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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题训练:专题2 选择题与填空题的解题技法 卷]

时间:2015-03-26


[专题强化练(五)]
1.设 0<a<b<1,则下列不等式成立的是( ) 1 1 A.a3>b3 B. < a b b C.a >1 D.lg(b-a)<0 2.已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比数列,Sn 为{an}的前 n 项和, S3-S2 则 的值为( ) S5-S3 1 A.2 B.3

C. D.4 5 3.(2014· 青岛模拟)函数 f(x)=|tan x|,则函数 y=f(x)+log4x-1 与 x 轴的交点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的 一个充分不必要条件是( ) A.m∥β 且 l1∥ B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 2 5.如图是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的大致图象,则 x2 ) 1+x2=( 8 10 16 28 A. B. C. D. 9 9 9 9

6.(2014· 珠海模拟)等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和 S 奇=255,所有偶数项和 S 偶 =-126,末项是 192,则首项 a1=( ) A.1 B.2 C.3 D .4 π 1 2 ? 7.已知 f(x)= x +sin? ) ?2+x?,则 f′(x)的图象是( 4

A B C D 8.已知函数 f(x)=x -(a+b)x+c 在区间[a-1,a-b]上不单调,则 a2+?b+3?2的取值 范围是( ) 1 ? 2 A.? ,5? B.? ?2,5? ?2 ? 2 2 C.? ,+∞? D.? ,+∞? ?2 ? ?2 ? 9.(2014· 芜湖模拟)若直线 l 上不同的三个点 A,B,C 与直线 l 外一点 O,使得
2

成立,则满足条件的实数 x 的集合为( A.{-1,0}
?-1+ 5 -1- 5? ? C.? , 2 2 ? ? ?1+ 5 1- 5? ? B.? , 2 ? ? 2

)

D.{-1}

10.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,则点 P 到准线的距离与点 P 到直线 x-y+ 3=0 的距离之和的最小值为( ) A.4 2 B.4 3 2 C .2 2 D.1+ 2 11.(2014· 厦门模拟)若函数 f(x)=x3-3x 在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(- 5,1) B.[- 5,1) C.[-2,1) D.(-2,1) 12.(2014· 吉林模拟)在△ABC 中,若 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,A=60° ,b=1, b-c+a 3 三角形面积为 ,则 =( ) 2 sin B-sin C+sin A 2 21 A.2 B. 3 C .2 3 D.2 7 2 13.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P、Q x 两点,则线段 PQ 长度的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 14. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)在 x=1 和 x=-1 处分别取得最大值和最小值, f?x1?-f?x2? 且对任意 x1,x2∈[-1,1],x1≠x2,都有 >0,则( ) x1-x2 A.函数 y=f(x+1)一定是周期为 4 的偶函数 B.函数 y=f(x+1)一定是周期为 2 的奇函数 C.函数 y=f(x+1)一定是周期为 4 的奇函数 D.函数 y=f(x+1)一定是周期为 2 的偶函数 15.(2014· 温州模拟)已知 f(x)是可导的函数,且 f′(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立,则( ) 2 014 A.f(1)<ef(0),f(2 014)>e f(0) B.f(1)>ef(0),f(2 014)>e2 014f(0) C.f(1)>ef(0),f(2 014)<e2 014f(0) D.f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0) 16. 若数列{an}满足: 存在正整数 T, 对于任意正整数 n 都有 an+T=an 成立, 则称数列{an} a -1,an>1, ? ? n 为周期数列,周期为 T.已知数列{an}满足 a1=m(m>0),an+1=? 1 则下列结论中 ?an,0<an≤1, ? 错误的是( ) 4 A.若 m= ,则 a5=3 5 B.若 a3=2,则 m 可以取 3 个不同的值 C.若 m= 2,则数列{an}是周期为 3 的数列 D.?m∈Q 且 m≥2,使得数列{an}是周期数列

[专题强化练(五)]答案:
1.解析:选 D 对于 A,构造幂函数 y=x3,其在 R 上为单调递增函数,因为 0<a<b<1, 1 1 b-a 根据其单调性可知 a3<b3,故 A 错误;对于 B, - = ,因为 0<a<b<1,所以 ab>0,b- a b ab 1 1 b- a 1 1 a>0,故 - = >0,所以 > ,故 B 错误;对于 C,构造指数函数 y=ax,因为 0<a<b<1, a b ab a b b 所以 a <1, 故 C 错误;对于 D,构造对数函数 y=lg x,因为 0<a<b<1, 所以 0<b-a<1, 故 lg(b -a)<0,故 D 正确. 2 2.解析:选 A 设数列{an}的公差为 d,由已知得 a1a4=a2 3,a1(a1+3d)=(a1+2d) ,展开 S3-S2 a1+2d -2d a3 得 a1=-4d,故 = = = =2. S5-S3 a5+a4 a1+4d+a1+3d -d 3.

解析:选 C 函数 y=f(x)+log4x-1 与 x 轴的交点个数为方程 f(x)+log4x-1=0 的解的个 数,即 f(x)=-log4x+1 解的个数,也即函数 y=f(x),y=-log4x+1 交点个数,作出两个函数 图象可知,共有 3 个交点.故选 C. 4.解析:选 B 因为 m?α,l1?β,若 α∥β,则有 m∥β 且 l1∥α,故 α∥β 的一个必要条 件是 m∥β 且 l1∥α,排除 A;因为 m,n?α,l1,l2?β 且 l1 与 l2 相交,若 m∥l1 且 n∥l2,则 m 与 n 也相交,故 α∥β;若 α∥β,则直线 m 与直线 l1 可能为异面直线,故 α∥β 的一个充分 不必要条件是 m∥l1 且 n∥l2. 5.解析:选 C 由图象可得 f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,又∵x1,x2 是 f′(x)=3x2 2?2 2 2 2 16 2 2 -2x-2=0 的两根,∴x1+x2= ,x1· x2=- ,∴x2 x2=? +2× = . 1+x2=(x1+x2) -2x1· 3 ? ? 3 3 3 9 6.解析:选 C 末项为奇数项的一项,设等比数列{an}共有 2k+1(k∈N*)项,则 a2k+1= 1 1 126 192,则 S 奇=a1+a3+?+a2k-1+a2k+1= (a2+a4+?+a2k)+a2k+1= S 偶+a2k+1=- +192 q q q 2 2 a1-a2k+1q a1-192×?-2? =255,解得 q=-2,而 S 奇= = =255,解得 a1=3,故选 C. 1-q2 1-?-2?2 π ? 1 2 1 1 ?1 2 ? 7.解析:选 A f(x)= x2+sin? ?2+x?=4x +cos x,故 f′(x)=?4x +cos x?′=2x-sin x, 4 1 1 ? 记 g(x)=f′(x), 其定义域为 R, 且 g(-x)= (-x)-sin(-x)=-? ?2x-sin x?=-g(x),所以 g(x) 2 为奇函数,所以排除 B,D 两项. π? 1 π π π π 法一:当 x= 时,g? ?2?=2×2-sin2=4-1<0,故排除 C. 2 π π 1 0, ?时,g′(x)<0,g(x)在?0, ?上单调递减,故排 法二:g′(x)= -cos x,显然当 x∈? 3 3? ? ? ? 2 除 C. 8.

解析:选 D

? ?a-b-2<0, a+b 由题中条件可知,a-1< <a-b,即? 其图象如图所示(不 2 ?a-3b>0, ?

包括边界), a2+?b+3?2表示可行域中的点(a,b)到(0,-3)的距离,易知点(0,-3)到直线 a 2 -b-2=0 距离是 ,所以选 D. 2 9. 解析:选 D 因为 ,所以

x2 x x2 x +1?=1? + =0?x=0 或 x=-1;当 x=0 时三 又因为 A,B,C 三点共线,则 +? 2 ?2 ? 2 2 点重合,不符合题意,舍去,所以 x=-1. 10.解析:选 C 由题意知,焦点坐标为 F(1,0),因为点 P 到准线的距离等于到焦点的距 离,所以问题转化为 P 到焦点 F 和直线 x-y+3=0 的距离之和的最小值,即点 F 到 x-y+3 |1-0+3| =0 的距离,故所求的最小值为 d= 2 =2 2. 1 +12 11.

f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f′(x)=0,得 x=± 1,所以 f(x)的大致图 ? ?-2≤a<1, 象如图所示,f(1)=-2,f(-2)=-2,若函数 f(x)在(a,6-a2)上有最小值,则? 解 2 ?6-a >1, ? 得-2≤a<1. 1 1 3 12.解析:选 A 据题意 S△ABC= bcsin A= ×1×c×sin 60° = ,解得 c=2,通过余弦 2 2 2 b-c+a 2R?sin B-sin C+sin A? a 定理可得 a= 3,利用正弦定理得 = =2R= = sin A sin B-sin C+sin A sin B-sin C+sin A 3 =2(注: 本题中易知三角形为以 AB 为斜边的直角三角形, 即外接圆直径 2R 为 AB 的长). sin 60° 13.解析:选 D 由题意知 P、Q 两点关于原点 O 对称,不妨设 P(m,n)为第一象限内的 4? 2 2 点 , 则 m>0 , n>0 , n = , 所 以 |PQ|2 = |2OP|2 = 4|OP|2 = 4(m2 + n2) = 4 ? ?m +m2? m 4 2 ? ≥16? ?当且仅当m =m2,即m= 2时取等号?,故线段 PQ 长度的最小值是 4. 14. 解析:选 A ∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在 x=1 和 x=-1 处分别取得最大值 f?x1?-f?x2? 和最小值,且对任意 x1,x2∈[-1,1],x1≠x2,都有 >0,即函数 y=f(x)在[-1,1]上单 x1-x2 调递增,∴f(x+1)在 x=0 和 x=-2 处分别取得最大值和最小值,即函数 f(x+1)的周期为 4 且其对称轴是 y 轴,∴f(x+1)一定是周期为 4 的偶函数,选 A. f′?x?ex-f?x?ex f′?x?-f?x? f?x? f?x? 15.解析:选 D 令 g(x)= x ,则 g′(x)=? ex ?′= = <0,所 e e2x ex ? ? f?x? f?1? f?0? f?2 014? f?0? 以函数 g(x)= x 是单调递减函数,所以 g(1)<g(0),g(2 014)<g(0),即 1 < , 2 014 < , e e 1 e 1 故 f(1)<ef(0),f(2 014)<e2 014f(0). 4 5 1 16. 解析:选 D 对于 A,当 a1=m= 时,a2= ,a3=a2-1= ,a4=4,a5=3,因此 5 4 4 解析:选 C

? ? ? ?m>1, ? 选项 A 正确; 对于 B, 当 a3=2 时, 若 a2>1, 则 a3=a2-1=2, a2=3, 或? 1 ?m-1=3 ? ? =3, ?m

0<m≤1,

0<m≤1, ?m>1, ? ? 1 1 1 ? 由此解得 m=4 或 m= ;若 0<a2≤1,则 a3= =2,a2= ,? 或 ? 由此 1 1 3 a2 2 m-1=1 = , ? ? 2 ? ?m 2 3 1 3 解得 m= ,因此 m 的可能值是 , ,4,选项 B 正确;对于 C,当 m= 2时,a1= 2,a2= 2 2 3 2 -1,a3= 2+1,a4= 2,a5= 2-1,a6= 2+1,?,此时数列{an}是以 3 为周期的数列, 因此选项 C 正确.

[专题强化练(六)]
1.已知集合 A={y|y=x +2x,-2≤x≤2},B={x|x2+2x-3≤0},在集合 A 中任意取一 个元素 a,则 a∈B 的概率是________. x 2.设函数 f(x)= 2 ,点 A0 表示坐标原点,点 An 的坐标为(n,f(n))(n∈N*),kn 表示 x +3x+2 直线 A0An 的斜率,设 Sn=k1+k2+?+kn,则 Sn=________. 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 tan(A+B)=2,a=1,c= 5, 则 b=________. 1?2 4.已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2x+4y 取得最小值时,过点 P 引圆? ?x-2? 1?2 1 +? ?y+4? =2的切线,则此切线段的长度为________. 5.无论 k 为何实数,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0 恒有交点,则实数 a 的取值范围是________. 6.一个四棱锥的底面是边长为 a 的正方形,一条垂直于底面的侧棱长为 a,若该四棱锥
2

32 的外接球的体积为 π,则该四棱锥的体积为________. 3 7.已知实数 m,n 满足 m+n=2(sin θ+cos θ),mn=2sin 2θ,θ 为锐角,则 值为________. π? 8.不等式? sin x<0,x∈[-π,2π]的解集为________. ?|x|-2?· 9.在三棱锥 ABCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB 的面积 2 3 6 分别为 、 、 ,则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为________. 2 2 2 x+1?0≤x<1?, ? ? 10.(2014· 泉州模拟)已知函数 f(x)=? x 1 设 a>b≥0,若 f(a)=f(b),则 b· f(a) 2 - ?x≥1?, ? 2 ? 的取值范围是________. 1 11.过抛物线 C:y= x2 的焦点 F 作两条相互垂直的直线,分别与抛物线交于 A、B、M、 4 N 四点,则四边形 AMBN 面积的最小值为________. 12.设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件: ①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2); ③当 0≤x<1 时,f(x)=2x-1. 3? ?5? ?5? 则 f? ?4?+f(1)+f?4?+f(2)+f?2?=________. 1 1 1 1 1 1 13.a=ln - ,b=ln - ,c=ln - ,则 a,b,c 的大小关系 2 011 2 011 2 012 2 012 2 013 2 013 为________. 14. 若锐角 α, β, γ 满足 cos2α+cos2β+cos2γ=1, 那么 tan α· tan β· tan γ 的最小值为________. 15.已知函数 f(x)=ex+x2-x,若对任意 x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤k 恒成立,则 k 的 取值范围为________. 1 16 . (2014· 绵阳模拟 ) 我们把离心率之差的绝对值小于 的两条双曲线称为“相近双曲 2 x2 y2 x2 y2 n 线”.已知双曲线 - =1 与双曲线 - =1(其中 mn>0)是“相近双曲线”,则 的取值范 4 12 m n m 围是________. 4 1 + 的最小 m2 n2

[专题强化练(六)]答案:
1. 解析:依题意,函数 y=x2+2x=(x+1)2-1(-2≤x≤2)的值域是 A={y|-1≤y≤8}; 1-?-1? 2 由 x2+2x-3≤0 得-3≤x≤1,因此所求的概率等于 = . 8-?-1? 9 2 答案: 9 n 1 1 1 2.解析:由已知得 A0(0,0),An?n,n2+3n+2?,所以 kn= 2 = = ? ? n +3n+2 ?n+1??n+2? n+1 1 1? ?1 1? 1 1 1 1 1 n - + - +?+ - ,因此 Sn=k1+k2+?+kn=? - = - = . 2 3 3 4 ? ? ? ? n+2 n+1 n+2 2 n+2 2n+4 n 答案: 2n+4 2 5 2 3.解析:由题设得 tan C=-2,从而 sin C= ,由正弦定理得 sin A= .sin B=sin(A+ 5 5 2 21 2 5? 21-1? 5 2 5 C)=sin Acos C+sin C· cos A= ×?- ?+ × = ,再由正弦定理得 b= 5 ? 5? 5 5 25

105- 5 sin B · c= . sin C 5 105- 5 答案: 5 3 =4 2,当且仅当 x=2y= 时取得 2 3 3 1 2 2 , ?.由于点 P 与圆心 C 之间的距离|PC|= 2, 最小值, 即 P? 故切线长= | PC | - R = 2 - ?2 4? 2 6 = . 2 6 答案: 2 5.解析:要使曲线(x-a)2+y2=2a+4 表示圆,需满足 2a+4>0,即 a>-2.因直线 y=kx +1 过定点(0,1),要使直线与圆恒有交点,只需点(0,1)在圆内或圆上,所以 1+a2-2a-4≤0, 解得-1≤a≤3.综上所述,可知 a 的取值范围为[-1,3]. 答案:[-1,3] 4πR3 32 6.解析:把该四棱锥补成一个正方体,设外接球半径为 R,由条件可得 = π,故 R 3 3 4 3 1 64 3 =2,由条件可得 3a2=16,故 a= ,四棱锥的体积为 V= a3= . 3 3 27 64 3 答案: 27 m2 n2 4 7.解析:将 m+n=2(sin θ+cos θ)两边平方,消去 θ,得 m2+n2=4,所以 + =1, 2 4 4 m 4 1 ?m2 n2 1 n2 m2 1 9 2 6 2 3 2+ 2 + 2=? + = 1 + + + ≥ ,当且仅当 m= ,n= 时等号成立. n ?m n ? 4 4 m2 4n2 4 4 3 3 9 答案: 4 8. 4. 解析:由基本不等式得 2x+4y≥2 2x×4y=2 2x
+2y

π 解析:在同一坐标系中分别作出 y=|x|- 与 y=sin x 的图象: 2 π π -π,- ?∪?0, ?∪(π,2π). 根据图象可得不等式的解集为? 2? ? 2? ? π π ? ? ? 答案:? ?-π,-2?∪?0,2?∪(π,2π) 9.解析:设 AB、AC、AD 的长分别为 x、y、z,则 xy= 2,yz= 3,xz= 6,解得 x= 2,y=1,z= 3,把这个三棱锥补成一个长方体,这个三棱锥和补成的长方体具有共同的外 1 6 4 6 接球,这个球的半径等于 1+2+3= ,故这个球的体积是 π? ?3= 6π. 2 2 3 ?2? 答案: 6π 10.

解析:函数的图象如图所示.因为 a>b≥0,若要使 f(a)=f(b)成立,由图象可得 0.5≤b<1

3 ? 且 1.5≤f(a)<2.由于 b 的变化是递增的,f(a)的变化也是递增的所以 0.75≤bf(a)<2.即填? ?4,2?. 3 ? 答案:? ?4,2? 11.解析:易知 F(0,1).显然 AB、MN 的斜率都存在.设 AB 所在的直线斜率为 k,则直 1 1 线 AB:y=kx+1,直线 MN:y=- x+1,将 y=kx+1 代入 y= x2,整理得,x2-4kx-4=0, k 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4,|AB|= 1+k2|x2-x1|=4(k2+1),同理可得 1 1 ? ? 2 1 ?? |MN|=4? |AB|=8? 1时 ?k2+1?,故 S 四边形 AMBN=2|MN|· ?2+?k +k2??≥8(2+2)=32,当且仅当 k=± 取等号,故四边形 AMBN 面积的最小值为 32. 答案:32 5? ?-5?=-f?-5+2?=-f?3?; 12. 解析: 由已知可得 f(x)是周期为 2 的奇函数, 故 f? =- f 4 ? ? ? 4? ? 4 ? ?4? 5? ?5 ? ?1? f(2)=f(0)=20-1=0;f? ?2?=f?2-2?=f?2?= 2-1; ? ?f?-1?=f?1?, 3? 5? 5? 又? 故 f(1)=0.于是 f? +f(1)+f? +f(2)+f? 4 4 2?= 2-1. ? ? ? ? ? ?f?-1?=-f?1?, ? 答案: 2-1 1-x 1 13.解析:令 f(x)=ln x-x,则 f′(x)= -1= . x x 当 0<x<1 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在(0,1)上是增函数. 1 1 1 ∵1> > > >0,∴a>b>c. 2 011 2 012 2 013 答案:a>b>c 14.

解析:如图,构造长方体 ABCDA1B1C1D1.设 AB=a,AD=b,AA1=c,∠C1AB=α, 2 2 ∠C1AD=β,∠C1AA1=γ,则 cos α+cos β+cos2γ=1. b2+c2 a2+c2 a2+b2 2bc· 2ac· 2ab 从而有 tan α· tan β· tan γ= · · ≥ =2 2. a b c abc 当且仅当 a=b=c 时,tan α· tan β· tan γ 有最小值 2 2. 答案:2 2 15. 解析: 由已知可得, f′(x)=ex+2x-1, 当 x>0 时, ex>1, f′(x)>0; 当 x=0 时, f′(x) =0;当 x<0 时,f′(x)<0,∴f(x)在[-1,0)上单调递减,在[0,1]上单调递增,∴f(x)min=f(0)=1, 1 ∵f(1)-f(-1)=e- -2>0,∴f(x)max=f(1)=e,故对任意 x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤f(1) e -f(0)=e-1,故 k≥e-1. 答案:[e-1,+∞) 12+4 n x2 y2 x2 y2 16.解析:记 =λ>0,双曲线 - =1 的离心率为 =2,双曲线 - =1(其中 m 4 12 m n 4 1 1 mn>0)的离心率为 1+λ(当 m>0, n>0)或 1+ (当 m<0, n<0 时), 依题意令①| 1+λ-2|< , λ 2 1 1 3 5 9 25 5 21 1 1 1 1 ?< , 即- < 1+λ-2< , < 1+λ< , <1+λ< , <λ< ; 或令②? - < 1+ 1 + - 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 λ λ ? 2 ? 4 4 5 21 1 9 1 25 5 1 21 4 4 n ? ? ? -2< , <1+ < , < < , <λ< .综上所述, 的取值范围是? ?21,5?∪?4, 4 ?. 2 4 λ 4 4 λ 4 21 5 m

4 4? ?5 21? 答案:? ?21,5?∪?4, 4 ?


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