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辽宁省葫芦岛六中2016年中考数学模拟试题(含解析)


辽宁省葫芦岛六中 2016 年中考数学模拟试题
一、选择题 1.下列运算正确的是( ) 3 3 6 5 4 20 m n mn 8 2 4 A.x +x =2x B.(﹣x ) =x C.x ?x =x D.x ÷x =x 2.在下面的四个几何图形中,左视图与主视图不相同的几何体是( A.长方体 B.正方体 C.球 D.圆锥 )

3.如图所示的几何

体是由六个相同的小正方体组合而成的,它的俯视图是(



A.

B.

C.

D.

4.已知 A(x1,y1)、B(x2,y2)均在反比例函数 y= 的图象上,若 x1<0<x2,则 y1、y2 的大小关 系为( ) A.y1<0<y2 B.y2<0<y1 C.y1<y2<0 D.y2<y1<0 5.“珍惜生命,注意安全”是一个永恒的话题.在现代化的城市,交通安全万万不能被忽视,下列 四个图形是国际通用的四种交通标志,其中不是中心对称图形的是( )

A. 禁止驶入

B. 禁止行人通行

C. 禁止长时间停放

1

D. 禁止临时或长时间停放 6.如图,为了测量河两岸 A、B 两点的距离,在与 AB 垂直的方向点 C 处测得 AC=a,∠ACB=α ,那 么 AB 等于( )

A.a?sinα

B.a?tanα

C.a?cosα

D.

7.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 BC 延长线上一点,AE 交 CD 于点 F,且 CE= BC,则 ( )

=

A.

B.

C.

D.

8.某商品原价为 200 元,经过连续两次降价后售价为 148 元,设平均每次降价为 a%,则下面所列 方程正确的是( ) 2 2 A.200 (l+a%) =148 B.200 (l﹣a% ) =148 2 C.200 (l﹣2a% )=148 D.200 (1﹣a %)=l48 9. 如图, △ABC 为等腰直角三角形, ∠ACB=90°, 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 75°, 得到△AB′C′, 过点 B′作 B′D⊥CA,交 CA 的延长线于点 D,若 AC=6,则 AD 的长为( )

A.2

B.3

C.2

D.3

2

二、填空题

10.在函数 y=

中,自变量 x 的取值范围是



11.计算:

+2
2

的结果是
2 3

. .

12.把多项式 2x y﹣4xy +2y 分解因式的结果是

13.已知扇形的圆心角为 40°,这个扇形的弧长是 π ,那么此扇形的面积是



14.不等式组

的整数解是



15.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,则掷出“这个骰 子向上的一面点数小于等于 4”的成功率是 . 16. 如图, 四边形 ABCD 是菱形, 对角线 AC=8cm, DB=6cm, DH⊥AB 于点 H, 则 DH 的长为 .

17.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=120°,∠C=60°,AB=2,AD=DC=4,则 BC 边的长为



三、解答题(其中 21-22 题各 7 分)(本题 7 分)

18.先化简,再求代数式的值

÷( ﹣ ),其中 a=2cos30°﹣tan45°,b=2sin30°.

19.“五一”期间,新华商场贴出促销海报.在商场活动期间,王莉同学随机调查了部分参与活动 的顾客,并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图.请你根据图中的信息回答下列问题:

3

(1)王莉同学随机调查的顾客有 人; (2)请将统计图①补充完整; (3)在统计图②中,“0 元”部分所对应的圆心角是 度; (4)若商场每天约有 2000 人次摸奖,请估算商场一天送出的购物券总金额是多少元? 20.如图,AD 是△ABC 的中线,AE∥BC,BE 交 AD 于点 F,且 AF=DF. (1)求证:四边形 ADCE 是平行四边形; (2)当 AB、AC 之间满足 时,四边形 ADCE 是矩形; (3)当 AB、AC 之间满足 时,四边形 ADCE 是正方形.

21.某超市用 3000 元购进某种干果,由于销售状况良好,超市又用 9000 元第二次购进该干果,但 第二次的进价比第一次的提高了 20%,第二次购进干果数量是第一次的 2 倍还多 300 千克. (1)求该干果的第一次进价是每千克多少元? (2)百姓超市按每千克 9 元的价格出售,当大部分干果售出后,余下的按售价的 8 折售完,若两次 销售这种干果的利润不少于 5820 元,则最多余下多少千克干果按售价的 8 折销售. 22.已知:AB 为⊙0 的直径,CD、CF 为⊙O 的弦,AB⊥CD 于点 E,CF 交 AB 于点 G. (1)如图 1,连接 OD、OF、DG,求证:∠DOF=∠DGF; (2) 如图 2, 过点 C 作 OO 的切线, 交 BA 的延长线于点 H, 点 M 在弧 BC 上, 连接 CM、 OM, 若∠H=∠M, ∠BGF=30°,求证:CM=CG; (3)如图 3,在(2)的条件下,连接 FM(FM<CM),若 FG=CE=4,求 FM 的长.

4

23.如图,抛物线 y=﹣x +bx+c 交 x 轴负半轴于点 A,交 X 轴正半轴于点 B,交 y 轴 正半轴于点 C, 直线 BC 的解析式为 y=kx+3(k≠0 ),∠ABC=45° (1)求 b、c 的值; (2)点 P 在第一象限的抛物线上,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线,交直线 BC 于点 M、N,设点 P 的横坐标为 t, 线段 MN 的长为 d, 求 d 与 t 之间的函数关系式 (不要求写出自变量 t 的取值范围) ; (3) 在 (2) 的条件下, 点 E 为抛物线的顶点, 连接 EC、 EP、 AP, AP 交 y 轴于点 D, 连接 DM, 若∠DMB=90°, 求四边形 CMPE 的面积.

2

5

2016 年辽宁省葫芦岛六中中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1.下列运算正确的是( ) 3 3 6 5 4 20 m n mn 8 2 4 A.x +x =2x B.(﹣x ) =x C.x ?x =x D.x ÷x =x 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 【分析】根据合并同类项,积的乘方,同底数幂的乘法、除法,即可解答. 3 3 3 【解答】解:A.x +x =2x ,故正确; B.正确; m n m+n C.x ?x =x ,故错误; 8 2 6 D.x ÷x =x ,故错误; 故选:B. 【点评】本题考查了合并同类项,积的乘方,同底数幂的乘法、除法,解决本题的关键是熟记合并 同类项,积的乘方,同底数幂的乘法、除法的法则. 2.在下面的四个几何图形中,左视图与主视图不相同的几何体是( ) A.长方体 B.正方体 C.球 D.圆锥 【考点】简单几何体的三视图. 【专题】常规题型. 【分析】根据几何体的三种视图,对各图形的主视图与左视图分析后进行选择即可. 【解答】解:A、长方体的主视图的长方形的长与宽分别是长方体的长与高,左视图的长方形的长与 宽分别是长方体的宽与高,两图形不一定相同; B、正方体的主视图与左视图是全等的正方形; C、球的主视图与左视图是半径相等的圆; D、圆锥的主视图与左视图是全等的等腰三角形. 故选 A. 【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力. 3.如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的,它的俯视图是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图,可得答案. 【解答】解:从上面看第一层是两个小正方形,第二层是三个小正方形,

6

故选:D. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从上面看得到的图形是俯视图.

4.已知 A(x1,y1)、B(x2,y2)均在反比例函数 y= 的图象上,若 x1<0<x2,则 y1、y2 的大小关 系为( ) A.y1<0<y2 B.y2<0<y1 C.y1<y2<0 D.y2<y1<0 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】先根据反比例函数 y= 的系数判断此函数图象所在的象限,再根据 x1<0<x2 判断出 A(x1, y1)、B(x2,y2)所在的象限,根据此函数的增减性即可解答. 【解答】解:∵反比例函数 y= 中,k=2>0, ∴此函数的图象在一、三象限,在每一象限内 y 随 x 的增大而减小, ∵x1<0<x2, ∴A(x1,y1)位于第三象限,B(x2,y2)位于第一象限, ∴y1<0<y2. 故选:A. 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数的性质是解答此题的关键. 5.“珍惜生命,注意安全”是一个永恒的话题.在现代化的城市,交通安全万万不能被忽视,下列 四个图形是国际通用的四种交通标志,其中不是中心对称图形的是( )

A. 禁止驶入

B. 禁止行人通行

C. 禁止长时间停放

D. 禁止临时或长时间停放 【考点】中心对称图形. 【分析】根据中心对称图形的概念求解.

7

【解答】解:A、是中心对称图形,故本选项错误; B、不是中心对称图形,故本选项正确; C、是中心对称图形,故本选项错误; D、是中心对称图形,故本选项错误. 故选 B. 【点评】本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图 重合. 6.如图,为了测量河两岸 A、B 两点的距离,在与 AB 垂直的方向点 C 处测得 AC=a,∠ACB=α ,那 么 AB 等于( )

A.a?sinα B.a?tanα C.a?cosα D. 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【分析】根据题意,可得 Rt△ABC,同时可知 AC 与∠ACB.根据三角函数的定义解答. 【解答】解:根据题意,在 Rt△ABC,有 AC=a,∠ACB=α ,且 tanα = , 则 AB=AC×tanα =a?tanα , 故选 B. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,要熟练掌握三角函数的定义.

7.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 BC 延长线上一点,AE 交 CD 于点 F,且 CE= BC,则 ( )

=

A. B. C. D. 【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质. 【专题】计算题. 【分析】利用平行四边形的性质可以得到相似三角形,然后利用相似三角形的面积的比等于相似比 可以得到答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BE,CD∥AB, ∴△ADF∽△ECF△ECF∽△EAB, ∴△ADF∽△EBA,

8

∵CE= BC, BE=CE+BC=CE+AD=3CE, ∴AD:BE=2:3,



= ,

故选 D. 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质,解题的关键是利用相似三角形 的传递性得到两三角形相似,然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方得到结论. 8.某商品原价为 200 元,经过连续两次降价后售价为 148 元,设平均每次降价为 a%,则下面所列 方程正确的是( ) 2 2 A.200 (l+a%) =148 B.200 (l﹣a% ) =148 2 C.200 (l﹣2a% )=148 D.200 (1﹣a %)=l48 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【专题】增长率问题. 2 【分析】设平均每次降价为 a%,根据题意可得,原价×(1﹣a%) =售价,据此列方程. 【解答】解:设平均每次降价为 a%, 2 由题意得,200 (l﹣a% ) =148. 故选 B. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数, 找出合适的等量关系,列方程. 9. 如图, △ABC 为等腰直角三角形, ∠ACB=90°, 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 75°, 得到△AB′C′, 过点 B′作 B′D⊥CA,交 CA 的延长线于点 D,若 AC=6,则 AD 的长为( )

A.2

B.3

C.2

D.3

【考点】旋转的性质. 【分析】在直角△ABC 中利用勾股定理即可求得 AB 的长,则 AB′的长即可求得,然后根据旋转角的 定义利用角的和差求得∠B′AD 的度数,在直角△B′AD 中利用三角函数即可求解. 【解答】解:在直角△ABC 中,AB= 则 AB'=AB=6 . = =6 ,

在直角△B'AD 中,∠B′AD=180°﹣∠BAC﹣∠BAB′=180°﹣45°﹣75°=60°. 则 AD=AB′?cos∠B′AD=6 × =3 .

9

故选 D. 【点评】本题考查了旋转的性质,正确确定旋转角,在直角△B'AD 中求得∠B′AD 的度数是本题的 关键. 二、填空题

10.在函数 y=

中,自变量 x 的取值范围是 x≠﹣1 .

【考点】函数自变量的取值范围. 【分析】根据分式的分母不为零分式有意义,可得答案.

【解答】解:由 y=

中,得

﹣x﹣1≠0, 解得 x≠﹣1, 故答案为:x≠﹣1. 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:当函数表达 式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;当函数表 达式是二次根式时,被开方数非负.

11.计算: +2 的结果是 3 . 【考点】二次根式的加减法. 【分析】首先利用二次根式的性质化简,进而合并即可. 【解答】解: 故答案为:3 . +2 =2 +2× =3 .

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键. 12.把多项式 2x y﹣4xy +2y 分解因式的结果是 2y(x﹣y) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【专题】计算题;因式分解. 【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可. 2 2 【解答】解:原式=2y(x ﹣2xy+y ) 2 =2y(x﹣y) . 2 故答案为:2y(x﹣y) . 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
2 2 3 2

13.已知扇形的圆心角为 40°,这个扇形的弧长是 π ,那么此扇形的面积是 4π 【考点】扇形面积的计算;弧长的计算. 【分析】利用弧长公式可求得扇形的半径,那么扇形的面积=弧长×半径÷2.



10

【解答】解:由 2π r× ∵S= lr,

=

,得出 r=6,

∴S= × π ×6 ∴S=4π , ∴故答案为 4π . 【点评】本题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式的综合应用,掌握公式是解题的关键.

14.不等式组

的整数解是 ﹣1,0,1,2 .

【考点】一元一次不等式组的整数解. 【分析】先解不等式组,求出解集,再根据解集找出整数解.

【解答】解: 解不等式①,得 x<3, 解不等式②,得 x≥﹣1. ∴原不等式组的解集为﹣1≤x<3. ∴不等式组的整数解是:﹣1,0,1,2. 故答案为:﹣1,0,1,2. 【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法,根据 x 的取值范围,得出 x 的整数解,求不等式组 的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了. 15.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,则掷出“这个骰 子向上的一面点数小于等于 4”的成功率是 . 【考点】概率公式. 【分析】骰子六个面出现的机会相同,求出骰子向上的一面点数小于等于 4 的情况有几种,直接应 用求概率的公式求解即可. 【解答】解:∵枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,点数小于等于 4 的有 1,2,3,4,共 4 个, ∴掷出“这个骰子向上的一面点数小于等于 4”的成功率是 = . 故本题答案为: . 【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= . 16.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8cm,DB=6cm,DH⊥AB 于点 H,则 DH 的长为 4.8cm .

11

【考点】菱形的性质. 【分析】根据菱形的面积等于对角线积的一半,可求得菱形的面积,又由菱形的对角线互相平分且 垂直,可根据勾股定理得 AB 的长,根据菱形的面积的求解方法:底乘以高或对角线积的一半,即可 得菱形的高. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC= AC=4cm,OB=OD=3cm, ∴AB=5cm, ∴S 菱形 ABCD= AC?BD=AB?DH, ∴DH= =4.8cm. 【点评】此题考查了菱形的性质:菱形的对角线互相平分且垂直;菱形的面积的求解方法:底乘以 高或对角线积的一半. 17.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=120°,∠C=60°,AB=2,AD=DC=4,则 BC 边的长为 6 .

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】连结 BD,作 DM⊥AB 于 M,DN⊥BC 于 N,根据三角函数可求 AM=2,DM=2 ,DN=2 ,NC=2,

通过 HL 证明 Rt△BDM≌Rt△BDN,根据全等三角形的性质可得 BN=BM,再根据线段的和差关系即可求 解. 【解答】解:连结 BD,作 DM⊥AB 于 M,DN⊥BC 于 N, ∵∠BAD=120°, ∴∠MAD=180°﹣120°=60°, ∵AD=4, ∴AM=2,DM=2 ∵∠C=60°, ∴DN=2 ,NC=2, ,

在 Rt△BDM 与 Rt△BDN 中,

12

, ∴Rt△BDM≌Rt△BDN(HL), ∴BN=BM=2+2=4, ∴BC=BN+NC=6. 故答案为:6.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,三角函数,关键是作出辅助线,通过 HL 证明 Rt△BDM≌Rt△BDN. 三、解答题(其中 21-22 题各 7 分)(本题 7 分)

18.先化简,再求代数式的值

÷( ﹣ ),其中 a=2cos30°﹣tan45°,b=2sin30°.

【考点】分式的化简求值;特殊角的三角函数值. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,再利用除法法则变形,约分得到 最简结果,利用特殊角的三角函数值求出 a 的值,代入计算即可求出值.

【解答】解:原式=

÷

= = ,

×

当 a=2cos30°﹣tan45°=2×

﹣1=

﹣1,b=2sin30°=2× =1 时,

原式=

=

=



【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19.“五一”期间,新华商场贴出促销海报.在商场活动期间,王莉同学随机调查了部分参与活动 的顾客,并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图.请你根据图中的信息回答下列问题:

13

(1)王莉同学随机调查的顾客有 200 人; (2)请将统计图①补充完整; (3)在统计图②中,“0 元”部分所对应的圆心角是 216 度; (4)若商场每天约有 2000 人次摸奖,请估算商场一天送出的购物券总金额是多少元? 【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 【分析】(1)根据 5 元的有 40 人,占总人数的 20%即可求得总人数; (2)利用总人数减去其它奖项的人数即可求得获奖 20 元的人数,即可作出统计图; (3)利用“0 元”部分所占的比例乘以 360 度即可求解; (4)求出平均获奖金额然后乘以总人数 2000 即可求解. 【解答】解:(1)40÷20%=200(人), 故答案是:200; (2)获奖是 20 元的人数:200﹣120﹣40﹣10=30(人).

(3)“0 元”部分所对应的圆心角 故答案是:216;

×360=216°,

14

(4) ×2000=13000(元). 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到 必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映 部分占总体的百分比大小. 20.如图,AD 是△ABC 的中线,AE∥BC,BE 交 AD 于点 F,且 AF=DF. (1)求证:四边形 ADCE 是平行四边形; (2)当 AB、AC 之间满足 AB=AC 时,四边形 ADCE 是矩形; (3)当 AB、AC 之间满足 AB=AC,AB⊥AC 时,四边形 ADCE 是正方形.

【考点】正方形的判定;平行四边形的判定;矩形的判定. 【分析】(1)首先证明△AFE≌△DFB 可得 AE=BD,进而可证明 AE=CD,再由 AE∥BC 可利用一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形 ADCE 是平行四边形; (2)当 AB=AC 时,根据等腰三角形三线合一可得 AD⊥BC,再根据有一个角是直角的平行四边形是 矩形可得结论; (3)当 AB=AC,AB⊥AC 时,△ABC 是等腰直角三角形,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半可得 AD=CD,根据等腰三角形的性质可得 AD⊥BC,从而可得证明四边形 ADCE 是正方形. 【解答】(1)证明:∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD=CD, ∵AE∥BC, ∴∠AEF=∠DBF, 在△AFE 和△DFB 中,

, ∴△AFE≌△DFB(AAS), ∴AE=BD, ∴AE=CD, ∵AE∥BC, ∴四边形 ADCE 是平行四边形; (2)当 AB=AC 时,四边形 ADCE 是矩形; ∵AB=AC,AD 是△ABC 的中线, ∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∵四边形 ADCE 是平行四边形, ∴四边形 ADCE 是矩形,

15

故答案为:AB=AC; (3)当 AB⊥AC,AB=AC 时,四边形 ADCE 是正方形, ∵AB⊥AC,AB=AC, ∴△ABC 是等腰直角三角形, ∵AD 是△ABC 的中线, ∴AD=CD,AD⊥BC, 又∵四边形 ADCE 是平行四边形, ∴四边形 ADCE 是正方形, 故答案为:AB⊥AC,AB=AC. 【点评】此题主要考查了矩形、正方形、平行四边形的判定,关键是掌握一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形,有一个角是直角的平行四边形是矩形,邻边相等的矩形是正方形. 21.某超市用 3000 元购进某种干果,由于销售状况良好,超市又用 9000 元第二次购进该干果,但 第二次的进价比第一次的提高了 20%,第二次购进干果数量是第一次的 2 倍还多 300 千克. (1)求该干果的第一次进价是每千克多少元? (2)百姓超市按每千克 9 元的价格出售,当大部分干果售出后,余下的按售价的 8 折售完,若两次 销售这种干果的利润不少于 5820 元,则最多余下多少千克干果按售价的 8 折销售. 【考点】分式方程的应用;一元一次不等式的应用. 【分析】(1)设该种干果的第一次进价是每千克 x 元,则第二次进价是每千克(1+20%)x 元.根 据第二次购进干果数量是第一次的 2 倍还多 300 千克,列出方程,解方程即可求解. (2)根据利润=售价﹣进价列出不等式并解答. 【解答】解:(1)设该种干果的第一次进价是每千克 x 元,则第二次进价是每千克(1+20%)x 元,

由题意,得

=2×

+300,

解得 x=5, 经检验 x=5 是方程的解. 答:该种干果的第一次进价是每千克 5 元. (2)设当大部分干果售出后,余下 a 千克按售价的 8 折售完,

由题意得:[

+

﹣a]×9+9×80%a﹣(3000+9000)≥5820,

解得 a≤600. 答:当大部分干果售出后,余下的按售价的 8 折售完,若两次销售这种干果的利润不少于 5820 元, 则最多余下 600 千克干果按售价的 8 折销售. 【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.利用分式方程解应用题时,一般题 目中会有两个相等关系,这时要根据题目所要解决的问题,选择其中的一个相等关系作为列方程的 依据,而另一个则用来设未知数. 22.已知:AB 为⊙0 的直径,CD、CF 为⊙O 的弦,AB⊥CD 于点 E,CF 交 AB 于点 G. (1)如图 1,连接 OD、OF、DG,求证:∠DOF=∠DGF; (2) 如图 2, 过点 C 作 OO 的切线, 交 BA 的延长线于点 H, 点 M 在弧 BC 上, 连接 CM、 OM, 若∠H=∠M,

16

∠BGF=30°,求证:CM=CG; (3)如图 3,在(2)的条件下,连接 FM(FM<CM),若 FG=CE=4,求 FM 的长.

【考点】圆的综合题. 【专题】计算题;综合题. 【分析】(1)如图 1,由直径 AB 垂直于点 CD,利用垂径定理得到 CE=DE,进而确定出 CG=DG,利用 等边对等角,圆周角定理,及外角性质,等量代换即可得证; (2)如图 2,连接 OC,过 O 作 OK⊥CM,利用垂径定理得到 CK=MK,在直角三角形 CEG 中,利用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半得到 2CE=CG,由 CH 与圆相切,得到 OC 与 CH 垂直,利用同角的 余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,OC=OC,得到三角形 OCE 与三角形 OCK 全等,利用全 等三角形的对应边相等得到 CK=CE,等量代换即可得证; (3)如图 3,过点 O 作 ON⊥CF,则有 CN=NF= CF,由 CG=2CE,求出 CE 长,利用锐角三角函数定义 求出 EG 的长,进而求出 ON 与 OG 的长,以及 OE 的长,利用勾股定理求出 CO 的长,由三角形 OEC 与 三角形 OKC 全等,得到对应角相等,进而求出 RM 的长,由 FR﹣RM 求出 FM 的长即可. 【解答】(1)证明:如图 1,

∵AB 为圆 O 的直径,CD 为圆 O 的弦,且 AB⊥CD, ∴CE=DE, ∴GC=GD, ∴∠C=∠GDC, ∴∠DGF=∠C+∠GDC=2∠C, ∵∠DOF=2∠C, ∴∠DOF=∠DGF; (2)证明:如图 2,连接 OC,过 O 作 OK⊥CM,则有 CK=KM= CM,

17

在 Rt△CEG 中,∠CGE=∠BGF=30°, ∴CE= CG, ∵CH 与圆 O 相切, ∴OC⊥CH, ∴∠HCE+∠ECO=90°, ∵∠H+∠HCE=∠CEO=90°, ∴∠H=∠ECO=∠M, ∵OM=OC, ∴∠M=∠OCM=∠ECO, ∵OC=OC,∠OKC=∠OEC=90°, ∴△OKC≌△OEC, ∴CK=CE, ∴CM=CG; (3)解:如图 3,过点 O 作 ON⊥CF,则有 CN=NF= CF,

∵FG=CE=4, ∴CG=2CE=8=CM, 在 Rt△CEG 中,tan∠CGE= ∴EG=4 , ,即 tan30°= ,

在 Rt△ONG 中,NG=CG﹣CN=8﹣ ×(8+4)=2, ∴ON= ∴OE=4 ,OG= ﹣ = , ,

18

在 Rt△CEO 中,CO=

=



∴sin∠COE= = ∵OC=OM,OK⊥CM,

=



∴∠COK= ∠COM=∠F, ∵△OEC≌△OKC, ∴∠COE=∠COK=∠F, 过 C 作 CR⊥FM,在 Rt△CRF 中,sinF= ∵sin∠COE= ∴CR= ∴FR= , = , = , , = ,

在 Rt△CRM 中,RM=

则 FM=FR﹣RM= . 【点评】此题属于圆综合题,涉及的知识有:垂径定理,圆周角定理,全等三角形的判定与性质, 锐角三角函数定义,勾股定理,切线的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 23.如图,抛物线 y=﹣x +bx+c 交 x 轴负半轴于点 A,交 X 轴正半轴于点 B,交 y 轴 正半轴于点 C, 直线 BC 的解析式为 y=kx+3(k≠0 ),∠ABC=45° (1)求 b、c 的值; (2)点 P 在第一象限的抛物线上,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线,交直线 BC 于点 M、N,设点 P 的横坐标为 t, 线段 MN 的长为 d, 求 d 与 t 之间的函数关系式 (不要求写出自变量 t 的取值范围) ; (3) 在 (2) 的条件下, 点 E 为抛物线的顶点, 连接 EC、 EP、 AP, AP 交 y 轴于点 D, 连接 DM, 若∠DMB=90°, 求四边形 CMPE 的面积.
2

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)在 y=kx+3 中,令 x=0,即可求得 C 的纵坐标,然后根据△OBC 是等腰直角三角形求得

19

B 的坐标,利用待定系数法求得 b 和 c 的值; (2)首先求得直线 BC 的解析式,则可求得 P 和 N 的纵坐标,则 PN 的长即可求得,然后根据△PMN 是等腰直角三角形即可表示出 MN 的长; (3)延长 PM 交 y 轴于点 H,延长 PN 交 x 轴于点 K,过 E 作 EQ⊥y 轴于点 Q,连接 EM,在直角△OAD 和直角△KAP 中,利用三角函数即可列方程求得 t 的值,再根据 S 四边形 CMPE=S△ECM+S△EMP 求解. 【解答】解:(1)在 y=kx+3 中,令 x=0,则 y=3,即 C 的坐标是(0,3), ∵直角△OBC 中,∠ABC=45°, ∴OB=OC=3,即 B 的坐标是(3,0).

根据题意得:



解得:


2

(2)二次函数的解析式是 y=﹣x +2x+3, 设 BC 的解析式是 y=mx+n,





解得



则直线 BC 的解析式是 y=﹣x+3,△OBC 是等腰直角三角形. 2 2 2 把 x=t 代入 y=﹣x +2x+3 得 y=﹣t +2t+3,即 P 的纵坐标是﹣t +2t+3, 把 x=t 代入 y=﹣x+3,得 y=﹣t+3,即 Q 的纵坐标是﹣t+3. 2 2 则 PQ=(﹣t +2t+3)﹣(﹣t+3)=﹣t +3t, 则 d= PQ,即 d=﹣ t +3
2

t;

(3)延长 PM 交 y 轴于点 H,延长 PN 交 x 轴于点 K. 2 A 的坐标是(﹣1,0),P 的坐标是(t,﹣t +2t+3),

∵在直角△PAK 中,tan∠PAK= 在直角△AOD 中,∠DAO= = ,

=3﹣t,

∴3﹣t= , ∴OD=3﹣t, ∴CD=3﹣(3﹣t)=t. ∵△CMD 是等腰直角三角形, ∴MH= CD= t. ∵PH=MH+PM,

20

∴t= t+(﹣t +3t). ∴t= 或 0(舍去). ∴PM=﹣( )2+3× = , PM= ,CM= ,PK= . 2 ∵二次函数的解析式是 y=﹣x +2x+3 的顶点 E 的坐标是(1,4). ∴点 E 到 PM 的距离是 4﹣ = , 过 E 作 EQ⊥y 轴于点 Q,连接 EM. ∵EQ=QC=1, ∴△EQC 和△HMC 都是等腰直角三角形, ∴EC= ,∠ECM=90°,

2

∴S 四边形 CMPE=S△ECM+S△EMP= ×

×

+ × × =



【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算,在(3)中正确求得 t 的值 是解题的关键.

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