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空间向量的直角坐标运算1


空间向量运算的坐标表示

复习回顾 1.空间向量的分解定理: ? ? ?
唯一的实数组使.

? ? p 是空间任意一向量,存在 若是{a, b, c} 空间的一个基底, ? ? ? ? ?
p ? xa ? yb ? zc

2.平面向量的坐标表示及运算律: ? ? ? ? ??
? ?

(2)若a ? ( a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )

(1)若 ? ? xi ? y j (i, j分别是x, y轴上同方向的两个单位向量) p ? 则p 的坐标为( x, y )

? ? a?b ? ? ? a ?b ?

? ?a ? ? ? a ?b ?

? ? a ?b ? ? ? a?b?

??? ? ??? ? (3)若A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )则 AB ? ______, AB =____.

新知建构

1.空间向量的直角坐标:
? a

A

2、空间向量的直角坐标运算 ? ?

设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则 ? ? a?b? ; ? ? a ?b ? ;

? ?a ? ? ? a ?b ?
? ? a // b ? ? ? a ? b ?

;

;
;

;

? a ? ? b ?

; ;

? ? cos ? a , b ??

;

???? 若A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z 2 )则 AB ? ________, ???? AB = _____________;

应用举例 ? ? ? 3,1, 例1.已知 a ? (2,??3, 5), b ? ( ?? ? ?4) ? ? ? ?
求 a ? b, a ? b,| a |, 8a , a ? b

例2

B 已知 A(3 , 3 , 1)、 (1, 0 , 5) ,求:

(1)线段

AB

的中点坐标和长度;

(2)到 A 、B 两点距离相等的点

P ( x , y , z)



坐标

x, y,z

满足的条件。
y , z ) A 、B 的距离相等,则 到
( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 ,

解:点 P ( x ,

( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ?

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 足的条件是
4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

( x , y , z) 满

例3
z
D1 A1

B 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1中, 1 E1 ?
A1 B1 4

? D1 F1 ?
F1

,求
C1 B1

BE1



DF1

所成的角的余弦值.

E1

D

O
B

C

y

A

x


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