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2014高考数学(理科)小题限时训练31


2014 高考数学(理科)小题限时训练 31
15 小题共 75 分,时量:45 分钟,考试时间:晚 21:40—22:10 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分, 1.设 i 是虚数单位,则复数 A. 姓名

i 2

i 的虚部是( ) ?1 ? i 1 i B. ? C. 2 2

>D. ?

1 2

2. 若 a ?R ,则 a ? 2 是 ? a ? 1?? a ? 2 ? ? 0 的( ) . A.充分而不必要条件 C.充要条件
2

B.必要而不充分条件 C.既不充分又不必要条件
2

3. 设两个正态分布 N ( ?1 , ? 1 )(? 1 ? 0) 和 N ( ? 2 , ? 2 )(? 2 ? 0) 曲线如图所示。 则有 ( A. ?1 ? ? 2 , ? 1 ? ? 2 C. ?1 ? ? 2 , ? 1 ? ? 2 B. ?1 ? ? 2 , ? 1 ? ? 2 D. ?1 ? ? 2 , ? 1 ? ? 2



4.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列, Sn 为{an}的前 n 项和,则

S3 ? S2 的值为( S5 ? S 3
C.



A.2

B.3

1 5

D.不存在 )

5.设 a, b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下面四个命题中真命题是( A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b C.若 a ? ? , b ? ? , a ∥ b 则? ∥ ? B.若 a ∥ ?

,b ∥ ? ,? ∥ ? ,则 a ∥ b

D.若 a ? ? ,b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b

?0 ? x ? 2 ? 6.已知平面直角坐标系 xOy 上的区 域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定.若 M(x,y)为 D 上动 ? ? x ? 2y ???? ??? ? ? 点,点 A 的坐标为( 2 ,1).则 z ? OM ? OA 的最大值为( )
A. 4 2 B. 3 2 C.4 D.3

7. 某 大 学 的 信 息 中 心 A 与 大 学 各 部 门 、 各 院 系 B,C,D,E,F,G,H,I 之间拟建立信息联网工程.实际测算 的费用如图 2 所示(单位:万元) ,请观察图形,可以不建部分网线, 就使得信息中心与各部门、各院系连通(直接或中转) ,则最少的建网 费用是( ) A.12 万元 B.13 万元 C.14 万元 D.16 万元

8. 已知函数 f ? x ? ? e ? x ,对于曲线 y ? f ? x ? 上横坐标成等差数列的三个点 A, B, C ,给
x

出以下判断: ① ΔABC 一定是钝角三角形 ② ΔABC 可能是直角三角形 ③ ΔABC 可能是等腰三角形 ④ ΔABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是( ) . A.①,③ B.①,④ C.②,③ D.②,④ 二、填空题(9-11 中任选两题, 12-16 为必做题) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 (参数 t ? R ) ,圆 C 的参数 ?y ? 3?t


方程为 ?

? x ? 2 cos ? 2 (参数 ? ? ? 0,? ? ) ,则圆心到直线 l 的距离为 ? y ? 2sin ? ? 2

10.如图 5 所示,圆 O 的直径 AB ? 6 ,C 为圆周上一点,BC ? 3 .过 C 作圆的切线 l ,过 A 作 l 的垂线 AD , AD 分别与直线 l 、圆 O 交于点 . D,E ,线段 AE 的长为

D E A
O
图5

C

4 9 36 11.设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 9 ,则 ? ? 的最小值为 a b c
12.下图是某算法程序框图,则程序运行后输出的结果是

B

l

13.某校有教师 200 人,男学生 1 200 人,女学生 1 000 人,现用分层抽样的方法从所有师 生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从女生中抽取的人数为 80,则 n 等于 .

? 3 1 ? 14. 若 ? 2 x ? ? 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 x? ?
15. 若 f (x) 在 R 上 可 导 , f ( x) ? x ? 2 f (2) ? x ? 3 , 则
2 '

n



?

3

0

f (x ) d ? x

.

16. 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形(单位分数 是分子为 1,分母为正整数的分数) ,又称为莱布尼兹三角形: 根据前 5 行的规律,写出第 6 行的数依次是 .

题号 答案 9. 13.

1

2

3

4

5

6

7

8

10. 14 15

11. 16

12

答案:DAAA

DCBB

1 1 1 1 2 2 3 2 7.按 A????H ????G ????F,A????E ????D ????C ????B,A????I 连接。

8. 【解】设 a ? b .首先证明
f ? a ? ? f ?b ? 2

f ? a ? ? f ?b ? 2

? a?b? ? f? ?. ? 2 ?

a ?b a b a?b ? a?b? e ?a?e ?b ?f? ?e 2 ? ?? 2 2 ? 2 ?

a ?b a ?b a ?b a ?b e a ? eb a b 2 2 2 ? ? e ? e ? e ? e ? e ? e 2 ? 0, 2

当且仅当 a ? b 时等号成立,由于 a ? b ,所以等号不成立,于 是
f ? a ? ? f ?b ? 2 ? a?b? ?f? ? ? 0, ? 2 ? ? a?b? ? f? ?. ? 2 ?

f ? a ? ? f ?b ? 2



设点 A ? xA , y A ? , B ? xB , yB ? , C ? xC , yC ? ,且 xA , xB , xC 成等差数 列, xA ? xB ? xC . 由 f ? x ? 是 R 上的增函数,则 y A ? yB ? yC , ②

如图, D 为 AC 的中点,过 A, B, C 作 x 轴的垂线,垂足依次为 M , N , P . 因为 xB ? 交 CP 于 F . 因为 yD ?
y A ? yC f ? xA ? ? f ? xC ? ?x ?x ? , yB ? f ? A C 2 2 ? 2

xA ? xC , 所以 D 在直线 BN 上, AE ? BN 交 BN 于 E , B C 作 作F ? P 2
? ?, ?

由①式, yD ? yB , ,
DE ? yD ? y A , DB ? yD ? yB ,由②, DE ? DB ,所以点 B 在 DE 的内部,

因而 ?DBA ? ?DEA ? 90? ,又 ?CBA ? ?DBA,所以 ?ABC 一定是钝角三角 形.结论①正确. 若 ?ABC 是等腰三角形, 因为 D 为 AC 的中点, BD ? AC , 则 因而 AC // x 轴, 这是不可能的,所以 ?ABC 不是等腰三角形.结论④正确; 所以结论①,④正确. 9. 2 2

10. 3 11. 9 12. 192 13. 7 14. -18 15. 10 1 1 1 1 1 1 16. , , , , , 6 30 60 60 30 6 提示: 由单位分数三角形可以发现
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ? ? , ? ? , 6 2 3 12 3 4 12 6 12 20 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ,…,故第 6 行的数依次是 , , , , , . 30 12 20 6 30 60 60 30 6


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