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北京市西城区2014届高三下学期查漏补缺数学(文理)试题 Word版含答案

时间:2014-05-22


2014 年北京市西城区高三数学查缺补漏试题

2014.5 一、选择题 1. 已知 log 2 x ? log3 y ? 1 ,那么( (A) x ? y ? 3 (C) 3 ? y ? x ) (B) y ? x ? 3 (D) 3 ? x ? y

2.

(理) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为

? ( (A) 2 (C) 5 )

? x ? 2 ? t, ( t 为参数) , 设直线 l 的倾斜角为 ? , 则 tan ? ? ? y ? 1 ? 2t

(B) ?2 (D) ?5 )

3.

“ a ? 0, b ? 0 ”是“曲线 ax 2 ? by 2 ? 1为椭圆”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

4. 设函数 f ( x) ? sin x 的导函数为 f ?( x ) ,那么要得到函数 f ( x ) 的图象,只需将 f ?( x ) 的图象(

π 个单位 4 π (C)向左平移 个单位 2
(A)向左平移

π 个单位 4 π (D)向右平移 个单位 2
(B)向右平移

5. 已知函数 f ( x) ? logm (2 ? x) ? 1 (m ? 0, 且 m ? 1) 的图象恒过点 P, 且点 P 在直线 ax ? by ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,那么 ab 的( )

1 4 1 (C)最大值为 2
(A)最大值为 6.

1 4 1 (D)最小值为 2
(B)最小值为

? x≥1, ? 在约束条件 ? y≥0, 下,设目标函数 z ? x ? y 的最大值为 M,则当 4≤a≤6 时,M ?2 x ? y≤a ?


的取值范围是(

(A) [3,5]

(B) [2, 4]

(C) [1, 4]

(D) [2,5]

7.

某三棱锥的三视图是三个全等的等腰直角三角形,且正(主)视图如图所示,则此三棱 锥的表面积为( )
2

(A) 6 ? 2 3

(B) 4+4 2

(C) 6+4 2 (D) 4+4 2 ,或 6 ? 2 3
2 正(主)视图

8.

根据市场调查,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn (万件)近似 地满足 S n =

n (21n - n 2 - 5) (n = 1, 2,L ,12) ,按此预测,在本年内,需求超过 1.5 90
) (B) 5 月,6 月 (C)6 月,7 月 (D)7 月,8 月

万件的月份是( (A)4 月,5 月 二、填空题

? 1 ? x ? , x ? 0, 9. 函数 f ( x) ? ? 的最小值为______;函数 f ( x ) 与直线 y ? 4 的交点个数是 x x ?3 ? e , x≤0 ?
______个. 10. (理)在直角坐标系 xOy 中,点 M 为曲线 C : ? 为坐标原点,则|OM|的最小值为________. 函数 f ( x) ?

? x ? 3 ? cos ? , ( ? 为参数)上一点. O ? y ? sin ?
y M O P N x

1 π sin(? x ? )(? ? 0) , x∈R 的部分图象如右图所示. 设 M, N 2 6

是图象上的最高点,P 是图象上的最低点,若 ?PMN 为等腰直角三角形, 则 ? ? ____.

11. D ABC 的顶点 A , B , C 在正方形网格中的位置如图所示 . 则 cos( B ? C ) ? _______. 12. (理) 如图, 在△ PAC 中,PA ? 2 , ?PAC ? 90 , ?PCA ? 30 .以 AC 为直径的圆交 PC 于点 D ,PB 为圆的切线,B 为切点, 则 PD ? ______; B

A

C

A D C B P

BC ? ______. BD
13. (理)湖中有四个小岛,它们的位置恰好近似构成四边形的四个顶点,若要搭 3 座桥 将它们连接起来,则不同的建桥方案有_________种.

14. 数 列 {an } 中 , a1 ?

1 1 ? an * , an ?1 ? ( 其 中 n?N ) , 则 a6 ? ____ ; 使 得 2 1 ? an
.

a1 ? a 2? a 3 ?

? an≥72 成立的 n 的最小值是

15. 粗细都是 1cm 一组圆环依次相扣,悬挂在某处,最上面的圆环外直径是 20cm,每个圆 环的外直径皆比它上面的圆环的外直径少 1cm.那么从上向下数第 3 个环底部与第 1 个环顶部距离是 则 an ? 三、解答题 16. 已知函数 f ( x) ? (2cos x ? sin 2 x) tan x ?1 .
2

; 记从上向下数第 n 个环底部与第一个环顶部距离是 an ,

(1)求函数 f ( x ) 的定义域和最小正周期; (2)当 x ? [ ?

3π , 0] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 8

17. 已知向量 a ? (? cos x,sin x) , b ? (cos x,cos x) ,设 f ( x) ? a ? b + 1, x ? R . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的单调减区间.

18. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两

3 12 , . 5 13 π (1)若将点 B 沿单位圆逆时针旋转 到达 C 点, 求点 C 的坐标; 2
点.且点 A , B 的纵坐标分别为

(2)求 tan(? ? ? ) 的值.

19. (理)甲、乙两人参加 A,B,C 三个科目的学业水平考试,他们考试成绩合格的概率如 下表. 设每人每个科目考试相互独立. 科目A 甲 乙 科目B 科目C

2 3 3 5

1 2 1 3

3 4 1 2

(1)求甲、乙两人中恰好有 1 人科目 B 考试不合格的概率; (2)求甲、乙两人中至少有 1 人三个科目考试成绩都合格的概率; (3)设甲参加学业水平考试成绩合格的科目数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

20. 高三年级某班的所有考生全部参加了“语文”和“数学”两个科目的学业水平考试. 其中“语文”和“数学”的两科考试成绩的数据统计如下图(按 ?0,10 ? , ?10,20? ,

, [80,90), [90,100] 分组)所示,其中“数学”科目的成绩在 ?70,80? 分数段的考生有
16 人.
频率 组距

语文 0.040

频率 组距

数学

0.030 0.025 a 0.0025 0

0.025 0.020 0.010 0.005
50 60 70 80 90 100 分数

0

50 60

70 80

90 100

分数

图1 (1)求该班考生“语文”科目成绩在 ?90,100? 分数段的人数;

图2

(2)根据数据合理估计该班考生“数学”科目成绩的平均分,并说明理由;

(3)若要从“数学”科目分数在 ?50,60? 和 ?90,100? 之间的试卷中任取两份分析学生的答题 情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在 ?50,60? 之间的概率;

21. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an?1 ? 2Sn ? 1(n ? N* ) . (1) (2) 求 a1 的值; 设 等 差 数 列 {bn } 的 公 差 d ? 0 , 前 n 项 和 Tn 满 足 T3 ? 15 , 且 a1 ? b1 ,

a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn .

22. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? a7 ? a12 ? ?6 , S20 ? ?110 . (1) (2) 求数列 {an } 的通项 an ; 若等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , b1 ? 4 ,公比 q ? ?

1 * ,且对任意的 m, n ? N , 2

都有 Sn ? Tm ? t ,求实数 t 的取值范围.

23. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=6, BC= 2 3 , 沿对角 线 BD 将三角形 ABD 向上折起,使点 A 移至点 P, 且点 P 在平面 BCD 上的射影 O 在 DC 上. (1) 求证: BC ? PD ; (2) 判断 ?PDC 是否为直角三角形,并证明; (3) (文)求三棱锥 M ? BCD 的体积. (理)若 M 为 PC 的中点,求二面角 B ? DM ? C 的大小. A B D C D

P M O B C

24. (文)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是圆内接四边形(记此圆为 W) ,且 PA ^ 平面 ABCD ,.

(1)当 AC 是圆 W 的直径时,求证:平面 PBC ^ 平面 PAB ; (2)当 BD 是圆 W 的直径时,PA = BD = 2 , AD = CD =

3 ,求四棱锥 P - ABCD 的体积;
P

(3)在(2)的条件下,证明:直线 AB 不可能与平面 PCD 平行.

A D B C 25. (理)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是圆内接四边形(记此圆为 W) , PA ^ 平 面 ABCD , PA = BD = 2 , AD = CD =

3.

(1)当 AC 是圆 W 的直径时,求证:平面 PBC ^ 平面 PAB ; (2)当 BD 是圆 W 的直径时,求二面角 A - PD - C 的余弦值; (3)在(2)的条件下,判断棱 PA 上是否存在一点 Q,使得 BQ // 平面 PCD?若存在,求出 AQ 的长,若不存在,说明理由. P

A D B C 26. 已知函数 f ( x ) = x - sin x - ax ,其中 a ? R .
3

1 3

(1)当 a = 1时,求函数 g ( x) = (2)当 a ? 0 时,证明:函数

f ( x) + sin x 的极值;

f ( x ) 在 R 是单调函数.

27. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 , 点 B, C 分别是其上下顶点 , 点 A 在椭圆上且位于第一象限 . 直 4 3

线 AB 交 x 轴于点 M , 直线 AC 交 x 轴于点 N .

(1)若 AB ? AM ? 0 , 求 A 点坐标; (2)若 ?AMN 的面积大于 ?OCN 的面积, 求直线 AB 的斜率的取值范围.

28. (理)设 F1 , F2 分别为椭圆 W :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,斜率为 k (k ? 0) 直线 l 经过 6 2

右焦点 F2 ,且与椭圆 W 相交于 A, B 两点. (1)如果线段 F2 B 的中点在 y 轴上,求直线 l 的方程; (2)如果 ?ABF1 为直角三角形,求直线 l 的斜率 k .

x2 y 2 29. 椭圆 W : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 4,短轴长为 2,O 为坐标原点. a b
(1) 求椭圆 W 的方程; (2) 设 A, B, C 是椭圆 W 上的三个点,判断四边形 OABC 能否为矩形?并说明理由.

高三数学查缺补漏试题 参考答案
2014.5 一、选择题 1. A 2. B 3. B 4.D 5. A 6. A 7. D 8. D

二、填空题

9. 2,3 11. π 13. 1 , 2 15. 3 , 238 三、解答题

10. 2 12. ? 14. 16 16. 53
26 26

an ?

?n 2 ? 3 7 n? 4 (1 ? n ? 18 ) 2

17. (1)定义域 {x | x ? R, 且 x ? kπ+

π , k ? Z} . 周期 π . 2 π 3π (2)最小值 f ( ? ) ? ? 2 ;最大值 f ( ? ) ? 0 . 8 8

18. (1)周期 π .

3π 7π , kπ ? ](k ? Z) . 8 8 12 5 33 19. (1) C (? , ? ) . (2) ? . 13 13 56 1 13 20. (1) . (2) . 2 40
(2) [kπ ? 21. (1) 5 人. 22. (1) a1 ? 1 . 23. (1) an ? ?n ? 5 . 24. (1)略. (2) 76.5 . (2) Tn ? 20n ? 5n2 . (2) t ? 8 .

(3) E ( X ) ? (3)

23 . 12

3 . 5

(2)是, ?DPC ? 90 . (3) (文) 2 6 .(理) 60 .

25. (1)略.

(2)

2 3 . 3
2 5

(3)略.

26. (1)略.

(2) .

(3)存在, AQ =

2 . 3

27. (1)极大值 g (1) =

2 2 ,极小值 g ( -1) = - . 3 3

(2)略.

28. (1) A( 3,

3 ). 2

(2) k ? (?

1 1 , 0) (0, ) . 2 2

29. (1)证明:椭圆 W 的左焦点 F1 (?2,0) ,右焦点为 F2 (2,0) , 因为线段 F2 B 的中点在 y 轴上,

所以点 B 的横坐标为 ?2 , 因为点 B 在椭圆 W 上, 将 x ? ?2 代入椭圆 W 的方程,得点 B 的坐标为 ( ?2, ?

6 ). 3

所以直线 AB (即 l )的方程为 x ? 2 6 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 6 y ? 2 ? 0 . (2)解:因为 ?ABF1 为直角三角形,
o o o 所以 ?BF 1 A ? 90 , ?BAF 1 ? 90 ,或 ?ABF 1 ? 90 . o 当 ?BF 1 A ? 90 时 ,

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由 ?6 得 (1 ? 3k ) x ?12k x ? 12k ? 6 ? 0 , 2 ? y ? k ( x ? 2), ?
所以 ? ? (12k 2 )2 ? 4(1 ? 3k 2 )(12k 2 ? 6) ? 0 ,

x1 ? x2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 x x ? , . 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

o 由 ?BF 1 A ? 90 ,得 F 1A? F 1B ? 0 ,

因为 F 1 A ? ( x1 ? 2, y1 ) , F 1B ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 F 1 A? F 1B ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2

? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (2 ? 2k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4k 2
? (1 ? k 2 ) ? 12k 2 ? 6 12k 2 2 ? (2 ? 2 k ) ? ? 4 ? 4k 2 ? 0 , 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

解得 k ? ?

23 (舍负). 23
o o

当 ?BAF 1 ? 90 (与 ?ABF 1 ? 90 相同)时, 则点 A 在以线段 F1F2 为直径的圆 x ? y ? 4 上,也在椭圆 W 上,
2 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ?6 2 ? x 2 ? y 2 ? 4, ?
解得 A( 3,1) ,或 A(? 3,1) ,或 A( 3, ?1) ,或 A(? 3, ?1) , 因为直线 l 的斜率为 k ? 0 , 所以由两点间斜率公式,得 k ? 2 ? 3 ,或 k ? 2 ? 3 , 综上,直线 l 的斜率 k ? 形. 30. (1)由题意,椭圆 W 的方程为

23 ,或 k ? 2 ? 3 ,或 k ? 2 ? 3 时, ?ABF1 为直角三角 23

x2 ? y2 ? 1 . 5

(2)设 AC : y ? kx ? m , A( x1, y1 ), C( x2 , y2 ), AC 中点 M ( x0 , y0 ) , B( x3 , y3 ) ,

? x2 ? 5 y2 ? 5 ? (1 ? 5k 2 ) x 2 ? 10kmx ? 5m2 ? 5 ? 0 , ? ? y ? kx ? m
? ? (10km)2 ? 4(1 ? 5k 2 )(5m2 ? 5) ? 0 ,
x1 ? x2 ? ? 10km 5m2 ? 5 x x ? , . 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
(1)

由条件 OA ? OC ,得 x1x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 , 整理得 (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 , 将(1)式代入得 (1 ? k )(5m ? 5) ? km(?10km) ? m (1 ? 5k ) ? 0
2 2 2 2

即 6m ? 5k ? 5
2 2

(2)

又 x0 ?

x1 ? x2 5km m ?? , y0 ? kx0 ? m ? 2 2 1 ? 5k 1 ? 5k 2

且 M 同时也是 OB 的中点, 所以 x3 ? 2 x0 ,
2 2 因为 B 在椭圆上, 所以 x3 ? 5 y3 ? 5, 2 2 即 4x0 ? 20 y0 ?5,

y3 ? 2 y0

4( ?

5km 2 m 2 ) ? 20( ) ? 5, 2 1 ? 5k 1 ? 5k 2
2 2

所以 4m ? 5k ? 1 由(2)(3) 解得 m ? 2, k ?
2 2

(3)

7 , 5

验证知 ? ? (10km)2 ? 4(1 ? 5k 2 )(5m2 ? 5) ? 120 ? 0 , 所以四边形 OABC 可以为矩形.

说明: 1、 提供的题目并非一套试卷,小题(选、填)主要针对较难题,大体相当于选择的 5,6,7,8 和填空的 12,13,14 题的位置,也有部分题目针对复习的一些“盲点”设计。大题难度 与模拟相应试题等同。 2、 标明【理】的仅供理科使用,其余题目文、理共用。


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