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专题 正弦定理与余弦定理的应用举例 课后练习


专题 正弦定理与余弦定理的应用举例 课后练习
主讲教师:熊丹 北京数学骨干教师 3 5 题一:设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 cos A= , cos B= , b=3, 则 c=________. 5 13 题二:△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求 C.

题三:在△ABC 中, ∠A=60° , 且角 A 的角平分线 AD 将 BC 分成两段 BD、 DC, 且 BD∶DC=2∶1, 若 AD=4 3,则 C=( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 2 3 1 题四:在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=________. 4 tan A 2c 题五:在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2 3,c=2 2,1+ = , tan B b 则 C=( ) A.30° B.45° C.45° 或 135° D.60° 题六:2sin Bcos A=sin Acos C+cos A sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 题七:如图,在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD(CD 所在的直线与地平面垂直)对于山 坡的斜度为 α,从 A 处向山顶前进 l 米到达 B 后,又测得 CD 对于山坡的斜度为 β,山坡对于地平面 的坡角为 θ. (1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α=15° ,β=45° ,θ=30° ,求建筑物 CD 的高度.

题八:郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的 环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米, AC=8 米,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由).

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专题 正弦定理与余弦定理的应用举例
课后练习参考答案
题一: 14 . 5

详解: 利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解. 3 4 在△ABC 中,∵cos A= >0,∴sin A= . 5 5 5 12 ∵cos B= >0,∴sin B= . 13 13 ∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B 4 5 3 12 56 = × + × = . 5 13 5 13 65 b c 由正弦定理知 = , sin B sin C 56 3× 65 14 bsin C ∴c= = = . sin B 12 5 13

题二:

π . 6

详解: 由 B=π-(A+C),得 cos B=-cos(A+C). 于是 cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C, 1 由已知得 sin Asin C= .① 2 由 a=2c 及正弦定理得 sin A=2sin C.② 1 由①②得 sin2C= , 4 1 1 于是 sin C=- (舍去)或 sin C= . 2 2 π 又 a=2c,所以 C= . 6 题三: C. 1 详解: 因为 AD 是角 A 的角平分线, 所以 AC∶AB=CD∶DB=1∶2.设 AC=x, 则 AB=2x.易知 3S△ACD=S△ABC, 即 3× 2 1 π 2 2 2 2 × 4 3× sin 30° = × 2x sin 60° ,解得 x=6,所以 AB=12.由余弦定理得 BC=6 3.又因为 AC +BC =AB ,所以 C= . 2 2 题四: 4. 1 详解:根据余弦定理代入 b2=4+(7-b)2-2× 2× (7-b)× -4 ,解得 b=4. 题五: B. tan A 2c 详解:由 1+ = 和正弦定理得 tan B b cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos A, 即 sin C=2sin Ccos A, 1 所以 cos A= ,则 A=60° . 2 2 3 2 2 由正弦定理得 = , sin A sin C

( )

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2 , 2 又 c<a,则 C<60° ,故 C=45° . 则 sin C= π 7 题六: (1) A= . (2) AD= . 3 2 详解:(1)解法一 由题设知,2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B. 1 因为 sin B≠0,所以 cos A= . 2 π 由于 0<A<π,故 A= . 3 b2+c2-a2 a2+b2-c2 b2+c2-a2 解法二 由题设可知,2b· =a· +c· , 2bc 2ab 2bc 2 2 2 于是 b +c -a =bc, b2+c2-a2 1 所以 cos A= = . 2bc 2 π 由于 0<A<π,故 A= . 3
- ? - - ? ? - ? AB ? AC ? ? (2)解法一 因为 AD ? ? ? 2 ? ? - ?2 - - ?2 - - ? - - ? 1 - ? ( AB ? AC ? 2 AB ? AC ) 4 - - ?2 2

π 1 7 1× 2× cos = , = 1+4+2× 3 4 4 所以|

(

)

AD |= 2 .

- - ?

7

7 . 2 解法二 因为 a2=b2+c2-2bccos A 1 =4+1-2× 2× 1× =3, 2 π 所以 a2+c2=b2,B= . 2 从而 AD= 因为 BD= 3 ,AB=1,所以 AD= 2 3 7 1+ = . 4 2

lsin α 题七: (1) BC= . (2) CD=24-8 3米. sin?(β-α?) 详解:(1)在△ABC 中,∠ACB=β-α, BC AB 根据正弦定理得 = , sin ∠BAC sin ∠ACB lsin α 所以 BC= . sin?(β-α?) lsin α 24× sin 15° (2)由(1)知 BC= = =12( 6- 2)米. sin 30° sin?(β-α?) π π 2π 3 在△BCD 中,∠BDC= + = ,sin ∠BDC= , 2 6 3 2 BC CD 根据正弦定理得 = , sin ∠BDC sin ∠CBD 所以 CD=24-8 3米.

题八: (1) AB 的长度为 7 米.

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(2)小李的设计使建造费用最低. 详解:(1)在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = ,① 2AC· BC 2× 8× 5 在△ABD 中,由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = ,② 2AD· BD 2× 7× 7 由∠C=∠D 得 cos C=cos D. 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 1 易知 S△ABD= AD· BDsin D,S△ABC= AC· BCsin C, 2 2 因为 AD· BD>AC· BC,且∠C=∠D, 所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低.

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