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《导数及其应用》章节测试题及答案

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选修 2-2 单元测试题
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题
1.函数 y=x2cosx 的导数为…………………………………………【 A. y′ =2xcosx-x2sinx B. y′ =2xcosx+x2sinx C. y′ 2cosx-2xsinx =x D. y′ =xcosx-x2sinx 2.下列结论中正确的是………

……………………………………【 A. 导数为零的点一定是极值点 】



B. 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) > 0 右侧 f ' ( x ) < 0 那么 f ( x 0 ) 是极大值 C. 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) > 0 右侧 f ' ( x ) < 0 那么 f ( x 0 ) 是极小值 D. 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) < 0 右侧 f ' ( x) > 0 那么 f ( x 0 ) 是极大值 3. 曲线 y = cos x (0 ≤ x ≤ A.4

3π 【 ) 与坐标轴围成的面积是…………… 2 5 B. C.3 D.2 2



4.函数 f ( x ) = 3 x ? 4 x 3 , x ∈ [0,1] 的最大值是……………………【 A.1 B.



1 2

C.0

D.-1

5. 如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 6cm 处, 则克服弹力所做的功为…………………… 【 】 A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J 6. 给出以下命题:⑴若



b a

f ( x)dx > 0 ,则 f(x)>0; ⑵ ∫

2π 0

sin x dx = 4 ;

⑶ f(x) 的 原 函 数 为 F(x) , 且 F(x) 是 以 T 为 周 期 的 函 数 , 则



a 0

f ( x)dx = ∫

a +T T

f ( x)dx ;其中正确命题的个数为…【
B. 2 C. 3

】 D. 0

A. 1

7. 若函数 f ( x ) = x 3 + x 2 + mx + 1 是 R 上的单调函数, 则实数 m 的取值范 围是【 】 B. ( ?∞, )

A. ( , +∞)

1 3

1 3

C. [ , +∞ )

1 3

D. ( ?∞, ]

1 3

1

8.设 0< a <b, f (x)= 且 A.f ( a )< f (

1+ 1+ x , 则下列大小关系式成立的是… 【 x
B. f (

】 .

a+b )<f ( ab ) 2 a+b C. f ( ab )< f ( )<f ( a ) 2
2

a+b )<f (b)< f ( ab ) 2 a+b D. f (b)< f ( )<f ( ab ) 2


9.

函数 f ( x) = ax ? b 在区间 ( ?∞, 0) 内是减函数则 a , b 应满足【 B. a > 0 且 b ∈ R D. a < 0 且 b ∈ R

A. a < 0 且 b = 0 C. a < 0 且 b ≠ 0

10. f ( x ) 与 g ( x ) 是 R 定义在上的两个可导函数,若 f ( x ) 与 g ( x ) 满足

f ′( x ) = g ′( x ) ,则 f ( x ) 与 g ( x ) 满足………………………【
A. f ( x ) = g ( x) C. f ( x) = g ( x ) = 0 B. f ( x ) ? g ( x )



为常数函数

D. f ( x ) + g ( x) 为常数函数

11. (2007 江 苏 ) 已 知 二 次 函 数 f ( x) = ax 2 + bx + c 的 导 数 为 f ′( x ) , 对于任意实数 x , f ( x ) ≥ 0 , 有 则 f ′(0) > 0 ,

f (1) 的最小值为… 【 f ′(0)
D.



A. 3

B.

5 2

C. 2

3 2

12. (2007 江西理)设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线

y = f ( x ) 在 x = 5 处的切线的斜率为(
A. ?

) D. 5

1 5

B. 0

C.

1 5

2

选修 2-2 单元测试题答题卷
姓名: 班级: 分数: 10 11 12 选择题( 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 填空题 13.10.曲线 y=2x3-3x2 共有____个极值. 14. 已知 f (x ) 为一次函数, f ( x) = x + 2 且 15. 若 f ( x) = e
? 1 x



1 0

f (t )dt , f (x ) =_______. 则
___________.

,则 lim
t →0

f (1 ? 2t ) ? f (1) = t

3 2 并且它的图 16. 已知函数 f ( x ) = x + ax + bx + c在x = ?2 处取得极值,

象与直线 y = ?3 x + 3 在点(1,0)处相切,则函数 f (x ) 的表达式为 __ __m .
2

三、解答题(共 74 分) 解答题
17. (本小题满分 12 分)一物体沿直线以速度 v (t ) = 2t ? 3 ( t 的单位
为:秒, v 的单位为:米/秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒 至时刻 t=5 秒间运动的路程?

3

18. (本小题满分 12 分)已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 l1 平 行直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线 l ⊥ l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax 3 + (a ? 1) x 2 + 48( a ? 2) x + b 的 图象关于原点成中心对称, 试判断 f ( x) 在区间 [ ?4, 4] 上的单调性,并证明你的 结论.

4

20 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f (x) = ln x ( x ≠ 0) , 函 数 (

g ( x) =

1 + af ′( x )( x ≠ 0) ⑴当 x ≠ 0 时,求函数 y = g ( x) 的表达式; f ′( x )

⑵若 a > 0 ,函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线 y = 形的面积.

2 7 x + 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图 3 6

21. (本小题满分 12 分)设 a ≥ 0 , f ( x) = x ? 1 ? ln 2 x + 2a ln x( x > 0) . (Ⅰ)令 F ( x) = xf ′( x) ,讨论 F ( x) 在 (0, ∞) 内的单调性并求极值; +
(Ⅱ)求证:当 x > 1 时,恒有 x > ln 2 x ? 2a ln x + 1 .

5

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = e x ? kx,x ∈ R (Ⅰ)若 k = e ,试确定函数 f ( x ) 的单调 区间; (Ⅱ)若 k > 0 ,且对于任意 x ∈ R , f ( x ) > 0 恒成立,试确定实 数 k 的 取 值 范 围 ; Ⅲ ) 设 函 数 F ( x) = f ( x) + f (? x) , 求 证 : (

F (1) F (2)? F (n) > (e

n +1

+ 2) (n ∈ N? ) .

n 2

6

东至三中 2007-2008 学年度高二数学单元试题 (2)答案 (选修 2-2·A 版) 《导数及其应用》章节测试题
一、选择题(60 分) 1-5:ABCAD 6-10:BCD B B 二、填空题(16 分) 13. 2 14. f ( x) = x ? 1

11—12:C B

15. ?

2 (或 ? 2e ?1 ) e

16、 f ( x) = x 3 + x 2 ? 8 x + 6

三、解答题(共 74 分) 17. 解 : ∵ 当 0 ≤ t ≤ 时, v(t ) = 2t ? 3 ≥ 0 . ∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程
3 5 9 9 29 S = ∫ 2 (3 ? 2t )dx + ∫ 3 (2t ? 3)dx = + (10 + ) = (米) 0 4 4 2 2

3 3 时 , v(t ) = 2t ? 3 ≤ 0 ; 当 ≤t ≤5 2 2

18.解:⑴由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知得 3x2+1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4). ⑵∵直线 l ⊥ l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 ? ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4) ∴直线 l 的方程为 y + 4 = ?

1 , 4

1 ( x + 1) 即 x + 4 y + 17 = 0 . 4

19. 解: 答 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称,
7

则 f(x)是奇函数,所以 a=1,b=0,于是 f(x)= x ? 48 x.
3

∴ f ′( x) = 3 x 2 ? 48, ∴当 x ∈ (?4, 4) ∴ f ′( x) < 0
又∵函数 f ( x) 在 [ ?4, 4] 上连续 所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 20.解:⑴∵ f ( x) = ln x ,

∴当 x > 0 时, f ( x) = ln x ; 当 x < 0 时, f ( x) = ln(? x) ∴当 x > 0 时, f ′( x) =

1 1 1 ; 当 x < 0 时, f ′( x) = ? (?1) = . x ?x x a ∴当 x ≠ 0 时,函数 y = g ( x) = x + . x a ⑵∵由⑴知当 x > 0 时, g ( x) = x + , x

∴当 a > 0, x > 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x = a 时取等号.
∴函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 a ,∴依题意得 2 a = 2 ∴

a = 1. 2 7 3 ? ? ? ?y = 3 x + 6 ? x1 = 2 ? x2 = 2 ? ? ⑶由 ? 解得 ? ,? 5 ?y = x + 1 ? y = 13 ? y2 = 2 ? ? 1 6 ? x ? ?
∴直线 y =

2 7 x + 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图形的面积 3 6

2 ? 2 7 7 1 ? S = ∫ 3 ?( x + ) ? ( x + ) ?dx = ? ln 3 24 6 x ? 2? 3

21. 本小题主要考查函数导数的概念与计算, 利用导数研究函数的单调性、 极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力.本小 题满分 14 分.
8

(Ⅰ)解:根据求导法则有 f ′( x ) = 1 ?

2 ln x 2a + ,x > 0 , x x

故 F ( x ) = xf ′( x ) = x ? 2 ln x + 2a,x > 0 , 于是 F ′( x) = 1 ? 列表如下:

2 x?2 = ,x > 0 , x x

x
F ′( x) F ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ∞) +

?
?

+
?

故知 F ( x ) 在 (0, 内是减函数, (2, ∞) 内是增函数, 2) 在 + 所以, x = 2 处 在 取得极小值 F (2) = 2 ? 2 ln 2 + 2a . (Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x ) 的极小值 F (2) = 2 ? 2 ln 2 + 2a > 0 . 于是由上表知,对一切 x ∈ (0, ∞) ,恒有 F ( x) = xf ′( x ) > 0 . + 从而当 x > 0 时,恒有 f ′( x ) > 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ∞) 内单调增加. + 所以当 x > 1 时, f ( x ) > f (1) = 0 ,即 x ? 1 ? ln x + 2a ln x > 0 .
2

故当 x > 1 时,恒有 x > ln x ? 2a ln x + 1 .
2

22.本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考 查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数 学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.满分 14 分. 解: (Ⅰ)由 k = e 得 f ( x) = e x ? ex ,所以 f ′( x) = e x ? e . 由 f ′( x) > 0 得 x > 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1 + ∞) , , 由 f ′( x) < 0 得 x < 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 ( ?∞, . 1)

9

(Ⅱ)由 f ( ? x ) = f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) > 0 对任意 x ∈ R 成立等价于 f ( x ) > 0 对任意 x ≥ 0 成 立.由 f ′( x) = e x ? k = 0 得 x = ln k . ①当 k ∈ (0, 时, f ′( x) = e ? k > 1 ? k ≥ 0( x > 0) . 1]
x

+ 此时 f ( x) 在 [0, ∞) 上单调递增.
故 f ( x) ≥ f (0) = 1 > 0 ,符合题意. ②当 k ∈ (1, ∞ ) 时, ln k > 0 . + 当 x 变化时 f ′( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ′( x) f ( x)

(0, k ) ln

ln k 0
极小值

(ln k, ∞) +

?
单调递减

+
单调递增

由此可得,在 [0, ∞) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) = k ? k ln k . +

∴ 依题意, k ? k ln k > 0 ,又 k > 1, 1 < k < e . 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 < k < e .
(Ⅲ)∵ F ( x) = f ( x) + f ( ? x) = e x + e ? x ,

∴ F ( x1 ) F ( x2 ) = e x1 + x2 + e ? ( x1 + x2 ) + e x1 ? x2 + e ? x1 + x2 > e x1 + x2 + e? ( x1 + x2 ) + 2 > e x1 + x2 + 2 , ∴ F (1) F (n) > en +1 + 2 ,

10

F (2) F (n ? 1) > e n +1 + 2 ?? F (n) F (1) > en +1 + 2.
由 此 得 ,

[ F (1) F (2)? F (n)]2 = [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ? 1)]?[ F (n) F (1)] > (e n +1 + 2)n
n 2

故 F (1) F (2) ? F ( n) > (e

n +1

+ 2) ,n ∈ N? .

11


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