 分)

28. (2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考,22) 设

(Ⅰ)求

的最小值;

22

(Ⅱ)求证:

.

[解析] 28.

(Ⅰ)因为

,所以





,得 ,

,所以 单调递减.

时,



单调递增;

时,

所以

的极小值为

,即函数

的最小值. (5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,即





,所以

,(8 分)

依次取

,得一系列不等式,相加可得

. (12 分) 29. (2014 河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测(二),21) 已知函数 ,其中 e 为自然对数的底数.

(Ⅰ)若

对任意

恒成立,求 的取值范围;

(Ⅱ)求证:当

时,恒有

.

[解析] 29.(Ⅰ)

.

①当

时,



恒成立,即



为单调递增函数;

23



,即



恒成立.

②当

时,令

,得

.



时,



单调递减;



时,



单调递增.



对任意

恒成立,则只需: ,

又 单调递减;又注意到 的 不存在.

, 。故 在区间

,即 上恒成立. 即

在区间 时, 满足



综上:

. (5 分)

(Ⅱ)当

时,



,易得





对任意

恒成立.



,有

,即

.

相加即得:

. (10 分)



.

24









时,恒有

. (12 分)

30. (2014 湖北黄冈高三 4 月模拟考试,22) 设函数

.

(Ⅰ)求证:当

时,

恒成立;

(Ⅱ)求证:



(Ⅲ)求证:

.

[解析] 30.(Ⅰ)

,设





时, 上恒有

,即 ,即

上单调递减又



恒成立 . (5 分)

(Ⅱ)令



,则有





. (9 分)

25

(Ⅲ)

上单调递增,

,(12 分)



上单调递减,

.

(14 分)

31. (2014 河北唐山高三第一次模拟考试,21) 已知函数

.

(Ⅰ)求函数

的最大值;

(Ⅱ)设

证明

有最大值

,且

.

[解析] 31.(Ⅰ)

.



时,



单调递增;



时,



单调递减.

26

所以

的最大值为

.

(4 分)

(Ⅱ)



.



,则

.



时,



单调递减;



时,



单调递增;



时,



单调递减. (7 分)









所以



有一零点 .



时,



单调递增;



时,



单调递减.

由(Ⅰ)知,当

时,

;当

时,

.

因此

有最大值

,且

.

(12 分)

32. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 21) 已知函数

.

(Ⅰ)若函数在区间

上存在极值,求实数 的取值范围;

27

(Ⅱ) 求证:当 x≥1 时,不等式



恒成立.

[解析] 32.解:(Ⅰ)因为

(

), 则

(

) ,



时,

;当

时,

;当



.

所以函数



上单调递增;在

上单调递减;

所以函数



处取得极大值.

因为函数在区间

(其中

)上存在极值,

所以

,解得

.

(6 分)

(Ⅱ)证明:当

时,不等式







所以





,则







,所以



上单调递增,所以

28

从而







上是单调递增,所以



因为当



,所以



又因为当





所以当



,即



所以当

时,不等式

恒成立. (12 分)

33. (2014 山东实验中学高三第一次模拟考试,21) 已知函数

(Ⅰ) 当

的极值;

(Ⅱ) 是否存在实数

时,函数

的最大值为

?若存

在,求实数 的取值范围,若不存在,请说明理由.

[解析] 33.解:(Ⅰ) 当

时,







所以函数





上单调递增,在

上单调递减,且





29

所以函数



处取得极小值

,在

处取得极大值 0. (6 分)

(Ⅱ) 由题意,



①当

时,函数



上单调递增,在

上单调递减,

此时不存在实数

使得当

时,函数

的最大值为

. (8 分)

②当

时,令





.



,函数



上单调递减,显然符合题意.



, 即

, 函数





上单调递增, 在

上单调递减,此时只需

,解得

,又



所以

.

(11 分)



,即

,函数

在 ,使得

和 时,函数

上单调递增,在 的最大值为 ,



单调递减,要存在实数



,代入化简的

( )





30

因为

恒成立,

故恒有

,所以当

时,( )式恒成立,

综上所述,实数 的取值范围是

.

(14 分)

34. (2014 广东汕头普通高考模拟考试试题,21)已知函数

.

(Ⅰ) 求函数

的单调区间;

(Ⅱ) 试探究函数 点;若不存在,请说明理由;

在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零

(Ⅲ) 若 取值范围.

,且



上恒成立,求实数 的

[解析] 34.(Ⅰ) 由 有 函数 在区间 单调递增;

,当

时,则



时,

,



函数

的单调增区间为

,单调减区间为



综合①②的当

时,函数

的单调增区间为





时,函数

的单调增区间为

,单调减区间为

. (5 分)

(Ⅱ) 函数

定义域为



31











,(7 分)



故函数



上单调递减,在

上单调递增,

,(8 分)

有由(1)知当

时,对

,有









且 趋向 0 时,

趋向



随着 而 数

的增长,

的增长速度越来越快, 会超过并远远大于 且 趋向 时, 趋向

的增长速度, ,得到函

的增长速度则会越来越慢。故当 的草图如图所示,

32

故①当

时,函数

有两个不同的零点;

②当

时,函数

有且仅有一个零点;

③当

时,函数

无零点;(10 分)

(3)由(2)知当

时,

,故对



先分析法证明:

要证

只需证

即证

构造函数

故函数



单调递增,



33



成立. (12 分)

①当

时,由(1)知,函数



单调递增,则



上恒成立.

②当

时,由(1)知,函数



单调递增,在

单调递减,

故当

时,

,所以

,则不满足题意.

综合①②得,满足题意的实数 的取值范围

. (14 分)

35. (2014 广东广州高三调研测试,20) 设函数 .



(Ⅰ) 若曲线



在它们的交点

处有相同的切线,求实数 , 的值;

(Ⅱ) 当 取 值范围;

时, 若函数

在区间

内恰有两个零点, 求实数 的

(Ⅲ) 当



时,求函数

在区间

上的最小值.

[解析] 35.解:(Ⅰ) 因为





所以



.

因为曲线



在它们的交点

处有相同切线,

34

所以

, 且

.



, 且

,

解得



. (3 分)

(Ⅱ) 当

时,



所以

.



,解得



.

当 变化时,



的变化情况如下表:

0 ↗ 所以函数 极大值 的单调递增区间为 ↘ ,

0 极小值 ↗ . (5 分)

,单调递减区间为



在区间

内单调递增,在区间

内单调递减.

从而函数

在区间

内恰有两个零点,当且仅当



35



,解得

.

所以实数 的取值范围是

. (8 分)

(Ⅲ) 当



时,

.

所以函数

的单调递增区间为



,单调递减区间为

.

由于



,所以

. (9 分)

①当

,即

时,

.

②当

时,

.

③当

时,

在区间

上单调递增,

.

综上可知,函数

在区间

上的最小值为

(14 分)

36. (2014 北京东城高三第二学期教学检测, 18) 已知函数



36

其中

.

(Ⅰ)





处取得极值,求 的值;

(Ⅱ)



的单调区间;

(Ⅲ)若

的最小值为 1,求 的取值范围 .

[解析] 36.(Ⅰ)





处取得极值,∴

解得

(4 分)

(Ⅱ)





①当

时,在区间



的单调增区间为

②当

时,





(10 分)

(Ⅲ)当

时,由(Ⅱ)①知,



时,由(Ⅱ)②知,



处取得最小值

37

综上可知,若

得最小值为 1,则 的取值范围是

(14 分)

37. (2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,21) 设 .

,函数

(Ⅰ)当

时,求



内的极值;

(Ⅱ) 设函数

, 当

有两个极值点

, (



时,总有

,求实数

的值.(其中

是函数

的导函数.)

[解析] 37.(Ⅰ)当

时,

,则





,则

,显然



上单调递减.

又因为

,故

时,总有



所以



上单调递减,(3 分)

又因为



所以当

时,

,从而

,这时

单调递增,



时,

,从而

,这时

单调递减,

当 变化时,



的变化情况如下表:

38

1 + 0 极大 -

所以



上的极大值是

. (5 分)

(Ⅱ)由题可知

,则

.

根据题意方程

有两个不等实数根



,且



所以

,即

,且

. 因为

,所有

.



,其中



可得

又因为



,将其代入上式得:



整理得

. (8 分)

即不等式

对任意

恒成立

①当

时,不等式

恒成立,即



②当

时,

恒成立,即

39



,显然



上的减函数,

所以当

时,

,所以



③当

时,

恒成立,即

由②可知,当

时,

,所以



综上所述,

. (12 分)

38. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,22)已知函数 可导的函数,若 >f(x) 在 上恒成立.

是在

上每一点处

(Ⅰ)求证:函数 g(x) =在(0, +∞)上单调递增; (Ⅱ)已知不等式 ln(1+x) <x 在 x>-1 且 x≠0 时恒成立,证明: ln2 +ln3 +ln4 +?+ln(n+1) > (n? N+).
2 2 2 2

[解析] 38.:(1)由 g(x) =, 对 g(x) 求导知 g’(x) =



>f(x) 可知:

>0 在(0, +?)上恒成立. (4 分)

从而 g(x) = 在(0, +?) 上是单调增函数.

(2)由(1)知 g(x) = 在(0, +?) 上是单调增函数, 当 x1>0, x2>0 时,> ,> , 于是 f(x1) <f(x1+x2), f(x2) <f(x1+x2),

40

两式相加得到:f(x1) +f(x2) <f(x1+x2) g(x) = 在(0, +?) 上是单调增函数, f(x1+x2) > f(x1) +f(x2) (x1> 0, x2> 0) 恒成立 易证:当 xi>0(i=1,2, 3, ?, n) 时, 有 f(x1) +f(x2) +f(x3) +? +f(xn) <f(x1+x2+x3+?+xn) (n≥2) 恒成立.

构造 f(x) =xlnx,知

-f(x) =x(lnx+1) -xlnx=x> 0 符合条件,

则当 xi>0(i=1,2, 3, ?, n) 时 有 x1lnx1+x2lnx2+?+xnlnxn<(x1+x2+?+xn) ln(x1+x2+?+xn) (n≥2)(*)恒成立. 令 xn=, 记 Sn=x1+x2+?+xn=++?+, 则 Sn<++?+=(1-) +(-) +?+(-) =1-, Sn>+?+=(-) +(-) +?+(-) =- (x1+x2+?+xn) ln(x1+x2+?+xn) < (x1+x2+?+xn) ln(1-) < -( x1+x2+?+xn) (∵ln(1+x) <x) <-(-) =- (**)

由(**)及(*)可知: ln+ln+?+ln< -. 于是 ln2 +ln3 +ln4 +?+ln(n+1) >.
2 2 2 2

(12 分)

39. (2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题, 19) 已知函数





处取得极小值

.

(Ⅰ) 求函数

的单调区间;

(Ⅱ) 若



恒成立,求实数

的取值范围.

41

[解析] 39.(Ⅰ)

,由







.

(6 分)

(2)由



要使



恒成立,

只需





, 得



所以实数 m 的取值范围是

.

(13 分)

40.(2014 山东潍坊高三 3 月模拟考试数学(理)试题,21) 已知函数



(I) 求函数

的零点的个数;

(Ⅱ) 令 的取值范围;

,若函数

在(0,

) 内有极值,求实数 a

42

(Ⅲ) 在(Ⅱ) 的条件下,对任意 [解析] 40.

,求证:

43

41.(2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,21)已知函数



(1)当

时,证明对任意的



(2)求证:



(3)若函数

有且只有一个零点,求实数 的取值 范围.

[解析] 41.

(2)

根据(1)的结论,当

时,

,即





,则有



?????????7 分

.即 (本问也可用数学归纳法证明.)

.?8 分

44

③当 时, ,设 的两根分别为 与 ,





,不妨设





时,

,当

时,



所以函数



上递增,在

上递减,



所以

时,

,且

因此函数



有一个零点,而在

上无零点;

此时函数

只有一个零点;

综上,函数

只有一个零点时,实数 a 的取值范围为 R.?????????14 分

42.(2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟,21)已知定义在

上的函数

总有导函

45



, 定义

.

一是自然对数的底数.

(1) 若

, 且

, 试分别判断函数



的单调性:

(2) 若

.

①当

时, 求函数

的最小值;

②设 若存在, 请求出一组 [解析] 42.

, 是否存在

, 使得

?

的值: 若不存在, 请说明理由。

46

47

43.(2014 广西桂林中学高三 2 月月考,22) 设函数

的定义域为(0,

).

(Ⅰ) 求函数



上的最小值;

(Ⅱ) 设函数

,如果

,且

,证明:



[解析] 43. (Ⅰ)

,则

时,



时,



所以函数



上是减函数,在

上是增函数函数,

48



时,函数



上是增函数,此时





时,函数



上是减函数,在

上是增函数,

此时

.

(5 分)

(Ⅱ) 证明:考察函数





所以



内是增函数,在

是减函数,(结论 1),

考察函数

,即

于是





时,

,从而

,又

,所以



所以



是增函数,又



所以

时,有

,即

,(结论 2).



,由结论 1 及

,得



矛盾;



,由结论 1 及

,得



矛盾;



,不妨设



,由结论 2 可知,

,所以得



因为

,所以

,由结论 1 可知函数

在区间

内是增函数,

49

所以

,即

.

(12 分)

44.(2014 湖北八校高三第二次联考数学(理)试题,22)已知函数



(Ⅰ)当

时,求曲线

在点

处的切线方程;

(Ⅱ)求

的单调减区间;

(Ⅲ)当 ,

时,设

在区间

上的最小值为

,令

求证:



[解析] 44.

(1) 当

时,

??????2 分

曲线

在点

处的切线方程为:



??????3 分

50

45. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测,22) 已知函数

.

(Ⅰ)若函数



上为增函数,求实数 的取值范围;

(Ⅱ)当



时,证明:

.

[解析] 45.解:(I)函数 . ????????????1 分

的定义域为



上恒成立,即



上恒成立,??2 分

51

. 分





,∴ 的取值范围为

???????????????4

(Ⅱ)由(I)当



时,

,又





(当

时,等号成立),即

?????????5 分

又当

时,设









上递减,



,即



恒成立,



时,

?①恒成立,(当且仅当

时,等号成立),??7 分

用 代替



?②恒成立(当且仅当

时,等号成立),

∴当

时,

,由①得

,即





时,



,由②得

.

∴当

时,

,即

. ??????10 分









.

52



. ???????????????????????12 分

46. (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测,17) 已知函数 .

(Ⅰ)若

,求函数

的单调区间和极值;

(Ⅱ)设函数 的方程.

图象上任意一点的切线 的斜率为 ,当 的最小值为 1 时,求此时切线

[解析] 46.解:(I) 分

的定义域为(

)时,????????????????1



时,

???????????2 分











,或

,由



,???3 分



的单调递增区间为



;单调递减区间为

????5 分



极大值为

;极小值为

?????????7 分

(II)由题意知



????????9 分

此时

,即

,∴

,切点为

,??????????11

53



∴此时的切线 方程为:

. ???????????????13 分

47.(2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 21) 已知 函数 .

( I) 求函数

的极小值;

(Ⅱ) 已知



,证明:

(i)

(ii) [解析] 47.

54

48.(2014 吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试,21)已知函数



55

(1)求

的单调区间和极值;

(2)设



,且

,证明:

.

[解析] 48.【解析】(1)定义域为







;令







的单调增区间是

,单调减区间是

极小值



无极大值

(2)证明:不妨设



两边同除以

得,

56



,则

,即 证:











上单调递减,所以



,即

恒成立





上是减函数,所以



得证

所以

成立

49.(2014 湖北武汉高三 2 月调研测试,22) (Ⅰ)已知函数 f(x) =e
x-1

-tx,? x0∈R,使 f(x0) ≤0,求实数 t 的取值范围;

[解析] 49.(Ⅰ)

57

若 t=0,f (x) =e 若 t>0,只需 f(x)

x-1

>0,不合题意;

min

≤0.
x-1

求导数,得 f ′(x) =e

-t.

令 f ′(x) =0,解得 x=lnt+1. 当 x<lnt+1 时,f ′(x) <0,∴f(x) 在(-∞,lnt+1) 上是减函数; 当 x>lnt+1 时,f ′(x) >0,∴f(x) 在(lnt+1,+∞) 上是增函数. 故 f(x) 在 x =lnt+1 处取得最小值 f(lnt+1) =t-t(lnt+1) =-tlnt. ∴-tlnt≤0,由 t>0,得 lnt≥0,∴t≥1. 综上可知,实数 t 的取值范围为(-∞,0) ∪[1,+∞) .??????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ),知 f(x) ≥f(lnt+1) ,即 e 取 t=1,e
x-1 x-1

-tx≥-tlnt.

-x≥0,即 x≤e

x-1



当 x>0 时,lnx≤x-1,当且仅当 x=1 时,等号成立, 故当 x>0 且 x≠1 时,有 lnx<x-1.

58

50.(2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,22) 定义在 R 上的函数 足:

及二次函数







(I)求



的解析式;

(II)



(III)设

,讨论议程

的解的个数情况.

[解析] 50.

(Ⅰ)

, ①

59

即 由①②联立解得: .



????????????????????????2 分

是二次函数, 且

, 可设

,



, 解得

.

. ?????????????????????? ??4 分

(Ⅱ) 设

,

,

依题意知: 当

时,

, 在

上单调递减,

?????????????????????? ??6 分



上单调递增,

解得:

实数 的取值范围为

. ???????????9 分

(Ⅲ) 设

, 由(Ⅱ) 知,

60

的图象如图所示:



, 则



, 即

时,

,

有两个解,

有 个解;



, 即

时,



,

有 个

解; ????????????????????????????????????? ????11 分



, 即

时,

,

有 个解;

当 综上所述:

, 即

时,

,

有 个解. ??13 分



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个

解. ?????????????????????????14 分

61

51. (2014 周宁、政和一中第四次联考,20) 已知函数 且 , , .



上为增函数,

(Ⅰ)求 θ 的值; (Ⅱ)若 在 上为单调函数,求 m 的取值范围;

(III)设

,若在

上至少存在一个 ,使得

成立,求 的取值范围。

[解析] 51.解:(Ⅰ)由题意,

≥0 在

上恒成立,即



∵θ ∈(0,π ),∴

.故



上恒成立,

只须

,即

,只有

.结合

,得

.(4 分)

(Ⅱ)由(1),得 ∵ ∴ 在其定义域内为单调函数, 或者





在[1,+∞)恒成立.

等价于

,即





,(

)max=1,∴



等价于

,即



恒成立,



∈(0,1],



综上, 的取值范围是



(9 分)

(III)构造





62

当 成立.

时,





, 所以在[1, e]上不存在一个 使得

当 因为

时, ,所以 ,

. ,所以 在 恒成立.





上单调递增,

,只要



解得

故 的取值范围是



(14 分)

52. (2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),21) 设函数 (Ⅰ)求函数 的单调区间

.

(Ⅱ) 若函数

有两个零点 , ,且

,求证:

[解析] 52. 当 时,

(Ⅰ) ,函数 在 上单调递增, , (4 分)



所以函数

的单调递增区间为



时,由

,得

;由

,得

所以函数的单调增区间为

,单调减区间为



(6 分)

(Ⅱ) 因为

是函数

的两个零点,有





63

两式相减得



所以



又因为

,当

时,

;当

时,

故只要证

即可,即 证明

,

(10 分)

即证明



即证明





. 令



则 所以 在

,因为 是增函数;又因为

,所以

,当且仅当 时,

时, 总成立.

,所以当

所以原题得证.

(13 分)

53. (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 19) 已知函数 图象是曲线 . (Ⅰ)当 时,求函数 的单调减区间; ,若存在唯一的实数 ,使得



为常数),其

(Ⅱ)设函数

的导函数为



同时成立,求实数 的取值范围; (Ⅲ)已知点 为曲线 上的动点,在点 处作曲线 的切线 与曲线 交于另一 点 ,在点 处作曲线 的切线 ,设切线 ,使得 的斜率分别为 . 问:是否存在常数

?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

64

[解析] 53.

解析 (Ⅰ)当

时,

.



,解得

,所以 f(x) 的单调减区间为

. (4 分)

(Ⅱ)

,由题意知

消去 ,



有唯一解.



,则



所以

在区间



上是增函数,在

上是减函数,







故实数 的取值范围是 (Ⅲ)设

. (10 分) ,

,则点 处切线方程为

与曲线 :

联立方程组,得

,即



所以 点的横坐标

. (12 分)

由题意知,





若存在常数 ,使得

,则



即存在常数 ,使得



所以

解得



.

65



时,存在常数

,使



时,不存在常数 ,使

. (16 分)

54. (2014 重庆七校联盟, 21) 已知函数 (Ⅰ)求 (Ⅱ)若 的单调区间; 在区间 上恒成立,求实数 的取值范围.

.

[解析] 54. 由 当 所以 当 当 所以 得 时,在

(Ⅰ) , 或 和 时 ,在 ,单调减区间是 时 ;

,

,

的单调增区间是 时,在 时,在 时 或

,所以 时 和

的单调增区间是 ,在 时 . .



的单调增区间是

,单调减区间是 在区间

(7 分)

(Ⅱ)由 (Ⅰ)可知 所以 在区间

上只可能有极小值点,

上的最大值在区间的端点处取到,

即有



,

解得

.

(12 分)

55. (2014 重庆七校联盟, 19) (创新)已知函数 在点 处的切线垂直于 轴. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求函数 的极值.

,其中

,曲线

[解析] 55.

(Ⅰ)

,

66

,即

.

(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,







,有

,由

,则







,则



.

(9 分)

所以



取得极大值



时,

取得极小值

.

(13 分)

56.

(2014 吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 22) 已知函数 . (Ⅰ)若函数 (Ⅱ) 若函数 在其定义域内为单调函数,求 的取值范围; 的图像在 处的切线斜率为 0,且



,( 证明:对任意的正整数 n, 当



). .

时,有

[解析] 56.

解析

(Ⅰ)函数

的定义域是

因为

所以有

所以





①当 ②当

时, 时,

恒成立,所以函数



上单调递减;

(3 分)

67

若函数

在其定义域内 单调递增,则有

恒成立即



因为

所以





不恒为 0.

若函数 因为

在其定义域内单调递减,则有 所以

恒成立即



综上,函数

在定义域内单调时 的取值范围是



(5 分)

(Ⅱ)因为函数

的图像在

处的切线斜率为 0,所以



所以

,所以









所以 当 是偶数时,因为 所以



(7 分) ,

所以



所以

即函数



单调递减,

所以

,即



当 是奇数时,令





所以函数



单调递减,所以



68

又因为



, 所以



所以

即函数



单调递减 ,

所以

,即

, 时,有 . (12 分)

综上,对任意的正整数 n, 当

57. (2014 天津七校高三联考, 20) 已知函数 方程为 .

在点

处的切线

(Ⅰ) 求函数

的解析式;

(Ⅱ) 若对于区间 最小值;

上任意两个自变量的值

都有

, 求实数 的

(Ⅲ)若过点

可作曲线

的三条切线,求实数 的取值范围.

[解析] 57.

解析

(Ⅰ)



根据题意,得



解得



所以



(4 分)

(Ⅱ) 令

,即

.得



1 + 增 因为 , , 极大值 减 极小值 + 增

2

2

69

所以当

时,





( 6 分)

则对于区间

上任意两个自变量的值

,都有

,所以 所以 的最小值为 4.



(Ⅲ)因为点

不在曲线

上,所以可设切点为







因为

,所以切线的斜率为



( 9 分)



=







因为过点

可作曲线

的三条切线,

所以方程

有三个不同的实数解.

所以函数

有三个不同的零点.



.令

,则





0 + 增 极大值 减

2 + 极小值 增



,即

,解得



(13 分)

70

58. (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 21) 已知函数 (Ⅰ)若 恒成立,求实数 的值;

.

(Ⅱ) 若方程

有一根为

, 方程

的根为 ,是否存在实数

,使 [解析] 58.

若存在,求出所有满足条件的 值;若不存在,说明理由, 解析 (Ⅰ)注意到函数 的定义域为 ,

所以

恒成立

恒成立,

设 当 时, 对 , 所以 ,

, 则 恒成立, 所以 时, ; 若 是

, 上的增函数,

注意到 当 所以

不合题意. , .

时, 若 是

上的减函数, 是

上的增函数,

故只需 令 ,

.

(4 分)

, 当 所以 故 所以当且仅当 时, 是 ; 当 时, . 上的减函数.

上的增函数, 是 当且仅当 时, 或

时等号成立. 成立, 即 时, 为所求. , 即 , 有 仅有唯一解 , (6 分) , 不合题意;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 当 所以 时, 是

上的增函数, 对

没有大于 的根, 不合题意.

71



时, 由

解得

, 若存在

,



, 即

,



,

,



, 当

时, 总有

,

所以 故 所以

是 ,

上的增函数, 即 在 , 即 上是增函数, 在 无解.

,

综上可知, 不存在满足条件的实数 .

(12 分)

59. (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 21) 已知函数 (其中 ).

(Ⅰ)若



的极值点, 求 的值;

(Ⅱ) 在(Ⅰ) 的条件下, 解不等式



(Ⅲ) 若函数

在区间

上单调递增, 求实数 的取值范围.

[解析] 59.(Ⅰ) 因为



因为



的极值点, 所以由

, 解得



检验, 当

时,

, 当

时,

, 当

时,

.

72

所以



的极值点, 故

. (4 分)

(Ⅱ) 当

时, 不等式

,

整理得 (6 分)

, 即







,

,

,



时,

;当

时,

,

所以



单调递减, 在

单调递增, 所以

, 即

,

所以

在 上单调递增, 而







,

所以原不等式的解集为

;(8 分)

(Ⅲ) 当

时,

因为

, 所以

, 所以



上是增函数.



时,

,

时,

是增函数,

.

①若

, 则

,







73

②若

, 则

,





.

③若

,

, 不合题意, 舍去.

综上可得, 实数 的取值范围是

. (亦可用参变分离求解). (12 分) ,

60. (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测,21) 已知函数 . (Ⅰ)若 ,求曲线 在 都有 出的切线方程; 恒成立,求 的最小值;

(Ⅱ)若对任意的

(Ⅲ)设 满足 , 且

, , 使得曲线

,若



为曲线

上 的两个不同点 平行, 求证 .

在 处的切线与直线

[解析] 60. .

解析

(Ⅰ) (4 分)





(Ⅱ)由

恒成立等价于

恒成立,

令 ①若 ,则

, 恒成立.

, 函数 , 在 符合条件. 上是增函数,



恒成立,又

②若

,由

可得

,解得



(舍去),



时,

;当

时,



74

, 综上所述, , 的最小值为 1.

,这与

恒成立矛盾. (9 分)

(Ⅲ)















,易知其定义域内为单调减函数,

欲证

,即证明

,即证明



变形可得

,令





则 构造函数

等价于 ,

, ,



,令





时, , 在



在 上恒成立,

上为单调增函数,



成立,

.

(14 分)

61. (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一),21 )已知函数

,设

(Ⅰ)求函数

的单调区间;

(Ⅱ)若以函数

图象上任意一点

为切点的切线的斜率

恒成

75

立,求实数 的最小值;

(Ⅲ)是否存在实数 ,使得函数

的图象与函数

的图象恰

有四个不同交点?若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,说明理由.

[解析] 61.

(Ⅰ)

, ∵ 由 ∴ ,由 得 得 ,∴ ,∴ 在 在 上是增函数.

上是减函数. . (4 分)

的单调递减区间为

,单调递增区间为

(Ⅱ)由





恒成立,



恒成立.

∵当

时,

取得最大值 ,∴

, 的最小值为 .

(8 分)

(Ⅲ)若 点,即 .

的图像与 有四个不同的根,亦即

的图像恰有四个不同交 有四个不同的根. 令

则(x) = 当 变化时 、 的变化情况如下表: (-?,-1) (-1,0) 的符号 的单调性 由上表知: ↗ , + ↘

.

(0,1) + ↗ ,

(1,+?) ↘

76

画出草图和验证



可知,当

时,



恰有四个不同交点.

∴当 个不同交点.

时,

的图像与

的图像恰有四

62. (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 21) 已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若直线 的单调区间; 是曲线 的切线,求实数 的值;

,其中

.

(Ⅲ)设

,求

在区间

上的最大值(其中 为自然对的底数).

[解析] 62. 令 ,则

(Ⅰ)① ,又 的定义域是 ,



),

∴函数

的单调递增区间为(0,2),递减区间为(-∞,0)和(2,+∞)(4 分)

(Ⅱ)设切点为 (Ⅲ) 令 ,则

则 , ,

解得 ,

,(7 分)

77

①当

时,



单调增加

(9 分)

②当

时,



单调减少,在

单调增加;



时,





时,



(11 分)

③当

时,



上单调递减,



综上所述,

时,



时,

.

(14 分)

63. (2014 广州高三调研测试, 20) 设函数



.

(Ⅰ)若曲线



在它们的交点

处有相同的切线,求实数 , 的值;

(Ⅱ)当 范围;

时,若函数

在区间

内恰有两个零点,求实数 的取值

(Ⅲ)当



时,求函数

在区间

上的最小值.

[解析] 63.

解析 (Ⅰ)因为





所以



.

因为曲线



在它们的交点

处有相同切线,

所以

, 且



78



, 且

,

解得

.

(3 分)

(Ⅱ)当

时,



所以

.



,解得

.

当 变化时,

的变化情况如下表:

0 ↗ 所以函数 极大值 ↘

0 极小值 ↗ .

的单调递增区间为

,单调递减区间为



在区间

内单调递增,在区间

内单调递减.

从而函数

在区 间

内恰有两个零点,当且仅当



解得

.

所以实数 的取值范围是

.

(8 分)

(Ⅲ)当



时,

.

所以函数

的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

79

由于 ①当

, ,即

,所以 时,

.

. ②当 时,

.

(12 分)

③当

时,

在区间

上单调递增,

.

综上可知,函数

在区间

上的最小值为

(14 分)

64.(2014 兰州高三第一次诊断考试, 21) 已知函数 的函数图象在点 处的切线平行于 轴.



,其中

(Ⅰ)确定 与 的关系; (Ⅱ )若 ,试讨论函数 的单调性;

(Ⅲ)设斜率为 的直线与函数

的图象交于两点





证明:



[解析] 64. 由函数

解析

(Ⅰ)依题意得 处的切线平行于 轴得:

,则 .



的图象在点

80



.

(3 分)

(Ⅱ )由(Ⅰ)得 ∵函数 的定义域为

∴当 由 即函数

时, 得 ,由 得 , 单调递减;

在(0,1) 上单调递增,在



时,令









,即

时,由





,由





即函数





上单调递增,在

单调递减;



,即

时,由





,由





即函数





上单调递增,在

单 调递减;

若 即函数

,即 在

时,在

上恒有



上单调递增, 时,函数 在(0,1) 上单调递增,在 单调递减;

综上所述:当



时,函数



单调递增,在

单调递减;在

上单调递增;



时,函数



上单调递增,



时,函数



上单调递增,在

单调递减;在

上单调递增.

(8 分)

81

(Ⅲ)依题意得





,即证



,即证





),即证





令 ∴



)则

在(1,+ )上单调递增,

∴ 令

=0,即 ,



).



∵ ∴ ∴

,又∵ ②

,∴



单调递减,

综①②得



),即

. .

(12 分)

65. (本题满分 14 分)已知函数 (1)当 时,求函数 的单调区间;

(2)当

时,若



恒成立,求实数 的最小值;

(3)证明

.

[解析] 65.(1)当

时,



时,



82





上是减函数;



时,



,令

得,





上单减,在

上单增

综上得,

的单减区间是

,单增区间是

. (4 分)

(2)当

时,

即 当 时,

,设 ,不合题意;

,



时,



得,



时,





上恒成立,



上单增,

,故

符合题意;

②当

时,

,对







83



不合题意.综上, 的最小值为 .

(8 分)

(3)由(2)得,



证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.

当 n≥2 时,令①式中







, 所以当 n≥2 时不等式成立. 命题得证. (13 分) ,函数

66. (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 已知 . (Ⅰ)求函数 的单调区间和值域;

(Ⅱ)设

,若

,总存在

,使得

成立,求 a 的取值范围.

[解析] 66.解:(Ⅰ)

,令



解得:



(舍去),

84

列表:

0

(0, ) 0 ↘

( ,1)

1



可知 f(x)的单调减区间是(0, ),增区间是( ,1);(5 分)

因为



所以当

]时,

的值域为[ ,ln2].

(7 分)

(Ⅱ) 因为 所以 , ,

, , (9 分) ,

为[0,1]上的减函数,

所以



因为当

]时,f(x)的值域为[ ,ln2]

由题意知:



所以



,得

.

(14 分) 答案和解析

理数 [答案] 1. C

85

[解析] 1. 时, , 所以函数

, 当 的极小值为



时, 可得 , 极大值为

; 当

, 由题意可得 [答案] 2. C

, 解得

.

[解析] 2.

因为当

时, 函数 y=2 和函数 y=-x -1 都为增函数, 可知函数 y=2 -x

x

2

x

2

-1 在

上为增函数, 故可排除选项 A; 因为函数 y =

为偶函

数, 故可排除选项 B; 因为 应只有一个极值点, 故可排除选项 D, 故选 C. [答案] 3.D

, 只有一个实数根, 所以函数

[解析] 3.因为 小值,

,又因为当

时取得极大值, 当

时取极

所以

,即

,作出不等式组表示的平面区域,如图中

解方程组

可得



由图知,点

到直线

的距离的平方是

的最小值,





86



的最大值,



的取值范围是

.

[答案] 4.

B

[解析] 4.

因为定义在

上的函数

满足

,

,

所以函数

是偶函数,且关于

对称,

又因为函数

的定义域是

, 所以

,令





极小值 由表中数据可知 的单调减区间为 ,单调增区间为 ,



时,函数

的极小值为



所以



时取得极大值

,且函数



上是增函数,

87

所以当

时由 3 个交点;

时只有一个交点,

故函数

在区间

上的零点个数为 4.

[答案] 5.

D

[解析] 5.: 如图, 当 时, 时, 单调递减, 单调递减,

时, ; 当 ;且

的面积 时,

单调递增, 单调递增,

; 当 ; 当

. 所以选 D.

[答案] 6.

D

[解析] 6.







所以 大值为

,若

,则

,所以 ,使得



上是减函数,在 ,即使得

的最 成立;

,此时不存在

88



,则由

,总存在

使得

成立.

故实数 的范围为 [答案] 7.C

.

[解析] 7. ,

因为

,令 上单调递增;在

,所以 上单调递减,要函数

,所以函数 在



上有最小值,所以 [答案] 8. C

,解得

,故实数 的取值范围是

.

[解析] 8.

,由题意可得 且随机变量 的正态曲线关于 对称,所以

,解得

,又因为

[答案] 9.

C

[解析] 9.

令 , 所以函数 在 (0, + .

,当 为增函数, 所以



;当 . 所以欲使



有零点,只需使 [答案] 10.B

[解析] 10.





,所以



89



,所以当

时,

,则



上是减函数,

因为函数

的图象关于直线

对称,则函数

是偶函数,

又因为

,而





所以



故 [答案] 11.

. C

[解析] 11.

由题意,因为



互为反函数,故其图像关于直线

对称且在 图像知, 与

上为增函数,若满足题意中等值函数的要求,结合指、对数函数的 在直线 上有两个共同的交点,交点的横坐标

分别为



对其两边取对数得

所以

又因为令

,则

易知



上为增,

为减,故

,所以

,故

,又

,故

.

[答案] 12.

[解析] 12.

由 ,令



得: 时, , ,即 ,

,即 在 是

,则当

减函数,

90



在 故选 [答案] 13. A

是减函数, 所以由

得,

, 即



[解析] 13.

对于 A,







是其定

义域上的增函数,即 A 正确;

对 B, 函数





在其定义域上单调递减,故 B 错误;

对 C, 故 C 错误;

为开口向上的二次函数, 故在其对称轴两侧单调性不同,

对 D,







在其定义域上单调递减,故 D 错误. 综上所述,A 正确. [答案] 14. [解析] 14. 意 都有 D , 当 ,则函数 时, 的图象关于 ,即 时函数 对称, 是增函数,又对任 ,

, [答案] 15. A



.

[解析] 15.当

时, , 若函数 在

,在

上单调递增;令 或

, 在

上单调递增, 则

上恒成立,

91







上恒成立,



.

故“

” 是函数



上单调递增的充要条件.

[答案] 16.

[解析] 16.



,则



所以

是奇函数,又当

时,

,

所以



单调递减,从而



上是减函数.



,可化为

,即



从而

,故解集为

.

[答案] 17.



[解析] 17.

由已知

,所以

不是零点。从而函数

有零点等价于方程

有解. 设

,故 的范围是函数

的值域.



易得



单调递减,

单调递减,

单调递增.

又当

时,

,当

时,

为最小值,所以

.

92



的值域是

,从而



[答案] 18.

[解析] 18.

,令

,即

或 ,

要函数

有两个极值点, .

,则





故实数 的取值范围是 [答案] 19. C

[解析] 19. ,则函数

, 当

时,

, 则函数 在



上单调递减; 当 处取得最小值 ,

时,

在 上单调递增. 即函数 ,两式相加得 .

[答案] 20.查看解析 [解析] 20. 解析 (1) 由题 ,故 。因直线 的斜率为 ,故 ,从而 ;

(2) 得 [答案] 21.查看解析 。故 的单增区间为

,由 和





,由 。

,单减区间为

[解析] 21.∵

, ∴由



, 即切点坐标为



∴切线方程为

,或

整理得



????????4 分

93



,解得

,∴





????????6 分

(1)∵





处有极值,∴





,解得

,∴

????????8 分

(2)∵函数 立,

在区间

上为增函数,∴

在区间

上恒成



,又∵

在区间

上恒成立,∴





,∴



上恒成立,∴



的取值范围是

????14 分

[答案] 22.查看解析

[解析] 22.解:(Ⅰ) ∵



????????????(2 分)



在区间

上为减函数



≤O 在区间

上恒成立

??????????(3 分)



是开口向上的抛物线

94

∴存在

,使得



在区间

内有且只有一个极小值点

?????(8 分)



≤ ≤

时,由(Ⅰ) 可知

在区间

上为减函数



在区间

内没有极值点.

综上可知,当

时,

在区间

内的极值点个数为



≤ ≤

时,

在区间

内的极值点个数为

???(12 分)

95

[答案] 23.查看解析

[解析] 23.

(1) 由题意知:
x x

?????2 分

令 h(x) =(x-1) e +1, 则 h?(x) =x e > 0, ∴h(x) 在(0,+∞)上是增函数, 又 h(0) =0,∴h(x) > 0, 则 f?(x) > 0, ∴f(x) 在(0, +∞) 上是单调增函数.
x

?????3 分

?????5 分

(2) f(x) -1=, 不等式 f(x) -1< a 可化为 e -(a+1) x-1< 0, 令 G(x) = e -(a+1) x-1, G?(x) =e -(a+1), 由 G?(x) =0 得:x=ln(a+1), 当 0< x< (ln(a+1) 时,G?(x) < 0, 当 x> ln(a+1) 时,G?(x) > 0, ∴当 x=ln(a+1) 时,G(x)
min x x

?????7 分

=a-(a+1) ln(a+1),

?????9 分

即当 x=ln(a+1) 时,G(x)

min

=a-(a+1) ln(a+1) < 0.

?????11 分 ?????12 分

故存在正数 x=ln(a+1) ,使不等式 F(x) -1< a 成立. [答案] 24.查看解析 [解析] 24.

96

97

[答案] 25.查看解析

[解析] 25.(Ⅰ)求导数,得

.



,解得

.



时,

,所以



上是减函数;



时,

,所以



上是增函数.





处取得最小值

. (6 分)

(Ⅱ)函数



上不存在保值区间, 证明如下:

假设函数

存在保值区间

,



得:



时,

,所以

为增函数,所以

即方程

有两个大于 的相异实根 ,(9 分)

98









,所以



上单增,

所以

在区间

上至多有一个零点,

这与方程

有两个大于 的相异实根矛盾

所以假设不成立,即函数 [答案] 26.查看解析



上不存在保值区间. (13 分)

[解析] 26.(Ⅰ)

的定义域为

.

其导数



①当

时,

, 函数在

上是增函数,

②当

时, 在区间

上,

; 在区间(0, +∞) 上,



所以



是增函数, 在(0, +∞) 是减函数. (4 分)

(Ⅱ)当

时, 取



99



, 不合题意.



时,令

, 则

,(6 分)

问题化为求

恒成立时 的取值范围.

由于



在区间

上,

; 在区间

上,

.

的最小值为

, 所以只需



,

,

,(9 分)

(Ⅲ) 由于当

时函数在

上是增函数, 不满足题意, 所以



构造函数:

(

)





100

所以函数

在区间

上为减函数.

, 则

,

于是 减函数可知 . 即

, 又 .

, (14 分)

, 由



上为

[答案] 27.查看解析

[解析] 27.

(Ⅰ)当

时,

,所以



所以

,又



所以所求的切线方程为

,即

. (5 分)

(Ⅱ)由



①当 无极大值.

时,



,所以

,所以



上是增函数,

②当

时,设方程

的根为 ,则

,即



所以



上为增函数,

上为减函数,(9 分)

所以

的极大值为

,即



因为

,所以



101



,则

,令

,则



所以



上为减函数,在

上为增函数,

所以

的最小值为

,即

的最小值为

,此时

.

(13 分)

[答案] 28.查看解析

[解析] 28.

(Ⅰ)因为

,所以





,得 ,

,所以 单调递减.

时,



单调递增;

时,

所以

的极小值为

,即函数

的最小值. (5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,即





,所以

,(8 分)

依次取

,得一系列不等式,相加可得

. (12 分) [答案] 29.查看解析

[解析] 29.(Ⅰ)

.

①当

时,



恒成立,即



为单调递增函数;

102



,即



恒成立.

②当

时,令

,得

.



时,



单调递减;



时,



单调递增.



对任意

恒成立,则只需: ,

又 单调递减;又注意到 的 不存在.

, 。故 在区间

,即 上恒成立. 即

在区间 时, 满足



综上:

. (5 分)

(Ⅱ)当

时,



,易得





对任意

恒成立.



,有

,即

.

相加即得:

. (10 分)



.

103









时,恒有

. (12 分)

[答案] 30.查看解析

[解析] 30.(Ⅰ)

,设





时, 上恒有

,即 ,即

上单调递减又



恒成立 . (5 分)

(Ⅱ)令



,则有





. (9 分)

(Ⅲ)

上单调递增,

,(12 分)

104



上单调递减,

. [答案] 31.查看解析

(14 分)

[解析] 31.(Ⅰ)

.



时,



单调递增;



时,



单调递减.

所以

的最大值为

.

(4 分)

(Ⅱ)



.



,则

.



时,



单调递减;



时,



单调递增;



时,



单调递减. (7 分)

105









所以



有一零点 .



时,



单调递增;



时,



单调递减.

由(Ⅰ)知,当

时,

;当

时,

.

因此

有最大值

,且

.

(12 分)

[答案] 32.查看解析

[解析] 32.解:(Ⅰ)因为

(

), 则

(

) ,



时,

;当

时,

;当



.

所以函数



上单调递增;在

上单调递减;

所以函数



处取得极大值.

因为函数在区间

(其中

)上存在极值,

所以

,解得

.

(6 分)

(Ⅱ)证明:当

时,不等式



106





所以





,则







,所以



上单调递增,所以

从而







上是单调递增,所以



因为当



,所以



又因为当





所以当



,即



所以当

时,不等式

恒成立. (12 分)

[答案] 33.查看解析

[解析] 33.解:(Ⅰ) 当

时,







107

所以函数





上单调递增,在

上单调递减,且





所以函数



处取得极小值

,在

处取得极大值 0. (6 分)

(Ⅱ) 由题意,



①当

时,函数



上单调递增,在

上单调递减,

此时不存在实数

使得当

时,函数

的最大值为

. (8 分)

②当

时,令





.



,函数



上单调递减,显然符合题意.



, 即

, 函数





上单调递增, 在

上单调递减,此时只需

,解得

,又



所以

.

(11 分)



,即

,函数

在 ,使得

和 时,函数

上单调递增,在 的最大值为 ,



单调递减,要存在实数

108



,代入化简的

( )





因为

恒成立,

故恒有

,所以当

时,( )式恒成立,

综上所述,实数 的取值范围是 [答案] 34.查看解析

.

(14 分)

[解析] 34.(Ⅰ) 由





时,则



函数

在区间

单调递增;



时,

,



函数

的单调增区间为

,单调减区间为



综合①②的当

时,函数

的单调增区间为





时,函数

的单调增区间为

,单调减区间为

. (5 分)

(Ⅱ) 函数

定义域为







109







,(7 分)



故函数



上单调递减, 在

上单调递增,

,(8 分)

有由(1)知当

时,对

,有









且 趋向 0 时,

趋向



随着 而 数

的增长,

的增长速度越来越快, 会超过并远远大于 且 趋向 时, 趋向

的增长速度, ,得到函

的增长速度则会越来越慢。故当 的草图如图所示,

故①当

时,函数

有两个不同的零点;

110

②当

时,函数

有且仅有一个零点;

③当

时,函数

无零点;(10 分)

(3)由(2)知当

时,

,故对



先分析法证明:

要证

只需证

即证

构造函数

故函数



单调递增,





成立. (12 分)

①当

时,由(1)知,函数



单调递增,则



上恒成立.

②当

时,由(1)知,函数



单调递增,在

单调递减,

故当

时,

,所以

,则不满足题意.

111

综合①②得,满足题意的实数 的取值范围 [答案] 35.查看解析

. (14 分)

[解析] 35.解:(Ⅰ) 因为





所以



.

因为曲线



在它们的交点

处有相同切线,

所以

, 且

.



, 且

,

解得



. (3 分)

(Ⅱ) 当

时,



所以

.



,解得



.

当 变化时,



的变化情况如下表:

0 ↗ 极大值 ↘

0 极小值 ↗

112

所以函数

的单调递增区间为



,单调递减区间为

. (5 分)



在区间

内单调递增,在区间

内单调递减.

从而函数

在区间

内恰有两个零点,当且仅当





,解得

.

所以实数 的取值范围是

. (8 分)

(Ⅲ) 当



时,

.

所以函数

的单调递增区间为



,单调递减区间为

.

由于



,所以

. (9 分)

①当

,即

时,

.

②当

时,

.

③当

时,

在区间

上单调递增,

.

113

综上可知,函数

在区间

上的最小值为

(14 分) [答案] 36.查看解析

[解析] 36.(Ⅰ)





处取得极值,∴

解得

(4 分)

(Ⅱ)





①当

时,在区间



的单调增区间为

②当

时,





(10 分)

(Ⅲ)当

时,由(Ⅱ)①知,



时,由(Ⅱ)②知,



处取得最小值

114

综上可知,若

得最小值为 1,则 的取值范围是

(14 分)

[答案] 37.查看解析

[解析] 37.(Ⅰ)当

时,

,则





,则

,显然



上单调递减.

又因为

,故

时,总有



所以



上单调递减,(3 分)

又因为



所以当

时,

,从而

,这时

单调递增,



时,

,从而

,这时

单调递减,

当 变化时,



的变化情况如下表:

1 + 0 极大 -

所以



上的极大值是

. (5 分)

115

(Ⅱ)由题可知

,则

.

根据题意方程

有两个不等实数根



,且



所以

,即

,且

. 因为

,所有

.



,其中



可得

又因为



,将其代入上式得:



整理得

. (8 分)

即不等式

对任意

恒成立

①当

时,不等式

恒成立,即



②当

时,

恒成立,即



,显然



上的减函数,

所以当

时,

,所以



③当

时,

恒成立,即

116

由②可知,当

时,

,所以



综上所述, [答案] 38.查看解析

. (12 分)

[解析] 38.:(1)由 g(x) =, 对 g(x) 求导知 g’(x) =



>f(x) 可知:

>0 在(0, +?)上恒成立. (4 分)

从而 g(x) = 在(0, +?) 上是单调增函数.

(2)由(1)知 g(x) = 在(0, +?) 上是单调增函数, 当 x1>0, x2>0 时,> ,> , 于是 f(x1) <f(x1+x2), f(x2) <f(x1+x2), 两式相加得到:f(x1) +f(x2) <f(x1+x2) g(x) = 在(0, +?) 上是单调增函数, f(x1+x2) > f(x1) +f(x2) (x1> 0, x2> 0) 恒成立 易证:当 xi>0(i=1,2, 3, ?, n) 时, 有 f(x1) +f(x2) +f(x3) +? +f(xn) <f(x1+x2+x3+?+xn) (n≥2) 恒成立.

构造 f(x) =xlnx,知

-f(x) =x(lnx+1) -xlnx=x> 0 符合条件,

则当 xi>0(i=1,2, 3, ?, n) 时 有 x1lnx1+x2lnx2+?+xnlnxn<(x1+x2+?+xn) ln(x1+x2+?+xn) (n≥2)(*)恒成立. 令 xn=, 记 Sn=x1+x2+?+xn=++?+, 则 Sn<++?+=(1-) +(-) +?+(-) =1-,

117

Sn>+?+=(-) +(-) +?+(-) =- (x1+x2+?+xn) ln(x1+x2+?+xn) < (x1+x2+?+xn) ln(1-) < -( x1+x2+?+xn) (∵ln(1+x) <x) <-(-) =- (**)

由(**)及(*)可知: ln+ln+?+ln< -. 于是 ln2 +ln3 +ln4 +?+ln(n+1) >. [答案] 39.查看解析
2 2 2 2

(12 分)

[解析] 39.(Ⅰ)

,由







.

(6 分)

(2)由



要使



恒成立,

只需





, 得



118

所以实数 m 的取值范围是 [答案] 40.查看解析 [解析] 40.

.

(13 分)

119

[答案] 41.查看解析

[解析] 41.

(2)

根据(1)的结论,当

时,

,即





,则有



?????????7 分

.即 (本问也可用数学归纳法证明.)

.?8 分

③当 时, ,设 的 两根分别为 与 ,





,不妨设





时,

,当

时,



120

所以函数



上递增,在

上递减,



所以

时,

,且

因此函数



有一个零点,而在

上无零点;

此时函数

只有一个零点;

综上,函数

只有一个零点时,实数 a 的取值范围为 R.?????????14 分

[答案] 42.查看解析 [解析] 42.

121

122

[答案] 43.查看解析

[解析] 43. (Ⅰ)

,则

时,



时,



所以函数



上是减函数,在

上是增函数函数,



时,函数



上是增函数,此时





时,函数



上是减函数,在

上是增函数,

123

此时

.

(5 分)

(Ⅱ) 证明:考察函数





所以



内是增函数,在

是减函数,(结论 1),

考察函数

,即

于是





时,

,从而

,又

,所以



所以



是增函数,又



所以

时,有

,即

,(结论 2).



,由结论 1 及

,得



矛盾;



,由结论 1 及

,得



矛盾;



,不妨设



,由结论 2 可知,

,所以得



因为

,所以

,由结论 1 可知函数

在区间

内是增函数,

所以

,即

.

(12 分)

[答案] 44.查看解析

124

[解析] 44.

(1) 当

时,

??????2 分

曲线

在点

处的切线方程为:



??????3 分

[答案] 45.查看解析

[解析] 45.解:(I)函数

的定义域为

125

. ????????????1 分



上恒成立,即



上恒成立,??2 分

. 分





,∴ 的取值范围为

???????????????4

(Ⅱ)由(I)当



时,

,又





(当

时,等号成立),即

?????????5 分

又当

时,设









上递减,



,即



恒成立,



时,

?①恒成立,(当且仅当

时,等号成立),??7 分

用 代替



?②恒成立(当且仅当

时,等号成立),

∴当

时,

,由①得

,即





时,



,由②得

.

∴当

时,

,即

. ??????10 分

126









.

∴ [答案] 46.查看解析

. ???????????????????????12 分

[解析] 46.解:(I) 分

的定义域为(

)时,????????????????1



时,

???????????2 分











,或

,由



,???3 分



的单调递增区间为



;单调递减区间为

????5 分



极大值为

;极小值为

?????????7 分

(II)由题意知



????????9 分

此时 分

,即

,∴

,切点为

,??????????11

127

∴此时的切线 方程为: [答案] 47.查看解析 [解析] 47.

. ???????????????13 分

128

[答案] 48.查看解析

[解析] 48.【解析】(1)定义域为







;令







的单调增区间是

,单调减区间是

极小值



无极大值

(2)证明:不妨设



129

两边同除以

得,



,则

,即证:











上单调递减,所以



,即

恒成立





上是减函数,所以

130



得证

所以 [答案] 49.查看解析

成立

[解析] 49.(Ⅰ) 若 t=0,f (x) =e 若 t>0,只需 f(x)
x-1

>0,不合题意;

min

≤0.
x-1

求导数,得 f ′(x) =e

-t.

令 f ′(x) =0,解得 x=lnt+1. 当 x<lnt+1 时,f ′(x) <0,∴f(x) 在(-∞,lnt+1) 上是减函数; 当 x>lnt+1 时,f ′(x) >0,∴f(x) 在(lnt+1,+∞) 上是增函数. 故 f(x) 在 x=lnt+1 处取得最小值 f(lnt+1) =t-t(lnt+1) =-tlnt. ∴-tlnt≤0,由 t>0,得 lnt≥0,∴t≥1. 综上可知,实数 t 的取值范围为(-∞,0) ∪[1,+∞) .??????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ),知 f(x) ≥f(lnt+1) ,即 e 取 t=1,e
x-1 x-1

-tx≥-tlnt.

-x≥0,即 x≤e

x-1



当 x>0 时,lnx≤x-1,当且仅当 x=1 时,等号成立, 故当 x>0 且 x≠1 时,有 lnx<x-1.

131

[答案] 50.查看解析

[解析] 50.

(Ⅰ)

, ①

即 由①②联立解得: .



????????????????????????2 分

132

是二次函数, 且

, 可设

,



, 解得

.

. ?????????????????????? ??4 分

(Ⅱ) 设

,

,

依题意知: 当

时,

, 在

上单调递减,

?????????????????????? ??6 分



上单调递增,

解得:

实数 的取值范围为

. ???????????9 分

(Ⅲ) 设

, 由(Ⅱ) 知,

的图象如图所示:

133



, 则



, 即

时,

,

有两个解,

有 个解;



, 即

时,



,

有 个

解; ????????????????????????????????????? ????11 分



, 即

时,

,

有 个解;

当 综上所述:

, 即

时,

,

有 个解. ??13 分



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个解;



时, 方程有 个

解. ?????????????????????????14 分 [答案] 51.查看解析

134

[解析] 51.解:(Ⅰ)由题意,

≥0 在

上恒成立,即



∵θ ∈(0,π ),∴

.故



上恒成立,

只须

,即

,只有

.结合

,得

.(4 分)

(Ⅱ)由(1),得 ∵ ∴ 在其定义域内为单调函数, 或者





在[1,+∞)恒成立.

等价于

,即





,(

)max=1,∴



等价于

,即



恒成立,



∈(0,1],



综上, 的取值范围是



(9 分)

(III)构造





当 成立.

时,





, 所以在[1, e]上不存在一个 使得

当 因为

时, ,所以 ,

. ,所以 在 恒成立.





上单调递增,

,只要



135

解得

故 的取值范围是 [答案] 52.查看解析



(14 分)

[解析] 52. 当 时,

(Ⅰ) ,函数 在 上单调递增, , (4 分)



所以函数

的单调递增区间为



时,由

,得

;由

,得

所以函数的单调增区间为

,单调减区间为



(6 分)

(Ⅱ) 因为

是函数

的两个零点,有





两式相减得



所以



又因为

,当

时,

;当

时,

故只要证

即可,即证明

,

(10 分)

即证明



136

即证明





. 令



则 所以 在

,因为 是增函数;又因为

,所以

,当且仅当 时,

时, 总成立.

,所以当

所以原题得证. [答案] 53.查看解析

(13 分)

[解析] 53.

解析 (Ⅰ)当

时,

.



,解得

,所以 f(x) 的单调减区间为

. (4 分)

(Ⅱ)

,由题意知

消去 ,



有唯一解.



,则



所以

在区间



上是增函数,在

上是减函数,







故实数 的取值范围是 (Ⅲ)设

. (10 分) ,

,则点 处切线方程为

与曲线 :

联立方程组,得

,即



137

所以 点的横坐标

. (12 分)

由题意知,





若存在常数 ,使得

,则



即存在常数 ,使得



所以

解得



.



时,存在常数

,使



时,不存在常数 ,使

. (16 分)

[答案] 54.查看解析

[解析] 54. 由 当 所以 当 当 所以 得 时,在

(Ⅰ) , 或 和 时 ,在 ,单调减区间是 时 ;

,

,

的单调增区间是 时,在 时,在 时 或

,所以 时 和

的单调增区间是 ,在 时 . .



的单调增区间是

,单调减区间是 在区间

(7 分)

(Ⅱ)由 (Ⅰ)可知 所以 在区间

上只可能有极小值点,

上的最大值在区间的端点处取到,

即有



,

解得

.

(12 分)

138

[答案] 55.查看解析

[解析] 55.

(Ⅰ)

,

,即

.

(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,







,有

,由

,则







,则



.

(9 分)

所以



取得极大值



时,

取得极小值

.

(13 分)

[答案] 56.查看解析

[解析] 56.

解析

(Ⅰ)函数

的定义域是

因为

所以有

所以





①当 ②当

时, 时,

恒成立,所以函数



上单调递减;

(3 分)

若函数

在其定义域内 单调递增,则有

恒成立即



因为

所以





不恒为 0.

139

若函数 因为

在其定义域内单调递减,则有 所以

恒成立即



综上,函数

在定义域内单调时 的取值范围是



(5 分)

(Ⅱ)因为函数

的图像在

处的切线斜率为 0,所以



所以

,所以









所以 当 是偶数时,因为 所以



(7 分) ,

所以



所以

即函数



单调递减,

所以

,即



当 是奇数时,令





所以函数



单调递减,所以



又因为



, 所以



所以

即函数



单调递减 ,

140

所以

,即

, 时,有 . (12 分)

综上,对任意的正整数 n, 当 [答案] 57.查看解析

[解析] 57.

解析

(Ⅰ)



根据题意,得



解得



所以



(4 分)

(Ⅱ) 令

,即

.得



1 + 增 因为 , , 极大值 减 极小值 + 增

2

2

所以当

时,





( 6 分)

则对于区间

上任意两个自变量的值

,都有

,所以 所以 的最小值为 4.



(Ⅲ)因为点

不在曲线

上,所以可设切点为







因为

,所以切线的斜率为



( 9 分)

141



=







因为过点

可作曲线

的三条切线,

所以方程

有三个不同的实数解.

所以函数

有三个不同的零点.



.令

,则





0 + 增 极大值 减

2 + 极小值 增



,即

,解得



(13 分)

[答案] 58.查看解析 [解析] 58. 解析 (Ⅰ)注意到函数 的定义域为 ,

所以

恒成立

恒成立,

设 当 时, 对 , 所以 ,

, 则 恒成立, 所以 时, ; 若 是

, 上的增函数,

注意到 当 所以

不合题意. , .

时, 若 是

上的减函数, 是

上的增函数,

故只需

.

(4 分)

142



,

, 当 所以 故 所以当且仅当 时, 是 ; 当 时, . 上的减函数.

上的增函数, 是 当且仅当 时, 或

时等号成立. 成立, 即 时, 为所求. , 即 , 有 仅有唯一解 , (6 分) , 不合题意;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 当 所以 时, 是

上的增函数, 对

没有大于 的根, 不合题意.



时, 由

解得

, 若存在

,



, 即

,



,

,



, 当

时, 总有

,

所以 故 所以

是 ,

上的增函数, 即 在 , 即 上是增函数, 在 无解.

,

综上可知, 不存在满足条件的实数 . [答案] 59.查看解析

(12 分)

[解析] 59.(Ⅰ) 因为

143



因为



的极值点, 所以由

, 解得



检验, 当

时,

, 当

时,

, 当

时,

.

所以



的极值点, 故

. (4 分)

(Ⅱ) 当

时, 不等式

,

整理得 (6 分)

, 即







,

,

,



时,

;当

时,

,

所以



单调递减, 在

单调递增, 所以

, 即

,

所以

在 上单调递增, 而







,

所以原不等式的解集为

;(8 分)

(Ⅲ) 当

时,

因为

, 所以

, 所以



上是增函数.

144



时,

,

时,

是增函数,

.

①若

, 则

,







②若

, 则

,





.

③若

,

, 不合题意, 舍去.

综上可得, 实数 的取值范围是 [答案] 60.查看解析

. (亦可用参变分离求解). (12 分)

[解析] 60. .

解析

(Ⅰ) (4 分)





(Ⅱ)由

恒成立等价于

恒成立,

令 ①若 ,则

, 恒成立.

, 函数 , 在 符合条件. 上是增函数,



恒成立,又

②若

,由

可得

,解得



(舍去),



时,

;当

时,





,这与

恒成立矛盾.

145

综上所述,

, 的最小值为 1.

(9 分)

(Ⅲ)















,易知其定义域内为单调减函数,

欲证

,即证明

,即证明



变形可得

,令





则 构造函数

等价于 ,

, ,



,令





时, , 在



在 上恒成立,

上为单调增函数,



成立, [答案] 61.查看解析

.

(14 分)

[解析] 61.

(Ⅰ)

, ∵ 由 ,由 得 得 ,∴ ,∴ 在 在 上是增函数.

上是减函数.

146



的单调递减区间为

,单调递增区间为

.

(4 分)

(Ⅱ)由





恒成立,



恒成立.

∵当

时,

取得最大值 ,∴

, 的最小值为 .

(8 分)

(Ⅲ)若 点,即 .

的图像与 有四个不同的根,亦即

的图像恰有四个不同交 有四个不同的根. 令

则(x) = 当 变化时 、 的变化情况如下表: (-?,-1) (-1,0) 的符号 的单调性 由上表知: ↗ , + ↘

.

(0,1) + ↗ ,

(1,+?) ↘

画出草图和验证



可知,当

时,



恰有四个不同交点.

∴当 个不同交点.

时,

的图像与

的图像恰有四

[答案] 62.查看解析

[解析] 62. 令 ,则

(Ⅰ)① ,又 的定义域是 ,



),

147

∴函数

的单调递增区间为(0,2),递减区间为(- ∞,0)和(2,+∞)(4 分)

(Ⅱ)设切点为 (Ⅲ) 令 ,则

则 , ,

解得 ,

,(7 分)

①当

时,



单调增加

(9 分)

②当

时,



单调减少,在

单调增加;



时,





时,



(11 分)

③当

时,



上单调递减,



综上所述,

时,



时, [答案] 63.查看解析

.

(14 分)

[解析] 63.

解析 (Ⅰ)因为





148

所以



.

因为曲线



在它们的交点

处有相同切线,

所以

, 且





, 且

,

解得

.

(3 分)

(Ⅱ)当

时,



所以

.



,解得

.

当 变化时,

的变化情况如下表:

0 ↗ 所以函数 极大值 ↘

0 极小值 ↗ .

的单调递增区间为

,单调递减区间为



在区间

内单调递增,在区间

内单调递减.

从而函数

在区 间

内恰有两个零点,当且仅当

149



解得

.

所以实数 的取值范围是

.

(8 分)

(Ⅲ)当



时,

.

所以函数

的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

由于 ①当

, ,即

,所以 时,

.

. ②当 时,

.

(12 分)

③当

时,

在区间

上单调递增,

.

综上可知,函数

在区间

上的最小值为

(14 分) [答案] 64.查看解析

[解析] 64.

解析

(Ⅰ)依题意得

,则



150

由函数 ∴

的图象在点 .

处的切线平行于 轴得: (3 分)

.

(Ⅱ )由(Ⅰ)得 ∵函数 的定义域为

∴当 由 即函数

时, 得 ,由 得 , 单调递减;

在(0,1) 上单调递增,在



时,令









,即

时,由





,由





即函数





上单调递增,在

单调递减;



,即

时,由





,由





即函数





上单调递增,在

单 调递减;

若 即函数

,即 在

时,在

上恒有



上单调递增, 时,函数 在(0,1) 上单调递增,在 单调递减;

综上所述:当



时,函数



单调递增,在

单调递减;在

上单调递增;



时,函数



上单调递增,



时,函数



上单调递增,在

单调递减;在

上单调递增.

151

(8 分)

(Ⅲ)依题意得





,即证



,即证





),即证





令 ∴



)则

在(1,+ )上单调递增,

∴ 令

=0,即 ,



).



∵ ∴ ∴

,又∵ ②

,∴



单调递减,

综①②得 [答案] 65.查看解析



),即



(12 分)

[解析] 65.(1)当

时,



时,







上是减函数;

152



时,



,令

得,





上单减,在

上单增

综上得,

的单减区间是

,单增区间是

. (4 分)

(2)当

时,

即 当 时,

,设 ,不合题意;

,



时,



得,



时,





上恒成立,



上单增,

,故

符合题意;

②当

时,

,对









不合题意.综上, 的最小值为 .

(8 分)

(3)由(2)得,



153

证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立.

当 n≥2 时,令①式中







, 所以当 n≥2 时不等式成立. 命题得证. [答案] 66.查看解析 (13 分)

[解析] 66.解:(Ⅰ)

,令



解得: 列表:



(舍去),

0

(0, ) 0 ↘

( ,1)

1



可知 f(x)的单调减区间是(0, ),增区间是( ,1);(5 分)

因为



154

所以当

]时,

的值域为[ ,ln2].

(7 分)

(Ⅱ) 因为 所以 , ,

, , (9 分) ,

为[0,1]上的减函数,

所以



因为当

]时,f(x)的值域为[ ,ln2]

由题意知:



所以



,得

.

(14 分)

155


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