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【数学】2008学年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试


知识改变命运,学习成就未来 秘密★启用前

2008 学年度上学期广州市 高中二年级学生学业水平测试





本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指 定的位置上. 2.选择题每小题

选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4.本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 A ? ?1, 2 ? 的子集的个数为 A.1 2. s in 1 2 0 的值为
3 2
?

B.2

C.3

D.4

A.

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

3.一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人,若采用分层抽样的方法在全体运动 员中抽出 28 人进行体质测试,则抽到进行体质测试的男运动员的人数为 A.12 B.14 C.16 D. 20

4.函数 f ( x ) ? sin x ? c o s x ? x ? R ? 的最大值为 A.2 B. 2 C. ? 2 D. ? 2

5.如图所示是一个半径为 1 的圆及其内接等腰直角三角形.若随机向圆内丢一粒 豆子,则豆子落入三角形(图中阴影部分)内的概率为 A.
1

?

B.

1 2?

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C.
1 4?

D.

1 8?

6.函数 f ? x ? ? 2 x ? x 的零点所在的区间为 A. ? ? 2 , ? 1 ? B. ? ? 1, 0 ? C. ? 0 ,1 ? D. ? 1, 2 ?

7.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边 长为 1 的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何 体的体积为 .. A.
?
4

B.

?
2 3 2

正视图

侧视图

C. ?

D. ?

俯视图

8.已知实数 a ? lo g 3 4 , b ? ? A. b ? c ? a

?1? ? , c ? lo g 2 0 .8 ,则 a , b , c 的大小关系为 ?5?

0

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

2 2 9.若直线 x ? y ? a ? 0 被圆 x ? y ? 4 截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为

A. 2 7 或 ? 2 7

B.2 或 ? 2

C.2

D. ? 2

2 10 . 关 于 x 的 方 程 x ? ( a ? 1 ) x ? a ? b ? 1 ? 0 ? a ? 0 , a、 b ? R ? 的 两 实 根 为 x 1 , x 2 , 若

0 ? x 1 ? 1 ? x 2 ,则

b a

的取值范围为
? ? 1 ? ? 2 ? ? ? 1? ? 2? ? ? 1 ? ? 2 ?

A. ? ? 1, ?
?

?

1? ? 2?

B. ? ? 1, ?

C. ? ? 2 , ?

D. ? ? 2 , ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.在等差数列 ? a n ? 中,已知 a 2 ? 2 , a 4 ? 8 ,则公差 d 的值为 12.过点(1,2)且与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程为 13.设向量 a ? ( x , ? 3 ), b ? ( ? 1,1) ,若 a - b ? 5 ,则实数 x 的值为 14.下图所示的算法流程图中, 否 开始
T ?T ?n

. . .

T ? 1, n ? 1

n ? n ?1

n ? a?



输出 T

结束

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若a ? 3, 则输出的 T 值为 ; 若输出的 T ? 1 2 0 , a 的值为 则 (a ? N ) .
*

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知点 M ? x , y ? 的横坐标 x ? ? ? 2 , ? 1, 2 ? ,纵坐标 y ? ? ? 2 , 2 ? . (1)列出所有符合条件的点 M 的坐标; (2)求点 M 落在第二象限内的概率.

16. (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 是 ? A B C 三内角 A , B , C 的对边,且 b ? 6 , c ? 4 , A ? (1)求 a 的值; (2)求 sin C 的值.
?
3



17. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E 、 F 分别 为 棱 A D 、 A B 的中点. (1)求证: E F ? 平面 C B 1 D 1 ; E (2)求证:平面 C A A1 C 1 ⊥平面 C B 1 D 1 . A A1

D1 B1

C1

D F B

C

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18. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 经过 A ? 3, 2 ? 、 B ? 1, 6 ? 两点,且圆心在直线 y ? 2 x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 经过点 P ? ? 1, 3 ? 且与圆 C 相切,求直线 l 的方程.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?
x ?1? a a ? x

?a ? R ? .

(1)若 f ? 1 ? ? 1 ,求实数 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? a ? 1, a ? 2 ? 上的最小值.

20. (本小题满分 14 分)
n * 设数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? ? a n ? 2 , n ? N , ? 为常数.

(1)若 a 2 ? 0 ,求 a 3 的值; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 ?a n ? 为等差数列,若存在,求数列 ?a n ? 的通项公式, 若不存在,请说明理由; (3)设 ? ? 1 , b n ? 数 n 的值.
4n ? 7 an

,数列 ?b n ? 的前 n 项和为 S n ,求满足 S n ? 0 的最小自然

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2008 学年度上学期广州市 高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 A 6 B 7 A 8 D 9 B 10 D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其 中第 13 题写对一个给 3 分,第 14 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 11.2 三、解答题 15.本小题主要考查古典概型等基础知识.满分 12 分. 解: 符合条件的点 M 的坐标有 ? ? 2 , ? 2 ? , ? 2 , 2 ? ,? ? 1, ? 2 ? , ? 1, 2 ? , 2 , ? 2 ? ,? 2 , 2 ? . (1) ? ? ? (2)落在第二象限内点 M 的坐标有 ? ? 2 , 2 ? , ? ? 1, 2 ? . 所以点 M 落在第二象限内的概率为 P ? 答:点 M 落在第二象限内的概率为
1 3 2 6 ? 1 3

12. 2 x ? y ? 0

13.2 或 ? 4

14.2;6





16.本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.满分 12 分. 解: (1)根据余弦定理: a ? b ? c ? 2 b c c o s A ,
2 2 2

将b ? 6, c ? 4, A ? 所以 a ? 2 7 .

?
3

代入可得: a ? 6 ? 4 ? 2 ? 6 ? 4 ? c o s
2 2 2

?
3

? 28 .

(2) 根据正弦定理:

a s in A

?

c s in C



由(1)知 a ? 2 7 ,代入上式,得
3 s in C ? c ? s in A a ? 4? 2 2 7 ? 21 7



17.本小题主要考查空间线面位置关系,考查空间想像能力和推理论证能力.满分 14 分. 证明: (1)连结 BD.在长方体 A C 1 中,对角线 B D
// B 1 D 1 .

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知识改变命运,学习成就未来
又 E、F 为棱 AD、AB 的中点, 则 E F / / B D . 所以 E F 又 B1D1 ? 平面 C B 1 D 1 , E F ? 平面 C B 1 D 1 , 所以 EF∥平面 CB1D1. (2)在长方体 A C 1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1 ? 平面 A1B1C1D1, 所以 AA1⊥B1D1. 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1,且 A A1 ? A1C 1 ? A1 , 所以 B1D1⊥平面 CAA1C1. 又 B1D1 ? 平面 CB1D1, 所以平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. 18.本小题主要考查直线与圆等基本知识,考查运算求解能力.满分 14 分. 解(1)方法 1:设圆 C 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? ,
2 2 2

/ / B1 D 1 .

? (3 ? a ) ? ( 2 ? b ) ? r , ? 2 2 2 依题意得: ? (1 ? a ) ? ( 6 ? b ) ? r , ?b ? 2 a. ?
2 2 2

解得 a ? 2 , b ? 4 , r ? 5 .
2

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 .
2 2

方法 2:因为 A ? 3, 2 ? 、 B ? 1, 6 ? ,所以线段 A B 中点 D 的坐标为 ? 2 , 4 ? , 直线 A B 的斜率 k A B ?
6? 2 1? 3 ? ?2 , 1 2

因此直线 A B 的垂直平分线 l ? 的方程是 y ? 4 ?
? x ? 2 y ? 6 ? 0, ? y ? 2x

? x ? 2 ? ,即 x ? 2 y ? 6

? 0.

圆心 C 的坐标是方程组 ?
? x ? 2, ? y ? 4.

的解.

解此方程组,得 ?

即圆心 C 的坐标为 ? 2 , 4 ? .

圆心为 C 的圆的半径长 r ? A C ?
2

?3 ? 2 ?
2

2

? ?2 ? 4?

2

?

5 .

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 . (2)由于直线 l 经过点 P ? ? 1, 3 ? , 当直线 l 的斜率不存在时, x ? ? 1 与圆 C ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 相离.
2 2

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知识改变命运,学习成就未来
当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 1 ? , 即: k x ? y ? k ? 3 ? 0 . 因为直线 l 与圆 C 相切,且圆 C 的圆心为 ? 2 , 4 ? ,半径为 5 ,所以有
2k ? 4 ? k ? 3 k
2

?

5 .

?1
1 2

解得 k ? 2 或 k ? ?


1 2

所以直线 l 的方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1 ? 或 y ? 3 ? ? 即: 2 x ? y ? 5 ? 0 或 x ? 2 y ? 5 ? 0 .

? x ? 1? ,

19.本小题主要考查函数的性质等基础知识,考查推理论证能力和运算求解能力.满分 14 分. 解: (1)因为 f ? x ? ? 解得 a ?
3 2 x ?1? a a ? x

,所以由 f ? 1 ? ? 1 ,得

2?a a ?1

? 1,



(2)设 x 1 , x 2 是区间 ? a ? 1, a ? 2 ? 上的任意两个实数,且 x 1 ? x 2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ?
x1 ? 1 ? a a ? x1 ? x2 ? 1 ? a a ? x2

?

?a

? x2

? ? x1 ? 1 ? a ? ? ? a ?a

? x1 ? ? x 2 ? 1 ? a ?

? x1 ? ? a ? x 2

?

?

x1 ? x 2

?a

? x1 ? ? a ? x 2

?



由 a ? 1 ? x 1 ? x 2 ? a ? 2 ,得 x 1 ? x 2 ? 0 , ? 2 ? a ? x 1 ? ? 1 , ? 2 ? a ? x 2 ? ? 1 , 于是 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? . 所以,函数 f ? x ? ? 因此,函数 f ? x ? ?
x ?1? a a ? x x ?1? a a ? x

在区间 ? a ? 1, a ? 2 ? 上是增函数. 在区间 ? a ? 1, a ? 2 ? 上的最小值为 f ? a ? 1 ? ? ? 2 .

20.本小题主要考查数列等基本知识,考查推理论证能力.满分 14 分. 解: (1)由 a 2 ? 0 得: ? a 1 ? 2 ? 0 ,而 a 1 ? 2 ,则 ? ? ? 1 .
n 于是 a n ? 1 ? ? a n ? 2 .

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2 所以 a 3 ? ? a 2 ? 2 ? 4 .

(2)不存在实数 ? ,使得数列 ?a n ? 为等差数列. 事实上,假设存在实数 ? ,使得数列 ?a n ? 为等差数列,
2 由于 a 2 ? ? a 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 , a 3 ? ? a 2 ? 4 ? ? ( 2 ? ? 2 ) ? 4 ? 2 ? ? 2 ? ? 4 ,

若数列 ?a n ? 为等差数列,则 2 a 2 ? a 1 ? a 3 . 即 2 ( 2 ? ? 2 ) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 4 ? ,即 ? ? ? ? 1 ? 0 ,
2

由于 ? ? 1 ? 4 ? 0 ,方程无实数根, 因此,不存在实数 ? ,使得数列 ?a n ? 为等差数列.
n (3)由于 ? ? 1 ,即 a n ? 1 ? a n ? 2 ,

则 n ? 2 时, a n ? a 1 ? ( a 2 ? a 1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ? ? ( a n ? a n ? 1 ) ,
2 ?1 ? 2
n ?1

? 2 ? 2 ? 2 ?? ? 2
2

n ?1

? 2?

?

1? 2
4n ? 7 2
n

? 2 ,
n

n * 而 a 1 ? 2 ,因此, n ? N 时, a n ? 2 ,∴ b n ?



则Sn ?
1 2

?3 2

?

1 2
2

?

5 2
3

?? ?

4n ? 7 2
n


4n ? 7 2
n ?1

Sn ?

?3 2
2

?

1 2
3

?

5 2
4

?? ?

4n ? 11 2
n

?



以上两式相减得:

1 2

Sn ?

?3

1 1 ? 4n ? 7 ? 1 ? 4? 2 ? 3 ?? ? n ?? , n ?1 2 2 2 ? 2 ? 2

即Sn ?

2

n

? 4n ? 1 2
n



当 n ? 1, 2 , 3 , 4 时, S n ? 0 ,当 n ? 5 时, S n ? 0 , 故满足 S n ? 0 的最小自然数 n 的值为 5.

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19.方法 2:因为 f ? x ? ?
f ?? x? ?

x ?1? a a ? x
?

,所以
1

?a

? x? ? ?x ?1? a?

?a

? x?

2

?a

? x?

2



当 x ? ? a ? 1, a ? 2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以函数 f ? x ? ?
x ?1? a a ? x a ? x

在区间 ? a ? 1, a ? 2 ? 上是增函数. 在区间 ? a ? 1, a ? 2 ? 上的最小值为 f ? a ? 1 ? ? ? 2 .

因此,函数 f ? x ? ?

x ?1? a

18. (1)方法 3:因为圆心在直线 y ? 2 x 上,所以可设圆心 C 的坐标为 ? t , 2 t ? . 因为 A C ? B C , 所以 ? 3 ? t ? ? ? 2 ? 2 t ? ?
2 2

?1 ? t ?

2

? ? 6 ? 2t ?

2



解得 t ? 2 , 即圆心 C 的坐标为 ? 2 , 4 ? . 圆心为 C 的圆的半径长 r ? A C ?
2

?3 ? 2 ?
2

2

? ?2 ? 4?

2

?

5 .

所以圆 C 的方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 5 .

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